Kako pronaći visinu znajući stranu i kut. Pronađite najveću visinu trokuta. Svojstva minimalne visine trokuta

Pri rješavanju raznih vrsta problema, kako čisto matematičke tako i primijenjene prirode (osobito u građevinarstvu), često je potrebno odrediti vrijednost visine određene geometrijske figure. Kako izračunati zadanu vrijednost (visinu) u trokutu?

Ako kombiniramo 3 točke u parovima koji se ne nalaze na jednoj ravnoj liniji, tada će rezultirajuća figura biti trokut. Visina je dio crte od bilo kojeg vrha figure koji, kada se presječe sa suprotnom stranom, tvori kut od 90°.

Pronađite visinu u razmjernom trokutu

Odredimo vrijednost visine trokuta u slučaju kada lik ima proizvoljne kutove i stranice.

Heronova formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, gdje

p - polovica opsega figure, h (a) - segment stranice a, nacrtan pod pravim kutom na nju,

p=(a+b+c)/2 – izračun poluperimetra.

Ako postoji površina figure, za određivanje njene visine, možete koristiti omjer h(a)=2S/a.

Trigonometrijske funkcije

Da biste odredili duljinu segmenta koji čini pravi kut u sjecištu sa stranicom a, možete koristiti sljedeće odnose: ako su stranica b i kut γ ili stranica c i kut β poznati, tada je h(a)=b*sinγ ili h(a)=c *sinβ.
Gdje:
γ je kut između stranica b i a,
β je kut između stranica c i a.

Odnos s radijusom

Ako je izvorni trokut upisan u krug, možete koristiti polumjer takvog kruga za određivanje visine. Središte mu se nalazi u točki gdje se sijeku sve 3 visine (iz svakog vrha) - ortocentar, a udaljenost od njega do vrha (bilo kojeg) je radijus.

Tada je h(a)=bc/2R, gdje je:
b, c - 2 druge strane trokuta,
R je polumjer kružnice koja opisuje trokut.

Pronađite visinu u pravokutnom trokutu

U ovom obliku geometrijske figure, 2 strane na raskrižju čine pravi kut - 90 °. Stoga, ako je potrebno odrediti vrijednost visine u njemu, tada je potrebno izračunati ili veličinu jedne od nogu ili vrijednost segmenta koji čini 90 ° s hipotenuzom. Prilikom označavanja:
a, b - noge,
c je hipotenuza,
h(c) je okomica na hipotenuzu.
Možete napraviti potrebne izračune pomoću sljedećih omjera:

  • Pitagorin poučak:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, tada je h(c)=ab/c .

  • Trigonometrijske funkcije:

a=c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=s* sinβ* cosβ.

Nađi visinu u jednakokračnom trokutu

Ova geometrijska figura odlikuje se prisutnošću dvije strane jednake veličine i treće - baze. Za određivanje visine povučene na treću, drugu stranu, u pomoć dolazi Pitagorin poučak. S oznakama
a - strana,
c - baza,
h(c) je segment na c pod kutom od 90°, tada je h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).


Da biste riješili mnoge geometrijske probleme, morate pronaći visinu zadane figure. Ovi zadaci su od praktičnog značaja. Prilikom dirigiranja Građevinski radovi određivanje visine pomaže izračunati potrebnu količinu materijala, kao i odrediti koliko su točno napravljeni padine i otvori. Često, da biste izgradili uzorke, morate imati ideju o svojstvima

Mnogi ljudi, unatoč dobrim ocjenama u školi, kada grade obične geometrijski oblici postavlja se pitanje kako pronaći visinu trokuta ili paralelograma. I to je najteže. To je zato što trokut može biti šiljast, tup, jednakokračan ili pravokutan. Svaki od njih ima svoja pravila za konstrukciju i izračun.

Kako grafički pronaći visinu trokuta u kojem su svi kutovi oštri

Ako su svi kutovi trokuta oštri (svaki kut u trokutu manji je od 90 stupnjeva), tada da biste pronašli visinu, učinite sljedeće.

  1. Prema zadanim parametrima konstruiramo trokut.
  2. Uvedimo notaciju. A, B i C bit će vrhovi figure. Kutovi koji odgovaraju svakom vrhu su α, β, γ. Stranice nasuprot tim kutovima su a, b, c.
  3. Visina je okomica iz vrha kuta na suprotnu stranicu trokuta. Da bismo pronašli visine trokuta, konstruiramo okomice: iz vrha kuta α na stranicu a, iz vrha kuta β na stranicu b i tako dalje.
  4. Sjecište visine i stranice a označit ćemo s H1, a samu visinu s h1. Sjecište visine i stranice b bit će H2, odnosno visina h2. Za stranu c, visina će biti h3, a sjecišna točka H3.

