Među zakonima distribucije za diskretne slučajne varijable najčešći je binomni zakon distribucije. Binomna distribucija javlja se pod sljedećim uvjetima. Neka je slučajna varijabla broj pojavljivanja nekog događaja u neovisnim pokusima; vjerojatnost pojavljivanja u pojedinačnom pokusu jednaka je . Ova slučajna varijabla je diskretna slučajna varijabla, njene moguće vrijednosti su . Vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost izračunava se pomoću Bernoullijeve formule: .
Definicija 15. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable naziva se binomni zakon distribucije ako se vjerojatnosti vrijednosti slučajne varijable izračunavaju pomoću Bernoullijeve formule. Serija distribucije će izgledati ovako:
Uvjerimo se da je zbroj vjerojatnosti različitih vrijednosti slučajne varijable jednak 1. Doista,
Budući da su ti izračuni rezultirali Newtonovom binomnom formulom, stoga se zakon distribucije naziva binomnim. Ako slučajna varijabla ima binomnu distribuciju, tada se njene numeričke karakteristike nalaze pomoću formula:
(42)
(43)
Primjer 15. Postoji serija od 50 dijelova. Vjerojatnost nedostataka za jedan dio. Neka slučajna varijabla bude broj neispravnih dijelova u danoj seriji. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju zadane slučajne varijable. Riješenje. Slučajna varijabla ima binomnu distribuciju, budući da se vjerojatnost da će poprimiti vrijednost izračunava pomoću Bernoullijeve formule. Tada se njegovo matematičko očekivanje nalazi prema formuli (41), naime, ; nalazimo disperziju pomoću formule (42): . Tada će standardna devijacija biti jednaka . Pitanje. Kupljeno je 200 srećki, vjerojatnost dobitka jedne srećke je 0,01. Tada je prosječan broj srećki na koje će pasti dobitak: a) 10; b) 2; u 20; d) 1.
Poissonov zakon distribucije
Pri rješavanju mnogih praktičnih problema, moramo se baviti diskretnim slučajnim varijablama koje se pokoravaju Poissonovom zakonu distribucije. Tipični primjeri slučajne varijable s Poissonovom distribucijom su: broj poziva na telefonskoj centrali u određenom vremenskom razdoblju; broj kvarova složene opreme u vremenu, ako se zna da su kvarovi neovisni jedan o drugom i prosječno ima kvarova u jedinici vremena. Niz distribucije će imati oblik:
To jest, vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost izračunava se pomoću Poissonove formule: stoga se ovaj zakon naziva Poissonov zakon distribucije. Slučajna varijabla raspodijeljena prema Poissonovom zakonu ima sljedeće numeričke karakteristike:
Poissonova distribucija ovisi o jednom parametru, a to je matematičko očekivanje slučajne varijable. Slika 14 prikazuje opći oblik Poligon Poissonove distribucije za različite vrijednosti parametra.
Poissonova distribucija može se koristiti kao aproksimacija u slučajevima kada je točna distribucija slučajne varijable binomna distribucija, broj pokusa je velik, a vjerojatnost da će se događaj dogoditi u pojedinačnom pokusu mala, stoga je zakon Poissonove distribucije naziva se zakon rijetkih događaja. I također, ako se matematičko očekivanje malo razlikuje od varijance, to jest, kada . U tom smislu, Poissonova distribucija ima veliki broj različitih primjena. Primjer 16. Tvornica u bazu šalje 500 proizvoda dobre kvalitete. Vjerojatnost da će proizvod biti oštećen u transportu je 0,002. Nađite matematičko očekivanje broja dijelova oštećenih tijekom transporta. Riješenje. Slučajna varijabla ima Poissonovu distribuciju, dakle . Pitanje. Vjerojatnost da će simbol biti iskrivljen prilikom prijenosa poruke je 0,004. Da bi prosječni broj oštećenih simbola bio jednak 4, mora se prenijeti 100 simbola.
– broj dječaka među 10 novorođenčadi.
Sasvim je jasno da taj broj nije unaprijed poznat, a sljedećih desetero rođene djece može uključivati:
Ili dečki - jedan i jedini od navedenih opcija.
I, kako biste ostali u formi, malo tjelesnog odgoja:
– daljina skoka u dalj (u nekim jedinicama).
Ni majstor sporta to ne može predvidjeti :)
Međutim, vaše hipoteze?
2) Kontinuirana slučajna varijabla – prihvaća svi brojčane vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala.
Bilješka : V obrazovna literatura popularne kratice DSV i NSV
Prvo, analizirajmo diskretnu slučajnu varijablu, zatim - stalan.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
- Ovo Dopisivanje između mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerojatnosti. Najčešće je zakon napisan u tablici: 
Pojam se često pojavljuje red
distribucija, ali u nekim situacijama zvuči dvosmisleno, pa ću se držati "zakona".
A sada vrlo važna točka: budući da je slučajna varijabla Obavezno prihvatit će jedna od vrijednosti, tada se formiraju odgovarajući događaji puna grupa a zbroj vjerojatnosti njihove pojave jednak je jedinici:
ili, ako je napisano sažeto:
Tako, na primjer, zakon raspodjele vjerojatnosti bodova bačenih na kockicu ima sljedeći pogled:
Bez komentara.
Možda ste pod dojmom da diskretna slučajna varijabla može poprimiti samo "dobre" cjelobrojne vrijednosti. Otklonimo iluziju - oni mogu biti bilo što:
Primjer 1
Neka igra ima sljedeći pobjednički zakon raspodjele: 
...vjerojatno ste dugo sanjali takve zadatke :) Odat ću vam tajnu - i ja. Pogotovo nakon završetka rada na teorija polja.
Riješenje: budući da slučajna varijabla može poprimiti samo jednu od tri vrijednosti, formiraju se odgovarajući događaji puna grupa, što znači da je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak jedan: 
Razotkrivanje “partizana”: 
– dakle, vjerojatnost dobitka konvencionalnih jedinica je 0,4.
Kontrola: to je ono u što smo se trebali uvjeriti.
