Matematika je simbol mudrosti znanosti,
uzor znanstvene strogosti i jednostavnosti,
standard izvrsnosti i ljepote u znanosti.
Ruski filozof, profesor A.V. Vološinov
Nejednadžbe s modulom
Najteži problemi za rješavanje u školskoj matematici su nejednadžbe, koji sadrži varijable pod znakom modula. Za uspješno rješenje Takve nejednakosti zahtijevaju dobro poznavanje svojstava modula i vještine za njihovo korištenje.
Osnovni pojmovi i svojstva
Modul ( apsolutna vrijednost) pravi broj označen sa i definira se na sljedeći način:
DO jednostavna svojstva modul uključuje sljedeće odnose:
I .
Bilješka, da posljednja dva svojstva vrijede za svaki parni stupanj.
Štoviše, ako, gdje, onda i
Više složena svojstva modul, koji se mogu učinkovito koristiti pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi s modulima, formulirani su kroz sljedeće teoreme:
Teorem 1.Za sve analitičke funkcije I nejednakost je istinita.
Teorem 2. Jednakost ravno nejednakosti.
Teorem 3. Jednakost ravno nejednakosti.
Najčešće nejednakosti u školskoj matematici, koji sadrži nepoznate varijable pod znakom modula, su nejednakosti oblika i gdje neka pozitivna konstanta.
Teorem 4. Nejednakost je ekvivalent dvostrukoj nejednakosti, i rješenje nejednadžbesvodi na rješavanje skupa nejednadžbi i .
Ovaj teorem je poseban slučaj teorema 6 i 7.
Složenije nejednadžbe, koji sadrže modul su nejednadžbe oblika, i .
Metode za rješavanje takvih nejednakosti mogu se formulirati pomoću sljedeća tri teorema.
Teorem 5. Nejednakost je ekvivalentan kombinaciji dvaju sustava nejednakosti
ja (1)
Dokaz. Od tad
Ovo implicira valjanost (1).
Teorem 6. Nejednakost je ekvivalentan sustavu nejednakosti
Dokaz. jer, zatim iz nejednakosti slijedi to . Pod ovim uvjetom, nejednakostte će se u tom slučaju drugi sustav nejednakosti (1) pokazati nedosljednim.
Teorem je dokazan.
Teorem 7. Nejednakost ekvivalentan je kombinaciji jedne nejednakosti i dva sustava nejednakosti
ja (3)
Dokaz. Od , Tada je nejednakost uvijek izvršena, Ako .
Neka, zatim nejednakostbit će ekvivalent nejednakosti, iz čega slijedi skup dviju nejednakosti i .
Teorem je dokazan.
Pogledajmo tipične primjere rješavanja zadataka na temu “Nejednakosti, koji sadrži varijable pod znakom modula."
Rješavanje nejednadžbi s modulom
Najjednostavnija metoda za rješavanje nejednadžbi s modulom je metoda, na temelju proširenja modula. Ova metoda je univerzalna, međutim, u općem slučaju, njegova uporaba može dovesti do vrlo glomaznih izračuna. Stoga bi učenici trebali poznavati druge (učinkovitije) metode i tehnike za rješavanje takvih nejednakosti. Posebno, potrebno je posjedovati vještine u primjeni teorema, dano u ovom članku.
Primjer 1.Riješite nejednadžbu
. (4)
Riješenje.Nejednadžbu (4) ćemo rješavati “klasičnom” metodom – metodom otkrivanja modula. U tu svrhu dijelimo brojevnu os točkice i u intervale i razmotrimo tri slučaja.
1. Ako je , tada , , , a nejednakost (4) ima oblik ili .
Budući da se ovdje razmatra slučaj, to je rješenje nejednadžbe (4).
2. Ako, tada iz nejednakosti (4) dobivamo ili . Budući da sjecište intervala I prazno je, tada na promatranom intervalu rješenja ne postoji nejednadžba (4).
3. Ako, tada nejednakost (4) ima oblik ili . Očito je da također je rješenje nejednadžbe (4).
Odgovor: , .
Primjer 2. Riješite nejednadžbu.
Riješenje. Pretpostavimo da. jer, tada zadana nejednakost poprima oblik ili . Od tad a odavde slijedi ili .
Međutim, dakle ili.
Primjer 3. Riješite nejednadžbu
. (5)
Riješenje. jer, tada je nejednakost (5) ekvivalentna nejednakostima ili . Odavde, prema teoremu 4, imamo skup nejednakosti i .
Odgovor: , .
Primjer 4.Riješite nejednadžbu
. (6)
Riješenje. Označimo . Tada iz nejednadžbe (6) dobivamo nejednadžbe , , ili .