Visina u trokutu s tupim kutom

Sada razmislite kako pronaći visinu trokuta ako je jedan (veći od 90 stupnjeva). U tom će slučaju visina izvučena iz tupoga kuta biti unutar trokuta. Preostale dvije visine bit će izvan trokuta.

Neka su kutovi α i β u našem trokutu šiljasti, a kut γ tupi. Zatim je za konstruiranje visina koje izlaze iz kutova α i β potrebno produžiti njima nasuprotne stranice trokuta da bi se povukle okomice.

Kako pronaći visinu jednakokračnog trokuta

Takav lik ima dvije jednake stranice i osnovicu, a kutovi pri bazi također su međusobno jednaki. Ova jednakost stranica i kutova olakšava konstrukciju visina i njihovo izračunavanje.

Prvo, nacrtajmo sam trokut. Neka su stranice b i c, kao i kutovi β, γ redom jednaki.

Sada povucimo visinu iz vrha kuta α, označimo je h1. Za ovu će visinu biti i simetrala i središnja točka.

Za temelj se može napraviti samo jedna konstrukcija. Na primjer, nacrtajte medijan - isječak koji povezuje vrh jednakokračnog trokuta i suprotnu stranicu, bazu, kako biste pronašli visinu i simetralu. A da biste izračunali duljinu visine za druge dvije strane, možete izgraditi samo jednu visinu. Dakle, da bi se grafički odredilo kako izračunati visinu jednakokračnog trokuta, dovoljno je pronaći dvije visine od tri.

Kako pronaći visinu pravokutnog trokuta

Mnogo je lakše odrediti visine pravokutnog trokuta od ostalih. To je zato što same noge čine pravi kut, što znači da su visine.

Za izgradnju treće visine, kao i obično, nacrtana je okomica koja povezuje vrh pravi kut a suprotna strana. Kao rezultat toga, da bi se napravio trokut u ovom slučaju, potrebna je samo jedna konstrukcija.

Kako pronaći najveću ili najmanju visinu trokuta? Što je manja visina trokuta, veća mu je nacrtana visina. Odnosno, najveća od visina trokuta je ona koja je povučena na njegovu najmanju stranicu. - onaj koji je nacrtan na najveću od stranica trokuta.

Da bismo pronašli najveću visinu trokuta , Limenka površina trokuta podijeljeno s duljinom stranice na koju je ta visina povučena (to jest, s duljinom najmanje stranice trokuta).

Sukladno tome, d Da biste pronašli najmanju visinu trokuta Podijelite površinu trokuta s duljinom njegove najduže stranice.

Zadatak 1.

Odredi najmanju visinu trokuta čije su stranice 7 cm, 8 cm i 9 cm.

dano:

AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.

Nađi: najmanju visinu trokuta.

Riješenje:

Najmanja visina trokuta je ona povučena na njegovu najdužu stranicu. Dakle, trebate pronaći visinu AF povučenu na stranicu BC.

Radi lakšeg označavanja, uvodimo oznaku

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Visina trokuta jednaka je kvocijentu dvostruke površine trokuta podijeljene sa stranicom na koju je ta visina povučena. može se pronaći pomoću Heronove formule. Zato

Računamo:

Odgovor:

Zadatak 2.

Odredi najdužu stranicu trokuta sa stranicama 1 cm, 25 cm i 30 cm.

dano:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Pronaći:

najveća visina trokuta ABC.

Riješenje:

Najveća visina trokuta povučena je na njegovu najmanju stranicu.

Dakle, trebamo pronaći visinu CD povučenu na stranicu AB.

Radi praktičnosti, označavamo

Trokuti.

Osnovni koncepti.

Trokut- ovo je lik koji se sastoji od tri segmenta i tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji.

Segmenti se nazivaju stranke, i bodova vrhovi.

Zbroj kutova trokut je jednak 180º.

Visina trokuta.

Visina trokuta je okomica povučena iz vrha na suprotnu stranu.

U šiljastokutnom trokutu visina je sadržana unutar trokuta (slika 1).

U pravokutni trokut katete su visine trokuta (slika 2).

Kod tupokutnog trokuta visina prolazi izvan trokuta (slika 3).

Svojstva visine trokuta:

Simetrala trokuta.