Odgovor:
Nije rijetkost da sami trebate izraditi zakon o raspodjeli. Za ovo koriste klasična definicija vjerojatnosti, teoremi množenja/zbrajanja za vjerojatnosti događaja i drugi čips tervera:
Primjer 2
Kutija sadrži 50 srećki, od kojih je 12 dobitnih, od kojih 2 osvajaju po 1000 rubalja, a ostale po 100 rubalja. Napravite zakon raspodjele slučajne varijable - veličine dobitka, ako je iz kutije slučajno izvučen jedan listić.
Riješenje: kao što ste primijetili, vrijednosti slučajne varijable obično se stavljaju uzlaznim redoslijedom. Stoga počinjemo s najmanjim dobicima, odnosno rubljama.
Takvih je listića ukupno 50 - 12 = 38, a prema klasična definicija:
– vjerojatnost da će nasumično izvučeni listić biti gubitnik.
U drugim slučajevima sve je jednostavno. Vjerojatnost dobitka u rubljama je:
Provjerite: – a ovo je posebno ugodan trenutak takvih zadataka!
Odgovor: željeni zakon raspodjele dobitaka: 
Sljedeći zadatak za neovisna odluka:
Primjer 3
Vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu je . Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu - broj pogodaka nakon 2 hica.
...znala sam da ti nedostaje :) Da se podsjetimo teoremi množenja i zbrajanja. Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.
Zakon distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu, ali u praksi može biti korisno (a ponekad i korisnije) znati samo neke od njih numeričke karakteristike .
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Jednostavno rečeno, ovo je prosječna očekivana vrijednost kada se testiranje ponavlja mnogo puta. Neka slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima 
odnosno. Tada je matematičko očekivanje ove slučajne varijable jednako zbroj proizvoda sve njegove vrijednosti na odgovarajuće vjerojatnosti:
ili sažeto: 
Izračunajmo, na primjer, matematičko očekivanje slučajne varijable - broj bodova bačenih na kockici:
Sjetimo se sada naše hipotetske igre: 
Postavlja se pitanje je li uopće isplativo igrati ovu igru? ...tko ima dojmove? Dakle, ne možete to reći "na brzinu"! Ali na ovo se pitanje može lako odgovoriti izračunavanjem matematičkog očekivanja, u biti - prosječne težine po vjerojatnosti dobitka:
Dakle, matematičko očekivanje ove igre gubljenje.
Ne vjerujte svojim dojmovima - vjerujte brojkama!
Da, ovdje možete dobiti 10 ili čak 20-30 puta zaredom, ali dugoročno nas čeka neizbježna propast. I ne bih vam savjetovao da igrate takve igre :) Pa, možda samo Za zabavu.
Iz svega navedenog proizlazi da matematičko očekivanje više nije SLUČAJNA vrijednost.
Kreativni zadatak za samostalno istraživanje:
Primjer 4
Gospodin X igra europski rulet po sljedećem sustavu: stalno se kladi 100 rubalja na "crveno". Napravite zakon raspodjele slučajne varijable - njezinog dobitka. Izračunajte matematičko očekivanje dobitka i zaokružite ga na najbližu kopejku. Koliko prosjek Gubi li igrač za svaku uloženu stotku?
Referenca : Europski rulet sadrži 18 crvenih, 18 crnih i 1 zeleni sektor (“nula”). Ako se pojavi "crveno", igraču se isplaćuje dvostruki ulog, inače ide u prihod kasina
Postoje mnogi drugi sustavi ruleta za koje možete izraditi vlastite tablice vjerojatnosti. Ali to je slučaj kada nam ne trebaju nikakvi zakoni distribucije ili tablice, jer je sigurno utvrđeno da će matematičko očekivanje igrača biti potpuno isto. Jedina stvar koja se mijenja od sustava do sustava je
9. Očekivanje i disperzija kontinuiranih slučajnih varijabli
Neka je kontinuirana slučajna varijabla x dana gustoćom distribucije f(x) .
Definicija 9.1: Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable x, [ a, b]
Vol, To
Komentar: Pretpostavlja se da nepravi integral apsolutno konvergira, odnosno da postoji integral 
Definicija 9.2: Varijanca kontinuirane slučajne varijable x, moguće vrijednosti koje pripadaju segmentu [ a, b] , koji se naziva definitivnim integralom
Ako je moguće, vrijednosti pripadaju cijeloj osi Vol, To
Jer D(x) = M(x 2 ) – [ M(x)] 2 , tada možete koristiti sljedeće formule za izračun varijance:
ili
.
Komentar: Svojstva matematičkog očekivanja i disperzije diskretnih slučajnih varijabli također su sačuvana za kontinuirane varijable.
Standardna devijacija kontinuirane slučajne varijable definira se slično diskretnom slučaju:
.
10. Tipične distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli
10.1. Jednolika raspodjela
Definicija 10.1: Distribucija vjerojatnosti nazvao uniforma, ako na intervalu kojem pripadaju sve moguće vrijednosti slučajne varijable, gustoća distribucije ostaje konstantna.
Primjer. Skala instrument za mjerenje diplomirao na nekim jedinicama. Pogreška kod zaokruživanja očitanja na najbliži cijeli odjeljak može se smatrati slučajnom varijablom x, koji može uzeti, s konstantnom gustoćom vjerojatnosti, bilo koju vrijednost između dva susjedna cjelobrojna dijeljenja. Tako, x ima jednoliku distribuciju.
Nađimo gustoću jednolika raspodjela f(x) :
Po uvjetu, x ne prihvaća vrijednosti izvan intervala (a, b), Zato f(x)=0 na x a I x > b.
Nađimo konstantu C od uvjeta da 
. Zatim 
.
Odavde 
.
Dakle, željena gustoća vjerojatnosti uniformne distribucije ima oblik:
Funkcija distribucije vjerojatnosti uniformne slučajne varijable ima oblik:
Za slučajnu varijablu x, ravnomjerno raspoređen u intervalu ( a, b), vjerojatnost pada u bilo koji interval ( x 1
,
x 2
), koji leži unutar intervala ( a, b), jednako je: 
, odnosno ovisi o duljini intervala, a ne o tome gdje se nalazi.
Grafikon gustoće uniformne distribucije izgleda ovako:
Funkcija raspodjele uniformne slučajne varijable ima oblik:
Primjer: Nađimo matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju kontinuirane slučajne varijable x, ravnomjerno raspoređeni u intervalu (a, b).