Odavde, metodom intervala, dobivamo . jer, onda ovdje imamo sustav nejednakosti
Rješenje prve nejednadžbe sustava (7) je unija dvaju intervala i , a rješenje druge nejednadžbe je dvostruka nejednadžba. Iz čega slijedi , da je rješenje sustava nejednadžbi (7) unija dvaju intervala i .
Odgovor: ,
Primjer 5.Riješite nejednadžbu
. (8)
Riješenje. Transformirajmo nejednadžbu (8) na sljedeći način:
Ili .
Metodom intervala, dobivamo rješenje nejednadžbe (8).
Odgovor: .
Bilješka. Ako stavimo i u uvjete teorema 5, dobivamo .
Primjer 6. Riješite nejednadžbu
. (9)
Riješenje. Iz nejednakosti (9) slijedi. Transformirajmo nejednadžbu (9) na sljedeći način:
Ili
Od , dakle ili .
Odgovor: .
Primjer 7.Riješite nejednadžbu
. (10)
Riješenje. Od i , tada ili .
S tim u vezi a nejednakost (10) poprima oblik
Ili
. (11)
Iz toga slijedi da ili . Kako je , onda iz nejednakosti (11) također proizlazi ili .
Odgovor: .
Bilješka. Ako teorem 1 primijenimo na lijevu stranu nejednakosti (10), onda dobivamo . Iz ovoga i nejednakosti (10) slijedi, što ili . jer, tada nejednakost (10) ima oblik ili .
Primjer 8. Riješite nejednadžbu
. (12)
Riješenje. Od tad a iz nejednakosti (12) slijedi ili . Međutim, dakle ili. Odavde dobivamo ili .
Odgovor: .
Primjer 9. Riješite nejednadžbu
. (13)
Riješenje. Prema teoremu 7, rješenje nejednadžbe (13) je ili .
Neka bude sada. U ovom slučaju a nejednakost (13) poprima oblik ili .
Ako kombinirate intervale i , tada dobivamo rješenje nejednadžbe (13) oblika.
Primjer 10. Riješite nejednadžbu
. (14)
Riješenje. Prepišimo nejednadžbu (14) u ekvivalentnom obliku: . Ako teorem 1 primijenimo na lijevu stranu ove nejednakosti, dobit ćemo nejednakost .
Odavde i iz teorema 1 slijedi, da je nejednakost (14) zadovoljena za bilo koje vrijednosti.
Odgovor: bilo koji broj.
Primjer 11. Riješite nejednadžbu
. (15)
Riješenje. Primjenom teorema 1 na lijevu stranu nejednadžbe (15), dobivamo . Ovo i nejednadžba (15) daju jednadžbu, koji ima oblik.
Prema teoremu 3, jednadžba ravno nejednakosti. Odavde dobivamo.
Primjer 12.Riješite nejednadžbu
. (16)
Riješenje. Iz nejednadžbe (16) prema teoremu 4 dobivamo sustav nejednadžbi
Prilikom rješavanja nejednadžbeIskoristimo teorem 6 i dobijmo sustav nejednadžbiiz čega slijedi.
Razmotrimo nejednakost. Prema teoremu 7, dobivamo skup nejednakosti i . Druga nejednakost stanovništva vrijedi za svaki real.
Stoga , rješenje nejednadžbe (16) je.
Primjer 13.Riješite nejednadžbu
. (17)
Riješenje. Prema teoremu 1 možemo pisati
(18)
Uzimajući u obzir nejednadžbu (17), zaključujemo da obje nejednadžbe (18) prelaze u jednakosti, tj. postoji sustav jednadžbi
Prema teoremu 3, ovaj sustav jednadžbi je ekvivalentan sustavu nejednadžbi
ili
Primjer 14.Riješite nejednadžbu
. (19)
Riješenje. Od tad. Pomnožimo obje strane nejednakosti (19) s izrazom , koji uzima samo pozitivne vrijednosti za bilo koju vrijednost. Tada dobivamo nejednadžbu koja je ekvivalentna nejednadžbi (19), oblika
Odavde dolazimo ili , gdje . Od i tada je rješenje nejednadžbe (19). i .
Odgovor: , .
Za dublje proučavanje metoda za rješavanje nejednakosti s modulom, preporučujemo da se obratite udžbenicima, navedeno u popisu preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike fakultetima / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: metode rješavanja i dokazivanja nejednakosti. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 str.
3. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: nestandardne metode rješavanja problema. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 str.
Još uvijek imate pitanja?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Danas, prijatelji, neće biti šmrcanja i sentimentalnosti. Umjesto toga, poslat ću vas, bez pitanja, u bitku s jednim od najstrašnijih protivnika u tečaju algebre od 8. do 9. razreda.