Simetrala trokuta- ovo je segment koji prepolovljuje kut vrha i povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani (slika 5).

Svojstva simetrale:


Medijan trokuta.

Medijan trokuta- ovo je segment koji povezuje vrh sa sredinom suprotne strane (slika 9a).


Duljina medijana može se izračunati pomoću formule:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

Gdje m a- sredina povučena u stranu A.

U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu je polovica hipotenuze:

c
mc = —
2

Gdje mc je medijan povučen na hipotenuzu c(Slika 9c)

Medijani trokuta sijeku se u jednoj točki (u središtu mase trokuta) i tom su točkom podijeljeni u omjeru 2:1, računajući od vrha. To jest, odsječak od vrha do središta dvostruko je veći od odsječka od središta do stranice trokuta (slika 9c).

Tri središnje strane trokuta dijele ga na šest trokuta jednakih površina.

Srednja linija trokuta.

Srednja linija trokuta- ovo je segment koji povezuje središnje točke njegovih dviju strana (slika 10).

Sredina trokuta paralelna je s trećom stranicom i jednaka je njezinoj polovici.

Vanjski kut trokuta.

vanjski kut trokut jednak je zbroju dva nesusjedna unutarnji kutovi(slika 11).

Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg nesusjednog kuta.

Pravokutni trokut.

Pravokutni trokut- ovo je trokut koji ima pravi kut (slika 12).

Stranica pravokutnog trokuta nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.

Druge dvije strane su tzv noge.


Proporcionalni odsječci u pravokutnom trokutu.

1) U pravokutnom trokutu visina povučena iz pravog kuta tvori tri slična trokuta: ABC, ACH i HCB (slika 14a). Prema tome, kutovi koje čini visina jednaki su kutovima A i B.

Slika 14a

Jednakokračan trokut.

Jednakokračan trokut- ovo je trokut u kojem su dvije strane jednake (slika 13).

Te jednake strane nazivaju se strane, i treći osnova trokut.

U jednakokračnom trokutu kutovi na osnovici su jednaki. (U našem trokutu, kut A jednaka kutu C).

U jednakokračnom trokutu, središnja povučena na osnovicu je i simetrala i visina trokuta.

Jednakostraničan trokut.

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake (slika 14).

Svojstva jednakostraničnog trokuta:

Izvanredna svojstva trokuta.

Trokuti imaju izvorna svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme povezane s tim oblicima. Neka od ovih svojstava navedena su gore. Ali mi ih opet ponavljamo, dodajući im još nekoliko sjajnih značajki:

1) U pravokutnom trokutu s kutovima 90º, 30º i 60º krak je b, koji leži nasuprot kutu od 30º, jednako je polovica hipotenuze. Nogaa više nogub√3 puta (Sl. 15 A). Na primjer, ako je krak od b 5, tada je hipotenuza c nužno jednak 10, a kat A jednako 5√3.

2) U pravokutnom jednakokračnom trokutu s kutovima od 90º, 45º i 45º, hipotenuza je √2 puta krak (sl. 15 b). Na primjer, ako su katete 5, tada je hipotenuza 5√2.

3) Srednja linija trokuta jednaka je polovici paralelne stranice (sl. 15. S). Na primjer, ako je stranica trokuta 10, tada je srednja linija paralelna s njom 5.

4) U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu jednak je polovici hipotenuze (slika 9c): mc= c/2.

5) Medijane trokuta, koje se sijeku u jednoj točki, dijele se ovom točkom u omjeru 2:1. Odnosno, segment od vrha do točke presjeka medijana dvostruko je duži od segmenta od točke presjeka medijana do stranice trokuta (slika 9c)

6) U pravokutnom trokutu polovište hipotenuze je središte opisane kružnice (sl. 15. d).


Znakovi jednakosti trokuta.

Prvi znak jednakosti: Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Drugi znak jednakosti: ako su stranica i kutovi uz nju jednog trokuta jednaki stranici i kutovima uz nju drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Treći znak jednakosti: Ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Nejednakost trokuta.

U bilo kojem trokutu svaka je stranica manja od zbroja druge dvije stranice.

Pitagorin poučak.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:

c 2 = a 2 + b 2 .

Površina trokuta.

1) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove stranice i visine povučene na ovu stranu:

Ah
S = ——
2

2) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška bilo koje dvije njegove stranice i sinusa kuta između njih:

1
S = — AB · AC · grijeh A
2

Trokut opisan krugu.