Riješenje: Uzimajući u obzir ravnomjernu gustoću distribucije, dobivamo:
Konačno, shvaćamo to
.
Standardna devijacija 
.
Komentar: Na primjer, ako x– slučajna varijabla ravnomjerno raspoređena u intervalu (0,1)
, To 
,
,
.
10.2. Normalna (Gaussova) distribucija
Definicija 10.2: Normalan je distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable, koja je opisana sljedećom gustoćom vjerojatnosti:
, Gdje 
.
Graf funkcije f(x) ima sljedeći oblik:
Graf gustoće normalne distribucije naziva se normalna krivulja ili Gaussova krivulja.
Normalna distribucija definirana je s dva parametra: 
I 
. Vjerojatnost ovih parametara je sljedeća: postoji matematičko očekivanje, - standardna devijacija normalne distribucije, tj. 
I 
.
Graf funkcije distribucije normalne slučajne varijable ima sljedeći oblik:
Komentar:
Standardno normalno ili normalizirao zove se normalna distribucija s parametrima 
I 
. Na primjer, ako x je normalna vrijednost s parametrima i , tada 
- standardna normalna vrijednost, i 
I 
. Gustoća standardne normalne distribucije ima oblik
.
Ova je funkcija prikazana u tabeli (vidi Dodatak 1).
Funkcija distribucije 
normalna raspodjela ima oblik:
.
Funkcija distribucije standardne normalne distribucije ima oblik:
.
Komentar:
.
Komentar: Vjerojatnost postizanja standardne normalne vrijednosti x u intervalu (0 ,
x)
može se pronaći pomoću Laplaceova funkcija
:
,
I 
.
Funkcija 
tablično (vidi Dodatak 2).
Utjecaj parametara normalne distribucije na oblik normalne krivulje
Promjena vrijednosti parametra (matematičko očekivanje) ne mijenja oblik normalne krivulje, već samo dovodi do njenog pomaka duž osi Vol: desno ako raste, a lijevo ako opada:
Maksimum funkcije gustoće vjerojatnosti normalne distribucije jednak je 
.
Slijedi da se povećanjem najveće ordinate normalne krivulje smanjuje, a sama krivulja postaje ravnija, odnosno skuplja se prema osi Vol; kako se smanjuje, normalna krivulja postaje "šiljatija" i rasteže se u pozitivnom smjeru osi Joj:
Komentar: Za sve vrijednosti parametra i područje ograničeno normalnom krivuljom i osi Vol, ostaje jednak jedan.
Vjerojatnost pada u zadani interval normalne slučajne varijable
Neka je slučajna varijabla x raspoređeni prema normalnom zakonu. Tada je vjerojatnost da xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu 
, je jednako
Uvedimo novu varijablu 
Odavde, 
,
Pronađimo nove granice integracije. Ako 
Da 
; ako tada 
Tako imamo
Pomoću Laplaceove funkcije dobivamo
Primjer. Slučajna vrijednost x raspoređeni prema normalnom zakonu sa 
I 
. Nađite vjerojatnost da slučajna varijabla x poprimit će vrijednost koja pripada intervalu .
Riješenje:
Iz tablice u Dodatku 2 nalazimo 
Stoga željena vjerojatnost
Primjer. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable x, koja je raspoređena prema normalnom zakonu.
Riješenje: Prema definiciji matematičkog očekivanja kontinuirane slučajne varijable,
.
Uvedimo novu varijablu Dakle, ,. Uzimajući u obzir da su nove granice integracije jednake starim, dobivamo
Prvi od članova jednak je nuli (pod znakom integrala funkcija je neparna; granice integracije su simetrične u odnosu na ishodište). Drugi od članova je jednak A(Poissonov integral 
).
Komentar: Prilikom izračunavanja varijance normalne slučajne varijable, vrši se ista promjena varijabli i primjenjuje se formula integracije po dijelovima.
Pravilo tri sigme
Izračunajmo vjerojatnost da odstupanje normalno raspodijeljene slučajne varijable x u apsolutnoj vrijednosti manjoj od trostruke standardne devijacije:
Dakle, bit pravila tri sigme je sljedeća: ako je slučajna varijabla normalno raspodijeljena, tada apsolutna vrijednost njegovo odstupanje od matematičkog očekivanja ne prelazi tri puta standardnu devijaciju:
U praksi se pravilo tri sigme primjenjuje na sljedeći način: ako je distribucija slučajne varijable koja se proučava nepoznata, ali je zadovoljen uvjet naveden u gornjem pravilu, to jest, postoji razlog za pretpostavku da je varijabla koja se proučava jednaka normalno raspoređen; inače nije normalno raspoređen.
10.3. Eksponencijalna distribucija
Definicija 10.3: Eksponencijalni naziva se distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x, koji se opisuje gustoćom
Gdje 
- konstantna pozitivna vrijednost.
Graf funkcije f(x) ima sljedeći oblik:
Na primjer, vrijeme T rad računalnog sustava bez grešaka je slučajna varijabla koja ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ , čije je fizičko značenje prosječan broj kvarova po jedinici vremena. Interval između uzastopnih dolazaka poziva na automatsku telefonsku centralu, interval između uzastopnih dolazaka automobila na crtu zaustavljanja raskrižja primjeri su indikativnih slučajnih varijabli.
Nađimo funkciju distribucije eksponencijalnog zakona:
.
Graf funkcije eksponencijalne distribucije izgleda ovako:
Primjer. Napišite funkciju gustoće i distribucije eksponencijalnog zakona ako je parametar
Riješenje. Očito, željena gustoća distribucije
na 
;
na 
.
Tražena funkcija distribucije
u ; 
u .
Vjerojatnost pada u zadani interval eksponencijalno distribuirane slučajne varijable
Nađimo vjerojatnost upadanja u interval (a, b) kontinuirana slučajna varijabla x, koja je raspodijeljena po eksponencijalnom zakonu, zadan funkcijom distribucija
.
Koristeći formulu i s obzirom na to 
dobivamo
Vrijednosti funkcije 
nalazi se iz tablice (prilog 4).
Primjer: Kontinuirana slučajna varijabla x raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu
u ; na 
. Pronađite vjerojatnost da kao rezultat testa x pada u interval (0,3;1)
.