Da, sve ste dobro razumjeli: govorimo o nejednadžbama s modulom. Pogledat ćemo četiri osnovne tehnike s kojima ćete naučiti riješiti oko 90% takvih problema. Što je s preostalih 10%? Pa, o njima ćemo govoriti u zasebnoj lekciji. :)
Međutim, prije nego što analiziram bilo koju od tehnika, želio bih vas podsjetiti na dvije činjenice koje već morate znati. Inače riskirate da uopće ne razumijete gradivo današnje lekcije.
Ono što već trebate znati
Čini se da Captain Obviousness daje naslutiti da za rješavanje nejednakosti s modulom trebate znati dvije stvari:
- Kako se rješavaju nejednakosti;
- Što je modul?
Počnimo s drugom točkom.
Definicija modula
Ovdje je sve jednostavno. Postoje dvije definicije: algebarska i grafička. Za početak - algebarski:
Definicija. Modul broja $x$ je ili sam broj, ako je nenegativan, ili broj nasuprot njemu, ako je izvorni $x$ još uvijek negativan.
Napisano je ovako:
\[\lijevo| x \desno|=\lijevo\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \desno.\]
Jednostavno rečeno, modul je "broj bez minusa". I upravo u toj dvojnosti (na nekim mjestima ne morate ništa učiniti s izvornim brojem, ali na drugim morate ukloniti neku vrstu minusa) leži sva poteškoća za studente početnike.
Ima li još geometrijska definicija. Također je korisno znati, ali ćemo se tome obratiti samo u složenim i nekim posebnim slučajevima, gdje je geometrijski pristup prikladniji od algebarskog (spojler: ne danas).
Definicija. Neka je na brojevnom pravcu označena točka $a$. Zatim modul $\lijevo| x-a \right|$ je udaljenost od točke $x$ do točke $a$ na ovoj liniji.
Ako nacrtate sliku, dobit ćete nešto poput ovoga:
Definicija grafičkog modula Na ovaj ili onaj način, iz definicije modula to odmah slijedi ključno svojstvo: modul broja uvijek je nenegativna veličina. Ova će činjenica biti crvena nit koja će se provlačiti kroz cijelu našu današnju pripovijest.
Rješavanje nejednadžbi. Metoda intervala
Sada pogledajmo nejednakosti. Ima ih jako puno, ali naš je zadatak sada riješiti barem najjednostavniji od njih. Oni koji se svode na linearne nejednakosti, kao i na metodu intervala.
Imam dvije velike lekcije o ovoj temi (usput, vrlo, JAKO korisne - preporučujem da ih proučite):
- Metoda intervala za nejednakosti(posebno pogledajte video);
- Razlomačke racionalne nejednadžbe- vrlo opsežna lekcija, ali nakon nje nećete imati nikakvih pitanja.
Ako sve ovo znate, ako fraza "prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu" ne budi u vama nejasnu želju da se udarite u zid, onda ste spremni: dobrodošli u pakao na glavnu temu lekcije. :)
1. Nejednadžbe oblika “Modul je manji od funkcije”
Ovo je jedan od najčešćih problema s modulima. Potrebno je riješiti nejednadžbu oblika:
\[\lijevo| f\desno| \ltg\]
Funkcije $f$ i $g$ mogu biti bilo što, ali obično su polinomi. Primjeri takvih nejednakosti:
\[\begin(align) & \left| 2x+3 \desno| \lt x+7; \\ & \lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo| ((x)^(2))-2\lijevo| x \desno|-3 \desno| \lt 2. \\\end(align)\]
Sve ih se može riješiti doslovno u jednom retku prema sljedećoj shemi:
\[\lijevo| f\desno| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \točno točno)\]
Lako je vidjeti da se rješavamo modula, ali zauzvrat dobivamo dvostruku nejednadžbu (ili, što je isto, sustav dviju nejednadžbi). Ali ovaj prijelaz uzima u obzir apsolutno sve moguće probleme: ako je broj ispod modula pozitivan, metoda radi; ako je negativan, i dalje radi; čak i s najneprikladnijom funkcijom umjesto $f$ ili $g$, metoda će i dalje raditi.
Naravno, postavlja se pitanje: zar ne može jednostavnije? Nažalost, nije moguće. To je cijela poanta modula.
No, dosta s filozofiranjem. Riješimo par problema:
Zadatak. Riješite nejednadžbu:
\[\lijevo| 2x+3 \desno| \lt x+7\]
Riješenje. Dakle, pred nama je klasična nejednakost oblika "modul je manji" - čak se nema što transformirati. Radimo prema algoritmu:
\[\begin(align) & \left| f\desno| \lt g\desna strelica -g \lt f \lt g; \\ & \lijevo| 2x+3 \desno| \lt x+7\desna strelica -\lijevo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
Nemojte žuriti s otvaranjem zagrada ispred kojih stoji "minus": vrlo je moguće da ćete zbog svoje žurbe napraviti uvredljivu pogrešku.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\lijevo\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \desno.\]
\[\lijevo\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]
\[\lijevo\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]
Problem se sveo na dvije elementarne nejednakosti. Zabilježimo njihova rješenja na paralelnim brojevnim pravcima:
Sjecište mnogih
Presjek ovih skupova bit će odgovor.