Kružnicu nazivamo upisanom u trokut ako dodiruje sve njegove stranice (sl. 16 A).


Trokut upisan u krug.

Trokut se naziva upisanim u krug ako ga dodiruje svim vrhovima (slika 17. a).

Sinus, kosinus, tangens, kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta (slika 18).

Sinus oštar kut x suprotan kateter na hipotenuzu.
Označava se ovako: grijehx.

Kosinus oštar kut x pravokutni trokut je omjer susjedni kateter na hipotenuzu.
Označava se na sljedeći način: cos x.

Tangens oštar kut x je omjer suprotnog kraka prema susjednom kraku.
Označava se ovako: tgx.

Kotangens oštar kut x je omjer susjednog i suprotnog kraka.
Označava se ovako: ctgx.

Pravila:

Noga suprotni kut x, jednak je proizvodu hipotenuza na sin x:

b=c grijeh x

Noga uz kut x, jednak je umnošku hipotenuze i cos x:

a = c cos x

Noga suprotni kut x, jednak je umnošku drugog kraka i tg x:

b = a tg x

Noga uz kut x, jednak je umnošku drugog kraka i ctg x:

a = b ctg x.


Za bilo koji oštar kut x:

grijeh (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = grijeh x


Triangle) ili prelazi izvan trokuta kod tupokutnog trokuta.

Enciklopedijski YouTube

    1 / 5

    ✪ VISINA BISEKTRISE MEDIJANE trokuta 7. razred

    ✪ Simetrala, medijana, visina trokuta. Geometrija 7. razred

    ✪ 7. razred, lekcija 17, Medijane, simetrale i visine trokuta

    ✪ Medijan, simetrala, visina trokuta | Geometrija

    ✪ Kako pronaći simetralu, medijanu i visinu? | Razgovaraj sa mnom #031 | Boris Trušin

    titlovi

Svojstva sjecišta triju visina trokuta (ortocentar)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overdesightarrow (BC))+(\overdesightarrow (EB))\cdot (\ gornja strelica (CA))+(\gornja desna strelica (EC))\cdot (\gornja desna strelica (AB))=0)

(Za dokazivanje identiteta treba koristiti formule

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\strelica prekodesno (BC))=(\strelica prekodesno (EC))-(\strelica prekodesno (EB)),\,(\strelica prekodesno (CA))=(\strelica prekodesno (EA))-(\strelica prekodesno (EK)))

Točku E treba uzeti kao sjecište dviju visina trokuta.)

  • Ortocentar izogonalno konjugirano središtu opisani krug .
  • Ortocentar leži na istoj liniji kao težište, središte opisani krug a središte kružnice devet točaka (vidi Eulerovu liniju).
  • Ortocentaršiljasti trokut je središte kružnice upisane u njegov ortotrokut.
  • Središte trokuta opisanog ortocentrom s vrhovima u središtima stranica zadanog trokuta. Posljednji trokut nazivamo dodatnim trokutom u odnosu na prvi trokut.
  • Posljednje svojstvo može se formulirati na sljedeći način: Središte kruga opisanog oko trokuta služi ortocentar dodatni trokut.
  • Bodovi, simetrični ortocentar trokut s obzirom na svoje stranice leže na opisanoj kružnici.
  • Bodovi, simetrični ortocentar trokuti s obzirom na središta stranica također leže na opisanoj kružnici i podudaraju se s točkama dijametralno suprotnim odgovarajućim vrhovima.
  • Ako je O središte opisane kružnice ΔABC, tada je O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overdesnastrelica (OH))=(\overdesnastrelica (OA))+(\overdesnastrelica (OB))+(\overdesnastrelica (OC))) ,
  • Udaljenost od vrha trokuta do ortocentra dvostruko je veća od udaljenosti od središta opisane kružnice do suprotne stranice.
  • Bilo koji segment izvučen iz ortocentar uvijek raspolavlja Eulerovu kružnicu dok ne presiječe opisanu kružnicu. Ortocentar je središte homotetije ovih dvaju krugova.
  • Teorem Hamilton. Tri odsječka koji povezuju ortocentar s vrhovima oštrokutnog trokuta dijele ga na tri trokuta koji imaju istu Eulerovu kružnicu (krug od devet točaka) kao izvorni oštrokutni trokut.
  • Korolari Hamiltonovog teorema:
    • Tri dužice koje povezuju ortocentar s vrhovima oštrokutnog trokuta dijele ga na tri Hamiltonov trokut imajući jednaki radijusi opisane kružnice.
    • Polumjeri opisanih kružnica triju Hamiltonovi trokuti jednaki su polumjeru kružnice opisane oko izvornog oštrokutnog trokuta.
  • U oštrokutnom trokutu, ortocentar leži unutar trokuta; u tupom - izvan trokuta; u pravokutnom - na vrhu pravog kuta.