Riješenje. Po uvjetu, 
. ZatimX
Komentar: Pretpostavimo da postoji osnova za pretpostavku da slučajna varijabla proučavana u praksi ima eksponencijalnu distribuciju. Kako bi se testirala ova hipoteza, nalaze se procjene matematičkog očekivanja i standardne devijacije, tj. pronaći srednju vrijednost uzorka i standardnu devijaciju uzorka. Matematičko očekivanje i standardna devijacija eksponencijalne distribucije međusobno su jednaki, pa bi se njihove procjene trebale malo razlikovati. Ako se pokažu da su procjene međusobno bliske, tada podaci promatranja potvrđuju hipotezu o eksponencijalnoj distribuciji vrijednosti koja se proučava, ali ako se procjene značajno razlikuju, tada hipotezu treba odbaciti.
Pravilo tri sigme.
Hoćemo li zamijeniti vrijednost? u formulu (*), dobivamo:
Dakle, s vjerojatnošću proizvoljno blizu jedinici, možemo ustvrditi da modul odstupanja normalno raspodijeljene slučajne varijable od njezinog matematičkog očekivanja ne prelazi tri puta standardnu devijaciju.
Središnji granični teorem.
Središnji granični teorem je skupina teorema posvećenih utvrđivanju uvjeta pod kojima nastaje normalni zakon distribucije. Među tim teoremima najvažnije mjesto zauzima Ljapunovljev teorem.
Ako je slučajna varijabla x predstavlja zbroj veliki broj međusobno? nezavisne slučajne varijable, odnosno od kojih je utjecaj svake na cjelokupan iznos zanemariv, tada je slučajna varijabla x ima distribuciju koja se neograničeno približava normalnoj distribuciji.
Inicijalni i središnji momenti kontinuirane slučajne varijable, skewness i kurtosis. Mod i medijan.
U primijenjenim problemima, primjerice u matematičkoj statistici, kada se teorijski proučavaju empirijske distribucije koje se razlikuju od normalne distribucije, postoji potreba za kvantitativnim procjenama tih razlika. U tu svrhu uvedene su posebne bezdimenzionalne karakteristike.
Definicija. Način kontinuirane slučajne varijable (Mo (x)) je njegova najvjerojatnija vrijednost, za koju je vjerojatnost p ja ili gustoća vjerojatnosti f(x) dostigne maksimum.
Definicija. Medijan kontinuirane slučajne varijable x (Mi(x)) – to je njegova vrijednost za koju vrijedi jednakost:
Geometrijski, okomita linija x = Me (X) dijeli površinu figure ispod krivulje na dva jednaka dijela.
U točki X = Me (X), funkcija distribucije F (Me (X)) =
Nađite mod Mo, medijan Me i matematičko očekivanje M slučajne varijable X s gustoćom vjerojatnosti f(x) = 3x 2, za x I [ 0; 1].
Gustoća vjerojatnosti f (x) je najveća pri x = 1, tj. f (1) = 3, stoga je Mo (X) = 1 na intervalu [ 0; 1].
Da bismo pronašli medijan, označimo Me (X) = b.
Budući da Me (X) zadovoljava uvjet P (X 3 = .
b 3 = ; b = "0,79
M (X) = =+ 
=
Zabilježimo dobivene 3 vrijednosti Mo (x), Me (X), M (X) na osi Ox:
Definicija. Asimetrija Teorijska distribucija naziva se omjer središnjeg momenta trećeg reda i kuba standardne devijacije:
Definicija. Višak teorijska raspodjela je veličina definirana jednakošću:
Gdje ? središnji moment četvrtog reda.
Za normalnu distribuciju. Kod odstupanja od normalne distribucije, asimetrija je pozitivna ako se "dugi" i ravniji dio krivulje distribucije nalazi desno od točke na x-osi koja odgovara modusu; ako se ovaj dio krivulje nalazi lijevo od moda, tada je asimetrija negativna (slika 1, a, b).
Kurtosis karakterizira "strmost" porasta krivulje distribucije u usporedbi s normalnom krivuljom: ako je kurtosis pozitivan, tada krivulja ima viši i oštriji vrh; u slučaju negativne kurtoze, uspoređena krivulja ima niži i ravniji vrh.
Treba imati na umu da su pri korištenju navedenih usporednih karakteristika referentne pretpostavke o istim vrijednostima matematičkog očekivanja i disperzije za normalnu i teorijsku distribuciju.
Primjer. Neka je diskretna slučajna varijabla x daje zakon raspodjele:
Pronađite: asimetriju i kurtozu teorijske distribucije.
Najprije pronađimo matematičko očekivanje slučajne varijable:
Zatim izračunavamo početne i središnje momente 2., 3. i 4. reda i:
Sada, koristeći formule, nalazimo tražene količine:
U ovom slučaju, "dugi" dio krivulje distribucije nalazi se desno od moda, a sama krivulja je malo šiljatija od normalne krivulje s istim vrijednostima matematičkog očekivanja i disperzije.
Teorema. Za proizvoljnu slučajnu varijablu x i bilo koji broj
?>0 slijedeće nejednakosti su istinite:
Vjerojatnost suprotne nejednakosti.
Prosječna potrošnja vode na farmi stoke je 1000 litara dnevno, a standardna devijacija ove slučajne varijable ne prelazi 200 litara. Procijenite vjerojatnost da protok vode na farmi bilo kojeg odabranog dana neće premašiti 2000 L koristeći Chebyshevljevu nejednadžbu.
Neka x– potrošnja vode na farmi stoke (l).
Disperzija D(x) = . Budući da su granice intervala 0 x 2000 su simetrični u odnosu na matematičko očekivanje M(x) = 1000, tada za procjenu vjerojatnosti željenog događaja možemo primijeniti Čebiševljevu nejednakost:
Odnosno, ne manje od 0,96.
Za binomnu distribuciju Chebyshevljeva nejednakost ima oblik:
ZAKONI DISTRIBUCIJE SLUČAJNIH VARIJABLI
ZAKONI DISTRIBUCIJE SLUČAJNIH VARIJABLI - odjeljak Matematika, TEORIJA VJEROJATNOSTI I MATEMATIČKA STATISTIKA Najčešći zakoni su Uniformni, Normalni i Eksponencijalni.