Odgovor: $x\in \lijevo(-\frac(10)(3);4 \desno)$
Zadatak. Riješite nejednadžbu:
\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0\]
Riješenje. Ovaj zadatak je malo teži. Prvo, izolirajmo modul pomicanjem drugog člana udesno:
\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]
Očito opet imamo nejednakost oblika “modul je manji” pa se modula rješavamo već poznatim algoritmom:
\[-\lijevo(-3\lijevo(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]
Sad pozor: netko će reći da sam malo perverznjak sa svim tim zagradama. No, podsjetit ću vas još jednom da je naš ključni cilj točno riješiti nejednadžbu i dobiti odgovor. Kasnije, kada savršeno savladate sve što je opisano u ovoj lekciji, možete sami izvrtati kako želite: otvarati zagrade, dodavati minuse itd.
Za početak, jednostavno ćemo se riješiti dvostrukog minusa s lijeve strane:
\[-\lijevo(-3\lijevo(x+1 \desno) \desno)=\lijevo(-1 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(x+1 \desno) =3\lijevo(x+1 \desno)\]
Sada otvorimo sve zagrade u dvostrukoj nejednakosti:
Prijeđimo na dvostruku nejednadžbu. Ovaj put će računice biti ozbiljnije:
\[\lijevo\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \desno.\]
\[\lijevo\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnati)\desno.\]
Obje nejednadžbe su kvadratne i mogu se riješiti metodom intervala (zato kažem: ako ne znate što je to, bolje je da još ne ulazite u module). Prijeđimo na jednadžbu u prvoj nejednadžbi:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lijevo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]
Kao što vidite, rezultat je bio nepotpun kvadratna jednadžba, koji se može riješiti na elementaran način. Pogledajmo sada drugu nejednadžbu sustava. Tamo ćete morati primijeniti Vietin teorem:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \lijevo(x-3 \desno)\lijevo(x+2 \desno)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]
Dobivene brojeve označavamo na dvije paralelne crte (odvojeno za prvu nejednadžbu i odvojeno za drugu):
Opet, budući da rješavamo sustav nejednadžbi, zanima nas presjek osjenčanih skupova: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ovo je odgovor.
Odgovor: $x\in \lijevo(-5;-2 \desno)$
Mislim da je nakon ovih primjera shema rješenja vrlo jasna:
- Izolirajte modul pomicanjem svih ostalih članova na suprotnu stranu nejednakosti. Tako dobivamo nejednakost oblika $\left| f\desno| \ltg$.
- Riješite ovu nejednadžbu tako da se riješite modula prema gore opisanoj shemi. U jednom trenutku bit će potrebno prijeći s dvostruke nejednakosti na sustav od dva neovisna izraza od kojih se svaki već može zasebno riješiti.
- Na kraju, ostaje samo presjeći rješenja ova dva nezavisna izraza - i to je to, dobit ćemo konačan odgovor.
Sličan algoritam postoji za nejednakosti sljedećeg tipa, kada modul više značajki. Međutim, postoji nekoliko ozbiljnih "ali". Sada ćemo razgovarati o ovim "ali".
2. Nejednadžbe oblika “Modul je veći od funkcije”
Izgledaju ovako:
\[\lijevo| f\desno| \gtg\]
Slično prethodnom? Čini se. A ipak se takvi problemi rješavaju na potpuno drugačiji način. Formalno, shema je sljedeća:
\[\lijevo| f\desno| \gt g\Rightarrow \lijevo[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \desno.\]
Drugim riječima, razmatramo dva slučaja:
- Prvo, jednostavno zanemarimo modul i riješimo uobičajenu nejednadžbu;
- Zatim, u biti, proširimo modul s predznakom minus, a zatim pomnožimo obje strane nejednadžbe s −1, dok imam predznak.
U ovom slučaju opcije se kombiniraju s uglatom zagradom, tj. Pred sobom imamo kombinaciju dva zahtjeva.
Napominjemo još jednom: ovo nije sustav, nego ukupnost, dakle u odgovoru se skupovi kombiniraju, a ne sijeku. To je temeljna razlika u odnosu na prethodnu točku!
