Jednadžba kružnice polumjera sa središtem u točki. Jednadžba kružnice i pravca. Da biste stvorili jednadžbu kruga, trebate

Tema lekcije: Jednadžba kruga

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: Izvedite jednadžbu kružnice, razmatrajući rješenje ovog problema kao jednu od mogućnosti korištenja koordinatne metode.

Biti u mogućnosti:

– Prepoznati jednadžbu kružnice pomoću predložene jednadžbe, naučiti učenike sastaviti jednadžbu kružnice prema gotovom crtežu i konstruirati kružnicu pomoću zadane jednadžbe.

Edukativni : Formiranje kritičkog mišljenja.

Razvojni : Razvijanje sposobnosti sastavljanja algoritamskih uputa i sposobnosti postupanja u skladu s predloženim algoritmom.

Biti u mogućnosti:

– Pogledajte problem i navedite načine za njegovo rješavanje.

– Ukratko izrazite svoje misli usmeno i pismeno.

Vrsta lekcije: ovladavanje novim znanjima.

Oprema : računalo, multimedijalni projektor, platno.

Plan učenja:

1. Uvod- 3 min.

2. Obnavljanje znanja – 2 min.

3. Postavka problema i njegovo rješenje – 10 min.

4. Frontalno učvršćivanje novog materijala – 7 min.

5. Samostalni rad u grupama – 15 min.

6. Prezentacija rada: rasprava – 5 min.

7. Sažetak lekcije. Domaća zadaća- 3 min.

Tijekom nastave

Svrha ove faze: Psihološko raspoloženje učenika; Uključivanje svih učenika u odgojno-obrazovni proces, stvaranje situacije uspjeha.

1. Organiziranje vremena.

3 minute

momci! S kružokom ste se upoznali u 5. i 8. razredu. Što znaš o njoj?

Znate puno, a ti podaci mogu poslužiti za rješavanje geometrijskih zadataka. Ali za rješavanje problema u kojima se koristi koordinatna metoda to nije dovoljno.Zašto?

Apsolutno u pravu.

Stoga je glavni cilj današnje lekcije iz geometrijskih svojstava zadanog pravca izvesti jednadžbu kružnice i upotrijebiti je za rješavanje geometrijskih zadataka.

Pusti tomoto lekcije bit će riječi srednjoazijskog enciklopediste El-Birunija: “Znanje je najizvrsniji imetak. Svi tome teže, ali to ne dolazi samo od sebe.”

Zapišite temu lekcije u svoju bilježnicu.

Definicija kruga.

Radius.

Promjer.

Akord. itd.

Još ne znamo opći pogled jednadžbe kruga.

Učenici navode sve što znaju o krugu.

Slajd 2

Slajd 3

Svrha ove faze je steći predodžbu o kvaliteti asimilacije gradiva od strane učenika i utvrditi osnovno znanje.

2. Obnavljanje znanja.

2 minute

Pri izvođenju jednadžbe kružnice trebat će vam već poznata definicija kružnice i formula koja vam omogućuje da pronađete udaljenost između dviju točaka koristeći njihove koordinate.Prisjetimo se ovih činjenica /Pponavljanje gradiva, prethodno proučavano/:

– Zapišite formulu za pronalaženje koordinata središta segmenta.

– Zapiši formulu za izračunavanje duljine vektora.

– Zapiši formulu za određivanje udaljenosti između točaka (duljina segmenta).

Ispravljanje unosa...

Geometrijsko zagrijavanje.

Daju se bodoviA (-1;7) IU (7; 1).

Izračunaj koordinate polovišta odsječka AB i njegovu duljinu.

Provjerava ispravnost izvedbe, ispravlja proračune...

Jedan učenik je za pločom, a ostali zapisuju formule u bilježnice.

Krug se zove geometrijski lik, koji se sastoji od svih točaka koje se nalaze na određenoj udaljenosti od određene točke.

|AB|=√(x – x)²+(y – y)²

M(x;y), A(x;y)

Izračunajte: C (3; 4)

| AB| = 10

S voditi 4

Slajd 5

3. Formiranje novih znanja.

12 minuta

Cilj: formiranje pojma - jednadžba kruga.