Svojstva visina jednakokračnog trokuta

  • Ako su u trokutu dvije visine jednake, tada je trokut jednakokračan (Steiner-Lemusov teorem), a treća visina je i središnja i simetrala kuta iz kojeg izlazi.
  • Vrijedi i obrnuto: u jednakokračnom trokutu dvije su visine jednake, a treća visina je i središnja i simetrala.
  • Jednakostraničan trokut ima sve tri visine jednake.

Svojstva osnovica visina trokuta

  • Temelji visine čine takozvani ortotrokut, koji ima svoja svojstva.
  • Kružnica opisana blizu ortotrokuta je Eulerova kružnica. Na toj kružnici leže i tri polovišta stranica trokuta i tri polovišta triju odsječaka koji povezuju ortocentar s vrhovima trokuta.
  • Još jedna formulacija posljednjeg svojstva:
    • Eulerov teorem za krug devet točaka. Temelji tri visine proizvoljni trokut, središnje točke njegovih triju stranica ( temelji svoje unutarnje medijane) i središnje točke tri segmenta koji povezuju njegove vrhove s ortocentrom, sve leže na istoj kružnici (na krug s devet točaka).
  • Teorema. U bilo kojem trokutu, segment linije koji povezuje osnove dva visine trokut odsijeca trokut sličan zadanom.
  • Teorema. U trokutu, segment linije koji povezuje osnove dva visine trokuta na dvije strane antiparalelan treća osoba s kojom nema dodirnih točaka. Kroz njena dva kraja, kao i kroz dva vrha treće navedene stranice, uvijek je moguće povući kružnicu.

Ostala svojstva visina trokuta

  • Ako je trokut svestran (scalene), onda je unutarnje simetrala povučena iz bilo kojeg vrha leži između unutarnje medijana i visina povučene iz istog vrha.
  • Visina trokuta je izogonalno konjugirana s promjerom (radijusom) opisani krug izvučeni iz istog vrha.
  • U oštrokutnom trokutu dva visine odrezati od njega slične trokute.
  • U pravokutnom trokutu visina, izvučen iz vrha pravog kuta , dijeli ga na dva trokuta slična izvornom.

Svojstva minimalne visine trokuta

Minimalna visina trokuta ima mnogo ekstremnih svojstava. Na primjer:

  • Najmanja ortogonalna projekcija trokuta na pravce koji leže u ravnini trokuta ima duljinu jednaku najmanjoj njegovoj visini.
  • Najmanji ravni rez u ravnini kroz koji se nesavitljiva trokutasta ploča može provući mora imati duljinu jednaku najmanjoj visini te ploče.
  • S kontinuiranim kretanjem dviju točaka duž perimetra trokuta jedna prema drugoj, najveća udaljenost između njih tijekom kretanja od prvog susreta do drugog ne može biti manja od duljine najmanje visine trokuta.
  • Najmanja visina u trokutu je uvijek unutar tog trokuta.

Osnovni omjeri

  • h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
  • h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a))) Gdje S (\displaystyle S)- površina trokuta, a (\displaystyle a)- duljina stranice trokuta na koju se spušta visina.
  • h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),) Gdje b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- umnožak stranica, R − (\displaystyle R-) polumjer opisane kružnice
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
  • 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), Gdje r (\displaystyle r) je polumjer upisane kružnice.
  • S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a))))))))), Gdje S (\displaystyle S)- površina trokuta.
  • a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ stil prikaza a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1 )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (a))))))))), a (\displaystyle a)- stranica trokuta na koju pada visina h a (\displaystyle h_(a)).
  • Visina jednakokračnog trokuta spuštena na osnovicu: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))
Gdje c (\displaystyle c)- baza, a (\displaystyle a)- strana.

Teorem o visini pravokutnog trokuta

Ako je visina u pravokutnom trokutu ABC h (\displaystyle h), povučena iz vrha pravog kuta, dijeli hipotenuzu s dužinom c (\displaystyle c) u segmente m (\displaystyle m) I n (\displaystyle n) koji odgovara nogama b (\displaystyle b) I a (\displaystyle a), onda su sljedeće jednakosti točne.