Najčešći zakoni su uniformna, normalna i eksponencijalna distribucija vjerojatnosti kontinuiranih slučajnih varijabli.
Distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X naziva se uniformnom ako na intervalu (a,b), kojem pripadaju sve moguće vrijednosti X, gustoća distribucije održava konstantnu vrijednost (6.1)
Funkcija distribucije ima oblik:
Normalna je distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X, čija gustoća ima oblik:
Vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost koja pripada intervalu (?; ?):
gdje je Laplaceova funkcija, i,
Vjerojatnost da će apsolutna vrijednost odstupanja biti manja od pozitivnog broja?:
Konkretno, za a = 0, . (6,7)
Eksponencijalna je distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X, koja je opisana gustoćom:
Gdje? – konstantna pozitivna vrijednost.
Funkcija distribucije eksponencijalnog zakona:
Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla X padne u interval (a, b), raspoređena prema eksponencijalnom zakonu:
1. Slučajna varijabla X jednoliko je raspoređena u intervalu (-2;N). Pronađi) diferencijalna funkcija slučajna varijabla X; b) integralna funkcija; c) vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval (-1;); d) matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija slučajne varijable X.
2. Odredite matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable jednoliko raspoređene u intervalu: a) (5; 11); b) (-3; 5). Nacrtajte grafove ovih funkcija.
3. Slučajna varijabla X jednoliko je raspoređena na intervalu (2; 6), pri čemu je D(x) = 12. Nađite funkcije distribucije slučajne varijable X. Nacrtajte grafove funkcija.
4. Slučajna varijabla X raspodijeljena je prema zakonu pravokutni trokut(slika 1) u intervalu (0; a). Nađite: a) diferencijalnu funkciju slučajne varijable X; b) integralna funkcija; c) vjerojatno
vjerojatnost pogotka slučajne varijable
na int(); d) matematički
očekivanje, varijanca i srednji kvadrat
ratical deviation of random
5. Slučajna varijabla X raspoređena je prema Simpsonovom zakonu („zakon jednakokračnog trokuta“) (slika 2) na interval (-a; a). Nađite: a) diferencijalnu funkciju distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X;
b) integral funkcije i konstruirati njezin graf; c) vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval (-); d) matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija slučajne varijable X.
6. Za proučavanje produktivnosti određene pasmine peradi mjeri se promjer jaja. Najveći poprečni promjer jaja je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu sa srednjom vrijednošću od 5 cm i standardnom devijacijom od 0,3 cm. Odredite vjerojatnost da će: a) promjer slučajno uzetog jajeta biti unutar raspon od 4,7 do 6, 2 cm; b) odstupanje promjera od prosjeka neće premašiti 0,6 cm u apsolutnoj vrijednosti.
7. Masa ribe ulovljene u ribnjaku pokorava se normalnom zakonu raspodjele sa standardnom devijacijom od 150 g i matematičkim očekivanjem a = 1000 g. Odredite vjerojatnost da će težina ulovljene ribe biti: a) od 900 do 1300 g. ; b) ne više od 1500 g; c) ne manje od 800 g; d) ne razlikuju se od prosječne mase modulo za najviše 200 g; e) nacrtati graf diferencijalne funkcije slučajne varijable X.
8. Prinos ozime pšenice po skupu parcela raspoređen je po normalnom zakonu s parametrima: a = 50 c/ha, = 10 c/ha. Odredite: a) koliki će postotak parcela imati prinos iznad 40 c/ha; b) postotak parcela s prinosom od 45 do 60 c/ha.
9. Onečišćenje žitarica mjeri se selektivnom metodom, slučajne pogreške mjerenja podliježu normalnom zakonu raspodjele sa standardnom devijacijom od 0,2 g i matematičkim očekivanjem a = 0. Odredite vjerojatnost da od četiri neovisna mjerenja pogreška barem jednog od njih neće prijeći apsolutnu vrijednost od 0,3 g.
10. Količina zrna sakupljena sa svake parcele pokusnog polja je normalno distribuirana slučajna varijabla X, koja ima matematičko očekivanje a = 60 kg i standardnu devijaciju od 1,5 kg. Odredite interval u kojem će se s vjerojatnošću 0,9906 nalaziti vrijednost X. Napišite diferencijalnu funkciju te slučajne varijable.
11. S vjerojatnošću 0,9973 utvrđeno je da apsolutno odstupanje žive mase slučajno odabranog grla goveda od prosječne mase životinje za cijelo stado ne prelazi 30 kg. Nađite standardnu devijaciju žive težine stoke, pod pretpostavkom da raspodjela stoke po živoj masi slijedi normalan zakon.
12. Prinos povrća po parceli je normalno raspodijeljena slučajna varijabla s matematičkim očekivanjem od 300 c/ha i standardnom devijacijom od 30 c/ha. Uz vjerojatnost 0,9545 odredite granice unutar kojih će biti prosječni prinos povrća na parcelama.
13. Normalno distribuirana slučajna varijabla X određena je diferencijalnom funkcijom:
Odredite: a) vjerojatnost upadanja slučajne varijable u interval
(3; 9); b) modus i medijan slučajne varijable X.
14. Trgovačko poduzeće prodaje slične proizvode dvaju proizvođača. Životni vijek proizvoda podliježe normalnom zakonu. Prosječni životni vijek proizvoda prvog proizvođača je 5,5 tisuća sati, a drugog 6 tisuća sati. Prvi proizvođač tvrdi da je s vjerojatnošću od 0,95 životni vijek prvog proizvođača u rasponu od 5 do 6 tisuća sati, a drugi, s vjerojatnošću od 0,9, u rasponu od 5 do 7 tisuća sati. Koji proizvođač ima veću varijabilnost u vijeku trajanja proizvoda.
15. Mjesečne plaće zaposlenika poduzeća raspoređuju se prema normalnom zakonu s matematičkim očekivanjem a = 10 tisuća rubalja. Poznato je da 50% zaposlenika poduzeća prima plaće od 8 do 12 tisuća rubalja. Odredite koji postotak zaposlenika poduzeća ima mjesečnu plaću od 9 do 18 tisuća rubalja.
16. Napišite funkciju gustoće i raspodjele eksponencijalnog zakona ako je: a) parametar; b) ; V) . Nacrtajte grafove funkcija.