Općenito, mnogi studenti potpuno su zbunjeni sindikatima i raskrižjima, pa riješimo ovo pitanje jednom zauvijek:
- "∪" je znak unije. U biti, ovo je stilizirano slovo "U" koje nam je došlo iz na engleskom i skraćenica je za “Union”, tj. "Udruge".
- "∩" je znak raskrižja. Ovo sranje nije došlo niotkuda, nego se jednostavno pojavilo kao kontrapunkt "∪".
Da biste još lakše zapamtili, samo nacrtajte noge ovim znakovima da napravite naočale (samo me nemojte sad optuživati da promičem ovisnost o drogama i alkoholizam: ako ozbiljno učite ovu lekciju, onda ste već narkoman):
Razlika između presjeka i unije skupova Prevedeno na ruski, to znači sljedeće: unija (ukupnost) uključuje elemente iz oba skupa, stoga ni na koji način nije manja od svake od njih; ali sjecište (sustav) uključuje samo one elemente koji su istovremeno i u prvom i u drugom skupu. Stoga presjek skupova nikada nije veći od izvornih skupova.
Tako je postalo jasnije? To je odlično. Prijeđimo na praksu.
Zadatak. Riješite nejednadžbu:
\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]
Riješenje. Nastavljamo prema shemi:
\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\desna strelica \lijevo[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\lijevo(5-4x \desno) \\\end(align) \ pravo.\]
Rješavamo svaku nejednakost u populaciji:
\[\lijevo[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \desno.\]
\[\lijevo[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \desno.\]
\[\lijevo[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \desno.\]
Svaki dobiveni skup označimo na brojevnoj crti, a zatim ih kombiniramo:
Unija skupova
Sasvim je očito da će odgovor biti $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Odgovor: $x\in \lijevo(\frac(4)(7);+\infty \desno)$
Zadatak. Riješite nejednadžbu:
\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\]
Riješenje. Dobro? Ništa - sve je isto. Prelazimo s nejednadžbe s modulom na skup od dvije nejednadžbe:
\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\desna strelica \lijevo[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \desno.\]
Rješavamo svaku nejednačinu. Nažalost, korijeni tamo neće biti baš dobri:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]
Druga nejednakost je također pomalo divlja:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]
Sada trebate označiti ove brojeve na dvije osi - po jednu os za svaku nejednadžbu. Međutim, trebate označiti točke ispravnim redoslijedom: što je veći broj, to se točka više pomiče udesno.
I tu nas čeka namještaljka. Ako je sve jasno s brojevima $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (članovi u brojniku prvog razlomak manji od članova u brojniku drugog, pa je i zbroj manji), s brojevima $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ također neće biti poteškoća (pozitivan broj očito više negativan), onda s posljednjim parom sve nije tako jasno. Što je veće: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ili $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? O odgovoru na ovo pitanje ovisit će raspored točaka na brojevnim pravcima i, zapravo, odgovor.
Pa usporedimo:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]
Izolirali smo korijen, dobili nenegativne brojeve na obje strane nejednadžbe, pa imamo pravo kvadrirati obje strane:
\[\begin(matrix) ((\lijevo(2+\sqrt(13) \desno))^(2))\vee ((\lijevo(\sqrt(21) \desno))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
Mislim da nije pametno da $4\sqrt(13) \gt 3$, dakle $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, konačne točke na osi bit će postavljene ovako:
Slučaj ružnih korijena
Dopustite da vas podsjetim da rješavamo skup, tako da će odgovor biti unija, a ne presjek osjenčanih skupova.
Odgovor: $x\in \lijevo(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \lijevo(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
Kao što vidite, naša shema radi izvrsno i za jednostavne i za vrlo teške probleme. Jedina "slaba točka" u ovom pristupu je da morate ispravno usporediti iracionalne brojeve (a vjerujte mi: to nisu samo korijeni). Ali posebna (i vrlo ozbiljna) lekcija bit će posvećena pitanjima usporedbe. I idemo dalje.
3. Nejednakosti s nenegativnim “repovima”
Sada dolazimo do najzanimljivijeg dijela. To su nejednakosti oblika:
\[\lijevo| f\desno| \gt\lijevo| g\desno|\]
Općenito govoreći, algoritam o kojem ćemo sada govoriti ispravan je samo za modul. Radi u svim nejednakostima gdje postoje zajamčeni nenegativni izrazi s lijeve i desne strane:
Što učiniti s tim zadacima? Samo zapamti:
U nejednadžbama s nenegativnim "repovima" obje se strane mogu podići na bilo koju prirodnu potenciju. Neće biti dodatnih ograničenja.