Riješiti problem:

U pravokutnom koordinatnom sustavu konstruirana je kružnica sa središtem A(x;y). M(x; y) - proizvoljna točka kružnice. Nađi polumjer kružnice.

Hoće li koordinate neke druge točke zadovoljiti ovu jednakost? Zašto?

Kvadrirajmo obje strane jednadžbe.Kao rezultat imamo:

r² =(x – x)²+(y – y)²-jednadžba kružnice, gdje su (x;y) koordinate središta kružnice, (x;y) koordinate proizvoljne točke koja leži na kružnici, r je polumjer kružnice.

Riješiti problem:

Koja će biti jednadžba kružnice sa središtem u ishodištu?

Dakle, što trebate znati da biste nacrtali jednadžbu kruga?

Predložite algoritam za sastavljanje jednadžbe kružnice.

Zaključak: ...zapišite u svoju bilježnicu.

Polumjer je segment koji spaja središte kruga s proizvoljnom točkom koja leži na krugu. Stoga je r=|AM|=√(x – x)²+(y – y)²

Bilo koja točka na kružnici leži na ovoj kružnici.

Učenici bilježe u bilježnice.

(0;0) - koordinate središta kruga.

x²+y²=r², gdje je r polumjer kruga.

Koordinate središta kruga, radijusa, bilo koje točke na krugu...

Oni predlažu algoritam...

Zapiši algoritam u bilježnicu.

Slajd 6

Slajd 7

Slajd 8

Učitelj bilježi jednakost na ploču.

Slajd 9

4. Primarna konsolidacija.

23 minute

Cilj:reprodukcija materijala koji su upravo naučili od strane učenika kako bi se spriječio gubitak formiranih ideja i koncepata. Konsolidacija novih znanja, ideja, koncepata temeljenih na njimaaplikacije.

SUN kontrola

Primijenimo stečeno znanje za rješavanje sljedećih problema.

Zadatak: Od predloženih jednadžbi navedite brojeve onih koje su jednadžbe kružnice. A ako je jednadžba jednadžba kruga, tada imenujte koordinate središta i označite polumjer.

Ne definira svaka jednadžba drugog stupnja s dvije varijable krug.

4x²+y²=4-jednadžba elipse.

x²+y²=0-točka.

x²+y²=-4-ova jednadžba ne definira nikakvu figuru.

momci! Što trebate znati da biste napisali jednadžbu kružnice?

Riješiti problem broj 966 str 245 (udžbenik).

Učitelj proziva učenika za ploču.

Jesu li podaci navedeni u tvrdnji problema dovoljni za izradu jednadžbe kruga?

Zadatak:

Napišite jednadžbu kružnice sa središtem u ishodištu i promjerom 8.

Zadatak : Nacrtajte krug.

Ima li centar koordinate?

Odredi radijus... i gradi

Problem na stranici 243 (udžbenik) analizira se usmeno.

Pomoću plana rješenja problema sa stranice 243 riješite problem:

Napišite jednadžbu kružnice sa središtem u točki A(3;2), ako kružnica prolazi točkom B(7;5).

1) (x-5)²+(y-3)²=36 - jednadžba kružnice; (5;3),r=6.

2) (x-1)²+y²=49 - jednadžba kruga; (1;0),r=7.

3) x²+y²=7 - jednadžba kruga; (0;0),r=√7.

4) (x+3)²+(y-8)²=2 - jednadžba kružnice; (-3;8),r=√2.

5) 4x²+y²=4 nije jednadžba kruga.

6) x²+y²=0- nije jednadžba kruga.

7) x²+y²=-4- nije jednadžba kruga.

Znati koordinate središta kruga.

Duljina radijusa.

Zamijenite koordinate središta i duljinu polumjera u opću jednadžbu kružnice.

Riješiti zadatak broj 966 str 245 (udžbenik).

Ima dovoljno podataka.

Oni rješavaju problem.

Kako je promjer kruga dva puta veći od njegovog polumjera, onda je r=8÷2=4. Stoga x²+y²=16.

Konstruirajte krugove

Rad prema udžbeniku. Problem na stranici 243.