17. Slučajna varijabla X raspodijeljena je po eksponencijalnom zakonu, i. Odredite vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u interval: a) (0; 1); b) (2; 4). M(X), D(X), (X).
18. Nađite M(X), D(X), (X) eksponencijalnog zakona raspodjele slučajne varijable X po zadanoj funkciji:
19. Ispituju se dva neovisno radna elementa. Trajanje besprijekornog rada prvog ima jasniju raspodjelu od drugog. Odredite vjerojatnost da će u razdoblju od 20 sati: a) raditi oba elementa; b) samo jedan element neće uspjeti; c) barem jedan element neće uspjeti; d) oba elementa će otkazati.
20. Vjerojatnost da će oba nezavisna elementa raditi unutar 10 dana je 0,64. Odredite funkciju pouzdanosti za svaki element ako su funkcije iste.
21. Prosječan broj pogrešaka koje operater napravi tijekom jednog sata rada je 2. Odredite vjerojatnost da će u 3 sata rada operater napraviti: a) 4 pogreške; b) najmanje dvije greške; c) najmanje jednu grešku.
22. Prosječan broj poziva koje telefonska centrala primi u minuti je tri. Nađite vjerojatnost da ćete u 2 minute primiti: a) 4 poziva; b) najmanje tri poziva.
23. Slučajna varijabla X raspodijeljena je prema Cauchyjevom zakonu
Kontinuirane slučajne varijable
6. Kontinuirane slučajne varijable
6.1. Numeričke karakteristike kontinuirane slučajne varijable
Kontinuirano je slučajna varijabla koja može uzeti sve vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala.
Funkcija raspodjele naziva se funkcija F (x) ? određivanje vjerojatnosti da će slučajna varijabla X kao rezultat testa poprimiti vrijednost manju od x, tj.
Svojstva funkcije distribucije:
1. Vrijednosti funkcije raspodjele pripadaju segmentu, tj.
2. F (x) je neopadajuća funkcija, tj. ako tada .
· Vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu jednaka je:
· Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla X poprimiti jednu određenu vrijednost je nula.
Gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X naziva se funkcija – prva derivacija funkcije distribucije.
Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla padne u zadani interval:
Pronalaženje funkcije distribucije pomoću poznate gustoće distribucije:
Svojstva gustoće distribucije
1. Gustoća distribucije je nenegativna funkcija:
2. Uvjet normalizacije:
Standardna devijacija
6.2. Jednolika raspodjela
Distribuciju vjerojatnosti nazivamo uniformnom ako na intervalu kojem pripadaju sve moguće vrijednosti slučajne varijable gustoća distribucije ostaje konstantna.
Gustoća vjerojatnosti jednoliko raspodijeljene slučajne varijable
Standardna devijacija
6.3. Normalna distribucija
Normalna je distribucija vjerojatnosti slučajne varijable, koja je opisana gustoćom distribucije
a- matematičko očekivanje
standardna devijacija
disperzija
Vjerojatnost pada u interval
Gdje je Laplaceova funkcija. Ova funkcija je tabelarna, tj. nema potrebe za izračunavanjem integrala, potrebno je koristiti tablicu.
Vjerojatnost odstupanja slučajne varijable x od matematičkog očekivanja
Pravilo tri sigme
Ako je slučajna varijabla normalno raspodijeljena, tada apsolutna vrijednost njezina odstupanja od matematičkog očekivanja ne prelazi trostruku standardnu devijaciju.
Točnije, vjerojatnost odlaska izvan navedenog intervala je 0,27%
Online kalkulator vjerojatnosti normalne distribucije
6.4. Eksponencijalna distribucija
Slučajna varijabla X raspoređena je po eksponencijalnom zakonu ako gustoća raspodjele ima oblik
Standardna devijacija
Posebnost ove distribucije je da je matematičko očekivanje jednako standardnoj devijaciji.
Teorija vjerojatnosti. Slučajni događaji (stranica 6)
12. Slučajne varijable x 
, Ako , , , .
13. Vjerojatnost proizvodnje neispravnog proizvoda je 0,0002. Izračunajte vjerojatnost da će inspektor koji provjerava kvalitetu 5000 proizvoda pronaći 4 neispravna.
x 
x poprimit će vrijednost koja pripada intervalu . Konstruirajte grafove funkcija i .
15. Vjerojatnost besprekornog rada elementa raspoređena je po eksponencijalnom zakonu 
(). Nađite vjerojatnost da će element raditi bez kvara 50 sati.
16. Uređaj se sastoji od 10 neovisno radnih elemenata. Vjerojatnost kvara svakog elementa tijekom vremena T jednako 0,05. Koristeći Chebyshovljevu nejednakost, procijenite vjerojatnost da će apsolutna vrijednost razlike između broja neispravnih elemenata i prosječnog broja (matematičkog očekivanja) neuspjeha tijekom vremena T bit će manje od dva.
17. Ispaljena su tri neovisna hica na metu (na sl. 4.1 m, m) bez sustavne pogreške () s očekivanim rasporedom pogodaka m. Odredite vjerojatnost najmanje jednog pogotka mete.
1. Koliko troznamenkasti brojevi znaš li smisliti brojeve 0,1,2,3,4,5?
2. Zbor broji 10 polaznika. Na koliko se načina može odabrati 6 sudionika u 3 dana tako da svaki dan bude drugi zbor?
3. Na koliko načina se špil od 52 promiješane karte može podijeliti na pola tako da jedna polovica sadrži tri asa?
4. Iz kutije u kojoj se nalaze žetoni s brojevima od 1 do 40 sudionici izvlačenja izvlače žetone. Odredite vjerojatnost da broj prvog nasumično izvučenog žetona ne sadrži broj 2.
5. Na ispitnom stolu testira se 250 uređaja pod određenim uvjetima. Odredite vjerojatnost da će barem jedan od testiranih uređaja otkazati unutar jednog sata ako je poznato da je vjerojatnost kvara unutar jednog sata jednog od ovih uređaja 0,04 i ista je za sve uređaje.
6. U piramidi se nalazi 10 pušaka od kojih su 4 opremljene optičkim nišanom. Vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu pucanjem iz puške s teleskopskim nišanom je 0,95; za puške bez optičkog nišana ta je vjerojatnost 0,8. Strijelac je pogodio metu iz nasumce uzete puške. Odredite vjerojatnost da je strijelac pucao iz puške s teleskopskim nišanom.