Prije svega, zanimat će nas kvadriranje - spaljuje module i korijene:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\lijevo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\end(align)\]
Samo nemojte ovo brkati s vađenjem korijena iz kvadrata:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\lijevo| f \desno|\ne f\]
Bezbrojne greške su napravljene kada je student zaboravio instalirati modul! Ali ovo je sasvim druga priča (to su, takoreći, iracionalne jednadžbe), pa nećemo sada ulaziti u to. Riješimo bolje nekoliko problema:
Zadatak. Riješite nejednadžbu:
\[\lijevo| x+2 \desno|\ge \lijevo| 1-2x \desno|\]
Riješenje. Odmah primijetimo dvije stvari:
- Ovo nije stroga nejednakost. Točke na brojevnom pravcu bit će izbušene.
- Obje strane nejednakosti su očito nenegativne (ovo je svojstvo modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Stoga možemo kvadrirati obje strane nejednadžbe kako bismo se riješili modula i riješili problem koristeći uobičajenu metodu intervala:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\lijevo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\lijevo(2x-1 \desno))^(2)). \\\end(align)\]
U zadnjem koraku sam malo varao: promijenio sam redoslijed članova, koristeći prednost parnosti modula (zapravo, pomnožio sam izraz $1-2x$ s −1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \lijevo(\lijevo(2x-1 \desno)-\lijevo(x+2 \desno) \desno)\cdot \lijevo(\lijevo(2x-1 \desno)+\lijevo(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \lijevo(2x-1-x-2 \desno)\cdot \lijevo(2x-1+x+2 \desno)\le 0; \\ & \lijevo(x-3 \desno)\cdot \lijevo(3x+1 \desno)\le 0. \\\end(align)\]
Rješavamo metodom intervala. Prijeđimo s nejednakosti na jednadžbu:
\[\begin(align) & \left(x-3 \desno)\lijevo(3x+1 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Pronađene korijene označavamo na brojevnoj crti. Još jednom: sve su točke osjenčane jer izvorna nejednakost nije stroga!
Uklanjanje znaka modula
Podsjećam za one posebno tvrdoglave: predznake uzimamo iz posljednje nejednadžbe, koja je zapisana prije nego što smo prešli na jednadžbu. I bojimo površine potrebne u istoj nejednadžbi. U našem slučaju to je $\lijevo(x-3 \desno)\lijevo(3x+1 \desno)\le 0$.
OK, sada je sve gotovo. Problem je riješen.
Odgovor: $x\in \lijevo[ -\frac(1)(3);3 \desno]$.
Zadatak. Riješite nejednadžbu:
\[\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \lijevo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]
Riješenje. Sve radimo isto. Neću komentirati - samo pogledajte slijed radnji.
Kvadratirajte:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \lijevo(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\times \\ & \times \lijevo(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \lijevo(-2x-3 \desno)\lijevo(2((x)^(2))+4x+5 \desno)\le 0. \\\end(align)\]
Metoda intervala:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna strelica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Desna strelica D=16-40 \lt 0\Desna strelica \varništa . \\\end(align)\]
Postoji samo jedan korijen na brojevnoj pravoj:
Odgovor je cijeli interval
Odgovor: $x\u \lijevo[ -1,5;+\infty \desno)$.
Mala napomena o zadnjem zadatku. Kao što je jedan moj student točno primijetio, oba submodularna izraza u ovoj nejednakosti očito su pozitivna, pa se znak modula može izostaviti bez štete po zdravlje.
Ali to je sasvim druga razina razmišljanja i drugačiji pristup – to se uvjetno može nazvati metodom posljedica. O tome - u zasebnoj lekciji. Sada prijeđimo na završni dio današnje lekcije i pogledajmo univerzalni algoritam koji uvijek radi. Čak i kada su svi prethodni pristupi bili nemoćni. :)
4. Metoda nabrajanja opcija
Što ako sve ove tehnike ne pomognu? Ako se nejednakost ne može svesti na nenegativne repove, ako je nemoguće izolirati modul, ako općenito postoji bol, tuga, melankolija?
Tada na scenu stupa "teška artiljerija" cijele matematike - metoda grube sile. U odnosu na nejednadžbe s modulom to izgleda ovako:
- Napišite sve submodularne izraze i postavite ih na nulu;
- Riješite dobivene jednadžbe i označite pronađene korijene na jednom brojevnom pravcu;
- Ravna linija bit će podijeljena u nekoliko dijelova, unutar kojih svaki modul ima fiksni znak i stoga se jedinstveno otkriva;
- Riješite nejednadžbu na svakom takvom odjeljku (možete zasebno razmotriti granice korijena dobivene u koraku 2 - za pouzdanost). Kombinirajte rezultate - to će biti odgovor. :)
Pa kako? Slab? Lako! Samo na duže vrijeme. Da vidimo u praksi:
Zadatak. Riješite nejednadžbu:
\[\lijevo| x+2 \desno| \lt \lijevo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]
Riješenje. Ovo sranje se ne svodi na nejednakosti poput $\left| f\desno| \lt g$, $\lijevo| f\desno| \gt g$ ili $\lijevo| f\desno| \lt \lijevo| g \right|$, tako da djelujemo unaprijed.