Zadano je: A(3;2) je središte kruga; V(7;5)ê(A;r)

Nađi: jednadžbu kruga

Rješenje: r² =(x –x)²+(y –y)²

r² =(x –3)²+(y –2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² =25

(x –3)²+(y –2)²=25

Odgovor: (x –3)²+(y –2)²=25

Slajd 10-13

Riješenje tipični zadaci, izgovarajući rješenje glasnim govorom.

Učitelj poziva jednog učenika da zapiše dobivenu jednadžbu.

Povratak na slajd 9

Rasprava o planu za rješavanje ovog problema.

slajd. 15. Učitelj poziva jednog učenika pred ploču da riješi ovaj zadatak.

Slajd 16.

Slajd 17.

5. Sažetak lekcije.

5 minuta

Osvrt na aktivnosti u lekciji.

Domaća zadaća: §3, paragraf 91, Kontrolna pitanja №16,17.

Zadaci br. 959(b, d, d), 967.

Zadatak dodatne provjere (problemski zadatak): Konstruirajte kružnicu zadanu jednadžbom

x²+2x+y²-4y=4.

O čemu smo pričali na satu?

Što ste htjeli dobiti?

Koji je bio cilj lekcije?

Koje probleme rješava naše "otkriće"?

Koliko vas misli da ste postigli cilj koji je učitelj postavio na satu 100%, 50%; nije stigao do cilja...?

Ocjenjivanje.

Zapiši domaću zadaću.

Učenici odgovaraju na pitanja nastavnika. Provesti samoanalizu vlastitih aktivnosti.

Učenici trebaju riječima izraziti rezultat i načine njegova postizanja.

Klasa: 8

Svrha lekcije: uvesti jednadžbu kružnice, naučiti učenike sastaviti jednadžbu kružnice po već pripremljenom crtežu i konstruirati kružnicu po zadanoj jednadžbi.

Oprema: interaktivna ploča.

Plan učenja:

Organizacijski trenutak – 3 min.
Ponavljanje. Organizacija mentalne aktivnosti – 7 min.
Objašnjenje novog gradiva. Izvođenje jednadžbe kružnice – 10 min.
Konsolidacija naučenog materijala – 20 min.
Sažetak lekcije – 5 min.

Tijekom nastave

2. Ponavljanje:

− (Prilog 1 Slajd 2) zapišite formulu za pronalaženje koordinata sredine segmenta;

− (Slajd 3) Z Napiši formulu za udaljenost između točaka (duljina odsječka).

3. Objašnjenje novog gradiva.

(Slajdovi 4 – 6) Definirajte jednadžbu kružnice. Izvedite jednadžbe kruga sa središtem u točki ( A;b) i sa središtem u ishodištu.

(x – A ) 2 + (na – b ) 2 = R 2 – jednadžba kružnice sa središtem S (A;b) , radius R , x I na – koordinate proizvoljne točke na kružnici .

x 2 + g 2 = R 2 – jednadžba kružnice sa središtem u ishodištu.

(Slajd 7)

Da biste izradili jednadžbu kruga, trebate:

znati koordinate središta;
znati duljinu polumjera;
Zamijenite koordinate središta i duljinu polumjera u jednadžbu kružnice.

4. Rješavanje problema.

U zadacima br. 1 – br. 6 sastaviti jednadžbe kružnice po gotovim crtežima.

(Slajd 14)

№ 7. Ispunite tablicu.

(Slajd 15)

№ 8. Konstruirajte krugove u svojoj bilježnici zadane jednadžbama:

A) ( x – 5) 2 + (na + 3) 2 = 36;
b) (x + 1) 2 + (na– 7) 2 = 7 2 .

(Slajd 16)

№ 9. Odredite koordinate središta i duljinu polumjera ako AB– promjer kruga.

dano:		Riješenje:
dano:		R	Koordinate centra
1	A(0 ; -6) U(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	A(0; -6) U(0 ; 2) S(0 ; – 2) – centar
2	A(-2 ; 0) U(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	A (-2;0) U (4 ;0) S(1 ; 0) – centar

(Slajd 17)

№ 10. Napišite jednadžbu za kružnicu sa središtem u ishodištu i prolazi kroz točku DO(-12;5).