7. Uređaj se sastoji od 10 čvorova. Pouzdanost (vjerojatnost rada bez kvarova tijekom vremena t za svaki čvor je jednak . Čvorovi kvare neovisno jedan o drugom. Pronađite vjerojatnost da u vremenu t: a) barem jedan čvor neće uspjeti; b) otkazat će točno dva čvora; c) točno jedan čvor neće uspjeti; d) najmanje dva čvora neće uspjeti.
8. Svaki od 16 elemenata pojedinog uređaja se testira. Vjerojatnost da će element proći test je 0,8. Pronađite najvjerojatniji broj elemenata koji će proći test.
9. Nađite vjerojatnost da događaj A(promjena brzina) dogodit će se 70 puta na autocesti dugoj 243 kilometra ako je vjerojatnost prebacivanja na svakom kilometru ove autoceste 0,25.
10. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,8. Nađite vjerojatnost da će sa 100 hitaca meta biti pogođena najmanje 75 puta, a ne više od 90 puta.
x.
12. Slučajne varijable x i neovisan. Nađite matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable , Ako , , , .
13. Rukopis od 1000 stranica tipkanog teksta sadrži 100 tipfelera. Odredite vjerojatnost da nasumično uzeta stranica sadrži točno 2 greške pri upisu.
14. Kontinuirana slučajna varijabla x ravnomjerno raspoređen s konstantnom gustoćom vjerojatnosti, gdje 
Nađite 1) parametar i zapišite zakon raspodjele; 2) Pronađite , ; 3) Odredite vjerojatnost da x poprimit će vrijednost koja pripada intervalu .
15. Trajanje besprekornog rada elementa ima eksponencijalnu raspodjelu 
(). Nađite vjerojatnost da t= 24 sata element neće pokvariti.
16. Kontinuirana slučajna varijabla x normalno raspoređena 
. Pronaći , . Pronađite vjerojatnost da kao rezultat testa xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu.
17. Dana je distribucija vjerojatnosti diskretne dvodimenzionalne slučajne varijable:
Pronađite zakon raspodjele komponenata x i ; njihova matematička očekivanja i ; odstupanja i ; koeficijent korelacije .
1. Koliko se troznamenkastih brojeva može sastaviti od znamenki 1, 2, 3, 4, 5 ako se svaka od tih znamenki ne koristi više od jednom?
2. S obzirom n točaka od kojih niti tri ne leže na istom pravcu. Koliko se ravnih crta može povući spajanjem točaka u par?
Koliko domina možete napraviti koristeći brojeve od 0 do 9?
3. Kolika je vjerojatnost da nasumično otrgnuti papirić iz novog kalendara odgovara prvom danu u mjesecu? (Godina se ne smatra prijestupnom).
4. U radionici se nalaze 3 telefona koji rade neovisno jedan o drugom.
5. Vjerojatnosti zapošljavanja svakog od njih su sljedeće: ; ; . Nađite vjerojatnost da je barem jedan telefon slobodan.
6. Postoje tri identične urne. Prva urna sadrži 20 bijelih kugli, druga sadrži 10 bijelih i 10 crnih kugli, a treća sadrži 20 crnih kugli. Iz nasumično odabrane urne izvlači se bijela kugla. Odredite vjerojatnost da je kuglica izvučena iz prve žare.
7. U nekim područjima ljeti je u prosjeku 20% dana kišovito. Kolika je vjerojatnost da će tijekom jednog tjedna: a) biti barem jedan kišni dan; b) bit će točno jedan kišni dan; c) broj kišnih dana neće biti veći od četiri; d) neće biti kišnih dana.
8. Vjerojatnost kršenja točnosti u montaži uređaja je 0,32. Odredite najvjerojatniji broj preciznih instrumenata u seriji od 9 komada.
9. Odredite vjerojatnost da će sa 150 hitaca iz puške meta biti pogođena 70 puta ako je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem 0,4.
10. Odredite vjerojatnost da će od 1000 rođene djece broj dječaka biti najmanje 455, a ne više od 555, ako je vjerojatnost rođenja dječaka 0,515.
11. Dan je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable x:
Pronađite: 1) vrijednost vjerojatnosti koja odgovara vrijednosti ; 2) , , ; 3) distribucijska funkcija; izgraditi njegov graf. Konstruirajte poligon distribucije slučajne varijable x.
12. Slučajne varijable x i neovisan. Nađite matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable , Ako , , , .
13. Vjerojatnost proizvodnje nestandardnog dijela je 0,004. Nađite vjerojatnost da će među 1000 dijelova biti 5 nestandardnih.
14. Kontinuirana slučajna varijabla x dana funkcijom raspodjele 
Nađite: 1) funkciju gustoće; 2) , , ; 3) vjerojatnost da kao rezultat pokusa slučajna varijabla x poprimit će vrijednost koja pripada intervalu . Konstruirati grafove funkcija i .km, km. Odredite vjerojatnost dva pogotka u metu.
1. Govornici moraju biti prisutni na sastanku A, U, S, D. Na koliko se načina oni mogu staviti na popis govornika tako da U govorio nakon govornika A?
2. Na koliko se načina 14 istih kuglica može rasporediti u 8 kutija?
3. Koliko se peteroznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva od 1 do 9?
4. Student je došao na ispit znajući samo 24 od 32 pitanja u programu. Ispitivač mu je postavio 3 pitanja. Odredite vjerojatnost da je učenik odgovorio na sva pitanja.
5. Do kraja dana u trgovini je ostalo 60 lubenica, uključujući 50 zrelih. Kupac bira 2 lubenice. Kolika je vjerojatnost da su obje lubenice zrele?
6. U skupini atletičara je 20 trkača, 6 skakača i 4 bacača kladiva. Vjerojatnost da će trkač ispuniti standard majstora sporta je 0,9; skakač - 0,8 i bacač - 0,75. Odredite vjerojatnost da će nasumično pozvani sportaš ispuniti normu majstora sporta.