Zapisujemo submodularne izraze, izjednačavamo ih s nulom i nalazimo korijene:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\desna strelica x=1. \\\end(align)\]
Ukupno imamo dva korijena koji brojevnu liniju dijele na tri dijela, unutar kojih se svaki modul otkriva jedinstveno:
Rastavljanje brojevnog pravca nulama submodularnih funkcija
Pogledajmo svaki odjeljak zasebno.
1. Neka je $x \lt -2$. Tada su oba submodularna izraza negativna, a izvorna nejednakost će se prepisati na sljedeći način:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \desno) \lt -\lijevo(x-1 \desno)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]
Imamo prilično jednostavno ograničenje. Presjecimo ga s početnom pretpostavkom da je $x \lt -2$:
\[\lijevo\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Očito je da varijabla $x$ ne može istovremeno biti manja od −2 i veća od 1,5. U ovoj oblasti nema rješenja.
1.1. Razmotrimo odvojeno granični slučaj: $x=-2$. Zamijenimo ovaj broj u izvornu nejednakost i provjerimo: je li to točno?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \lijevo| -3\desno|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\desna strelica \varništa . \\\end(align)\]
Očito je da nas je lanac izračuna doveo do netočne nejednakosti. Stoga je izvorna nejednakost također netočna, a $x=-2$ nije uključeno u odgovor.
2. Neka je sada $-2 \lt x \lt 1$. Lijevi modul će se već otvoriti s "plusom", ali desni će se i dalje otvoriti s "minusom". Imamo:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\lijevo(x-1 \desno)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]
Opet se križamo s izvornim zahtjevom:
\[\lijevo\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
I opet prazan skup rješenja, jer ne postoje brojevi koji su istovremeno manji od −2,5 i veći od −2.
2.1. I opet poseban slučaj: $x=1$. Zamjenjujemo u izvornu nejednakost:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \lijevo| 3\desno| \lt \lijevo| 0\desno|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\desna strelica \varništa . \\\end(align)\]
Slično prethodnom “posebnom slučaju”, broj $x=1$ očito nije uključen u odgovor.
3. Posljednji dio retka: $x \gt 1$. Ovdje se svi moduli otvaraju znakom plus:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
I opet siječemo pronađeni skup s originalnim ograničenjem:
\[\lijevo\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
Konačno! Pronašli smo interval koji će biti odgovor.
Odgovor: $x\u \lijevo(4,5;+\infty \desno)$
Za kraj, jedna napomena koja vas može spasiti od glupih pogrešaka pri rješavanju stvarnih problema:
Rješenja nejednadžbi s modulima obično predstavljaju kontinuirane skupove na brojevnom pravcu - intervale i segmente. Mnogo rjeđe izolirane točke. A još rjeđe se događa da se granica rješenja (kraj segmenta) podudara s granicom raspona koji se razmatra.
Posljedično, ako granice (isti “posebni slučajevi”) nisu uključene u odgovor, tada područja lijevo i desno od tih granica gotovo sigurno neće biti uključena u odgovor. I obrnuto: granica je ušla u odgovor, što znači da će neka područja oko nje također biti odgovori.
Imajte to na umu kada pregledavate svoja rješenja.
Rješavanje nejednakosti online
Prije rješavanja nejednadžbi, morate dobro razumjeti kako se rješavaju jednadžbe.
Nije važno je li nejednakost stroga () ili nije stroga (≤, ≥), prvi korak je riješiti jednadžbu zamjenom znaka nejednakosti s jednakošću (=).
Objasnimo što znači riješiti nejednadžbu?
Nakon proučavanja jednadžbi, u glavi učenika pojavljuje se sljedeća slika: treba pronaći vrijednosti varijable takve da obje strane jednadžbe imaju iste vrijednosti. Drugim riječima, pronađite sve točke u kojima vrijedi jednakost. Sve je točno!
Kada govorimo o nejednakostima, mislimo na pronalaženje intervala (odsječaka) na kojima nejednakost vrijedi. Ako u nejednadžbi postoje dvije varijable, tada rješenje više neće biti intervali, već neka područja na ravnini. Pogodite sami što će biti rješenje nejednadžbe u tri varijable?
Kako riješiti nejednadžbe?
Na univerzalan način rješenjima nejednadžbi smatra se metoda intervala (poznata i kao metoda intervala), koja se sastoji u određivanju svih intervala u čijim granicama će određena nejednadžba biti zadovoljena.