Riješenje.

R 2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Jednadžba kruga: x 2 + y 2 = 169 .

(Slajd 18)

№ 11. Napišite jednadžbu za kružnicu koja prolazi kroz ishodište sa središtem u S(3; - 1).

Riješenje.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Jednadžba kruga: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Slajd 19)

№ 12. Napiši jednadžbu za krug sa središtem A(3;2), prolazeći kroz U(7;5).

Riješenje.

1. Središte kruga – A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Jednadžba kruga ( x – 3) 2 + (na − 2) 2 = 25.

(Slajd 20)

№ 13. Provjerite lažu li bodovi A(1; -1), U(0;8), S(-3; -1) na kružnici, zadan jednadžbom (x + 3) 2 + (na − 4) 2 = 25.

Riješenje.

ja. Zamijenimo koordinate točke A(1; -1) u jednadžbu kruga:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – jednakost je lažna, što znači A(1; -1) ne laže na kružnici zadanoj jednadžbom ( x + 3) 2 + (na − 4) 2 = 25.

II. Zamijenimo koordinate točke U(0;8) u jednadžbu kruga:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
U(0;8)laži x + 3) 2 + (na − 4) 2 = 25.

III. Zamijenimo koordinate točke S(-3; -1) u jednadžbu kruga:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – jednakost je istinita, što znači S(-3; -1) laži na kružnici zadanoj jednadžbom ( x + 3) 2 + (na − 4) 2 = 25.

Sažetak lekcije.

Ponoviti: jednadžba kružnice, jednadžba kružnice sa središtem u ishodištu.
(Slajd 21) Domaća zadaća.

Jednadžba pravca na ravnini

Uvedimo najprije pojam jednadžbe pravca u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu. Neka je u Kartezijevom koordinatnom sustavu konstruiran proizvoljni pravac $L$ (slika 1).

Slika 1. Proizvoljna linija u koordinatnom sustavu

Definicija 1

Jednadžba s dvije varijable $x$ i $y$ naziva se jednadžbom pravca $L$ ako ovu jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke koja pripada pravcu $L$, a ne zadovoljava nijedna točka koja ne pripada pravcu $L .$

Jednadžba kruga

Izvedimo jednadžbu kružnice u Kartezijevom koordinatnom sustavu $xOy$. Neka središte kružnice $C$ ima koordinate $(x_0,y_0)$, a polumjer kružnice je jednak $r$. Neka je točka $M$ s koordinatama $(x,y)$ proizvoljna točka te kružnice (sl. 2).

Slika 2. Kružnica u Kartezijevom koordinatnom sustavu

Udaljenost od središta kružnice do točke $M$ izračunava se na sljedeći način

No, budući da $M$ leži na kružnici, dobivamo $CM=r$. Tada dobivamo sljedeće

Jednadžba (1) je jednadžba kružnice sa središtem u točki $(x_0,y_0)$ i polumjerom $r$.

Osobito ako se središte kruga poklapa s ishodištem. Ta jednadžba kruga ima oblik

Jednadžba pravca.

Izvedimo jednadžbu pravca $l$ u Kartezijevom koordinatnom sustavu $xOy$. Neka točke $A$ i $B$ imaju koordinate $\lijevo$x_1,\ y_1\desno$$ odnosno $$x_2,\ y_2$$, a odabrane su točke $A$ i $B$ tako da je pravac $l$ simetrala odsječka $AB$. Odaberimo proizvoljnu točku $M=$x,y$$ koja pripada pravoj liniji $l$ (slika 3).

Kako je pravac $l$ okomica na simetralu $AB$, onda je točka $M$ jednako udaljena od krajeva te dužine, odnosno $AM=BM$.

Nađimo duljine ovih stranica pomoću formule za udaljenost između točaka:

Stoga

Označimo s $a=2\lijevo(x_1-x_2\desno),\ b=2\lijevo(y_1-y_2\desno),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1) ^2 -(y_1)^2$, nalazimo da jednadžba ravne linije u kartezijevom koordinatnom sustavu ima sljedeći pogled:

Primjer zadatka pronalaženja jednadžbi pravaca u Kartezijevom koordinatnom sustavu

Primjer 1

Pronađite jednadžbu kružnice sa središtem u točki $(2,\ 4)$. Prolazi kroz ishodište koordinata i ravnu crtu paralelnu s osi $Ox,$ koja prolazi kroz njezino središte.