7. Vjerojatnost da će iznajmljeni predmet biti vraćen u dobrom stanju je 0,8. Odredite vjerojatnost da će se od pet uzetih stvari: a) tri vratiti u dobrom stanju; b) svih pet artikala bit će vraćeno u dobrom stanju; c) najmanje dva predmeta će biti vraćena u dobrom stanju.
8. Vjerojatnost pojave greške u seriji od 500 dijelova je 0,035. Odredite najvjerojatniji broj neispravnih dijelova u ovoj seriji.
9. U proizvodnji električnih žarulja pretpostavlja se da je vjerojatnost proizvodnje prvorazredne svjetiljke 0,64. Odredite vjerojatnost da će od 100 nasumce uzetih električnih žarulja 70 biti prvorazredne.
10. Ispitivanju podliježe 400 uzoraka rude. Vjerojatnost industrijskog sadržaja metala u svakom uzorku je ista i jednaka je 0,8. Odredite vjerojatnost da će broj uzoraka s industrijskim sadržajem metala biti između 290 i 340.
11. Dan je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X ako X X i ; 4) utvrditi jesu li te veličine ovisne.
1. Na koliko se načina može smjestiti 8 gostiju Okrugli stol pa da dva poznata gosta sjede jedan do drugoga?
2. Koliko različitih "riječi" možete napraviti preslagivanjem slova riječi "kombinatorika"?
3. Koliko ima trokuta čije duljine stranica imaju jednu od sljedećih vrijednosti: 4, 5, 6, 7 cm?
4. Omotnica sadrži slova razdvojene abecede: OKO, P, R, S, T. Slova su temeljito izmiješana. Odredite vjerojatnost da ćete, vađenjem ovih slova i stavljanjem jedno do drugoga, dobiti riječ “ SPORT‘.
5. Od prvog stroja, 20% dijelova se isporučuje na sklop, od drugog 30%, od trećeg - 50% dijelova. Prvi stroj daje u prosjeku 0,2% nedostataka, drugi - 0,3%, treći - 1%. Odredite vjerojatnost da je dio primljen za sastavljanje neispravan.
6. Jedan od trojice strijelaca je pozvan na liniju gađanja i ispaljuje hitac. Cilj je pogođen. Vjerojatnost pogađanja mete jednim hicem za prvog strijelca je 0,3, za drugog - 0,5, za trećeg - 0,8. Nađite vjerojatnost da je hitac ispalio drugi strijelac.
7. U radionici se nalazi 6 motora. Za svaki motor, vjerojatnost da je trenutno uključen je 0,8. Odredite vjerojatnost da su trenutno: a) uključena 4 motora; b) najmanje jedan motor je uključen; c) svi motori su uključeni.
8. Televizor ima 12 lampi. Svaki od njih s vjerojatnošću od 0,4 može pokvariti tijekom jamstvenog roka. Pronađite najvjerojatniji broj lampi koje se pokvare tijekom jamstvenog roka.
9. Vjerojatnost da ćete roditi dječaka je 0,515. Nađite vjerojatnost da će od 200 rođene djece biti jednak broj dječaka i djevojčica.
10. Vjerojatnost da dio nije prošao inspekciju kontrole kvalitete bit će . Odredite vjerojatnost da će među 400 nasumično odabranih dijelova biti od 70 do 100 neispitanih dijelova.
11. Dan je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable x:
- Osnovni zakoni distribucije slučajne varijable Obrazovna ustanova “Bjeloruski državni odjel za visoku matematiku” za proučavanje teme “Osnovni zakoni distribucije slučajne varijable” od strane studenata Računovodstvenog fakulteta dopisnog obrazovanja (NISPO) Osnovni zakoni distribucije slučajne varijable [...]
- Kazne prometne policije Leninogorsk Kasno država će poduzeti mjere za naplatu vaših kazni ako se niste žalili Kazne prometne policije Leninogorsk su neophodne Legenda. Bez registracijskih dokumenata i bez police obveznog osiguranja od automobilske odgovornosti hiperlink na ovaj članak stoji 500 kuna. Službenici kažnjavaju prometnu policiju Leninogorsk [...]
- Otpremnine za žrtve Černobila: (3 + 1) ili samo 3? Za građane koji su stradali kao posljedica černobilske katastrofe (u daljnjem tekstu žrtve Černobila), Zakon br. 796* uspostavio je određene beneficije i jamstva. Tako černobilske žrtve svrstane u kategoriju 1, između ostalog, imaju povlašteno pravo boravka […]
- Porez na vikendicu. Trebao bi to znati. Muž i ja razmišljamo o ljetnikovcu gdje bismo mogli doći, malo kopati po gredicama, a navečer sjediti u stolici za ljuljanje kraj vatre i ne razmišljati ni o čemu. Samo se opustite. Znamo iz prve ruke da vrtlarstvo nije jeftino (stajnjak, gnojiva, sadnice), porezi... Koji porezi […]
- Savjet 1: Kako odrediti zakon distribucije Kako odrediti zakon distribucije Kako konstruirati Pareto dijagram Kako pronaći matematičko očekivanje ako je varijanca poznata - matematički priručnik; - jednostavna olovka; - bilježnica; - olovka. Zakon normalne distribucije u 2018. Savjet 2: Kako […]
- 3. SLUČAJNE VARIJABLE. POJAM SLUČAJNE VARIJABLE Slučajna varijabla je veličina koja, kao rezultat ispitivanja provedenih pod istim uvjetima, poprima različite, općenito govoreći, vrijednosti, ovisno o slučajnim čimbenicima koji nisu uzeti u obzir. Primjeri slučajnih varijabli: broj izvučenih bodova po […]
- Uklanjanje prolaza Ukupna površina objekta, km 2; N pora je broj zahvaćenih elemenata objekta (zgrade, radionice, strukture, sustavi); Ntot je ukupan broj elemenata objekta. Za određivanje broja žrtava možete koristiti sljedeći izraz: gdje je Spor broj žrtava u iznenadnoj eksploziji; Lc je broj radnika za određeni […]
- Zakoni zračenja Stefana Boltzmanna Za stvarna tijela Stefan-Boltzmannov zakon je zadovoljen samo kvalitativno, odnosno s porastom temperature energetski luminozitet svih tijela raste. Međutim, za stvarna tijela ovisnost energetskog sjaja o temperaturi više se ne opisuje jednostavnom relacijom (16.7), već […]