Ne ulazeći u vrstu nejednakosti, u ovom slučaju to nije poanta, potrebno je riješiti odgovarajuću jednadžbu i odrediti njezine korijene, nakon čega slijedi označavanje tih rješenja na brojčanoj osi.
Kako pravilno napisati rješenje nejednadžbe?
Nakon što ste odredili intervale rješavanja nejednadžbe potrebno je ispravno napisati samo rješenje. Postoji važna nijansa - jesu li granice intervala uključene u rješenje?
Ovdje je sve jednostavno. Ako rješenje jednadžbe zadovoljava ODZ i nejednadžba nije stroga, tada se granica intervala uključuje u rješenje nejednadžbe. Inače, ne.
Uzimajući u obzir svaki interval, rješenje nejednadžbe može biti sam interval, ili poluinterval (kada jedna njegova granica zadovoljava nejednadžbu), ili segment - interval zajedno sa svojim granicama.
Važna točka
Nemojte misliti da samo intervali, poluintervali i segmenti mogu riješiti nejednadžbu. Ne, rješenje može uključivati i pojedinačne točke.
Na primjer, nejednadžba |x|≤0 ima samo jedno rješenje - to je točka 0.
I nejednakost |x|
Zašto vam je potreban kalkulator nejednakosti?
Kalkulator nejednakosti daje točan konačni odgovor. U većini slučajeva prikazana je ilustracija brojčane osi ili ravnine. Vidljivo je da li su granice intervala uključene u rješenje ili ne - točke su prikazane kao zasjenjene ili punktirane.
Zahvaljujući online kalkulator nejednakosti, možete provjeriti jeste li točno pronašli korijene jednadžbe, označili ih na brojevnoj osi i provjerili ispunjenost uvjeta nejednakosti na intervalima (i granicama)?
Ako se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatora, onda svakako trebate još jednom provjeriti svoje rješenje i identificirati pogrešku.
Što više čovjek razumije, to je njegova želja za razumijevanjem jača
Toma Akvinski
Intervalna metoda omogućuje vam rješavanje bilo koje jednadžbe koja sadrži modul. Suština ove metode je da se brojčana os razdvoji na nekoliko sekcija (intervala), a os treba da se razdvoji nulama izraza u modulima. Zatim, na svakom od rezultirajućih odjeljaka, svaki submodularni izraz je pozitivan ili negativan. Dakle, svaki od modula može se otvoriti ili sa znakom minus ili sa znakom plus. Nakon ovih koraka preostaje samo riješiti svaku od dobivenih jednostavnih jednadžbi na promatranom intervalu i kombinirati dobivene odgovore.
Pogledajmo ovu metodu na konkretnom primjeru.
|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.
1) Pronađimo nule izraza u modulima. Da bismo to učinili, moramo ih izjednačiti s nulom i riješiti dobivene jednadžbe.
x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0
x = -1 2x = 4 x = -3
2) Postavite dobivene točke traženim redoslijedom na koordinatnu liniju. Oni će cijelu os podijeliti na četiri dijela.
3) Odredimo na svakom od dobivenih odsječaka predznake izraza u modulima. Da bismo to učinili, zamijenimo ih bilo kojim brojevima iz intervala koji nas zanimaju. Ako je rezultat izračuna pozitivan broj, tada u tablicu stavljamo “+”, a ako je broj negativan, onda stavljamo “–”. Ovo se može prikazati ovako: 
4) Sada ćemo riješiti jednadžbu na svakom od četiri intervala, otkrivajući module s predznacima koji su navedeni u tablici. Dakle, pogledajmo prvi interval:
I interval (-∞; -3). Na njemu se svi moduli otvaraju znakom “–”. Dobivamo sljedeću jednadžbu:
-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Predstavimo slične članove, prvo otvarajući zagrade u dobivenoj jednadžbi:
X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6
Dobiveni odgovor ne ulazi u razmatrani interval, pa ga nije potrebno upisivati u konačni odgovor.
II interval [-3; -1). U ovom intervalu u tablici postoje znakovi "–", "–", "+". Upravo ovako otvaramo module izvorne jednadžbe:
-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Pojednostavimo otvaranjem zagrada:
X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Predstavimo slične u dobivenoj jednadžbi:
x = 6/5. Rezultirajući broj ne pripada intervalu koji se razmatra, stoga nije korijen izvorne jednadžbe.
III interval [-1; 2). Module izvorne jednadžbe proširujemo predznacima koji se pojavljuju u trećem stupcu na slici. Dobivamo:
(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Oslobodimo se zagrada i premjestimo članove koji sadrže varijablu x na lijevu stranu jednadžbe, a one koji ne sadrže x na pravo. Imat će:
x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6
Broj 2 nije uključen u interval koji se razmatra.
IV interval)