Riješenje.

Najprije pronađimo jednadžbu ove kružnice. Da bismo to učinili, upotrijebit ćemo opću jednadžbu kruga (gore izvedenu). Budući da središte kružnice leži u točki $(2,\ 4)$, dobivamo

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Nađimo radijus kruga kao udaljenost od točke $(2,\ 4)$ do točke $(0,0)$

Nalazimo da jednadžba kružnice ima oblik:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Nađimo sada jednadžbu kruga koristeći poseban slučaj 1. Dobivamo

Opseg je skup točaka u ravnini jednako udaljenih od dane točke koja se zove središte.

Ako je točka C središte kružnice, R njezin polumjer, a M proizvoljna točka na kružnici, tada prema definiciji kružnice

Jednakost (1) je jednadžba kruga polumjer R sa središtem u točki C.

Neka pravokutnik kartezijanski sustav koordinate (sl. 104) i točku C( A; b) je središte kruga polumjera R. Neka je M( X; na) je proizvoljna točka ove kružnice.

Budući da |SM| = $\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) $, tada se jednadžba (1) može napisati na sljedeći način:

$\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) $ = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Jednadžba (2) naziva se opća jednadžba krug ili jednadžba kruga radijusa R sa središtem u točki ( A; b). Na primjer, jednadžba

(x - l) 2 + ( g + 3) 2 = 25

je jednadžba kružnice radijusa R = 5 sa središtem u točki (1; -3).

Ako se središte kružnice poklapa s ishodištem koordinata, tada jednadžba (2) ima oblik

x 2 + na 2 = R 2 . (3)

Jednadžba (3) naziva se kanonska jednadžba kruga .

Zadatak 1. Napišite jednadžbu kružnice polumjera R = 7 sa središtem u ishodištu.

Izravnom zamjenom vrijednosti radijusa u jednadžbu (3) dobivamo

x 2 + na 2 = 49.

Zadatak 2. Napišite jednadžbu kružnice polumjera R = 9 sa središtem u točki C(3; -6).

Zamjenom vrijednosti koordinata točke C i vrijednosti polumjera u formulu (2), dobivamo

(x - 3) 2 + (na- (-6)) 2 = 81 ili ( x - 3) 2 + (na + 6) 2 = 81.

Zadatak 3. Nađi središte i polumjer kruga

(x + 3) 2 + (na-5) 2 =100.

Uspoređujući ovu jednadžbu s općom jednadžbom kruga (2), vidimo da A = -3, b= 5, R = 10. Prema tome, C(-3; 5), R = 10.

Zadatak 4. Dokažite da jednadžba

x 2 + na 2 + 4x - 2g - 4 = 0

je jednadžba kruga. Pronađite njegovo središte i polumjer.

Transformirajmo lijevu stranu ove jednadžbe:

x 2 + 4x + 4- 4 + na 2 - 2na +1-1-4 = 0

(x + 2) 2 + (na - 1) 2 = 9.

Ova jednadžba je jednadžba kruga sa središtem u (-2; 1); Polumjer kruga je 3.

Zadatak 5. Napišite jednadžbu kružnice sa središtem u točki C(-1; -1) tangente na pravac AB, ako je A (2; -1), B(- 1; 3).

Napišimo jednadžbu pravca AB:

ili 4 x + 3g-5 = 0.

Budući da kružnica dodiruje zadanu liniju, radijus povučen na točku dodira je okomit na tu liniju. Da biste pronašli polumjer, trebate pronaći udaljenost od točke C(-1; -1) - središta kruga do ravne linije 4 x + 3g-5 = 0:

Napišimo jednadžbu tražene kružnice

(x +1) 2 + (g +1) 2 = 144 / 25

Neka je dana kružnica u pravokutnom koordinatnom sustavu x 2 + na 2 = R 2 . Promotrimo njegovu proizvoljnu točku M( X; na) (Slika 105).