Голямата теорема Ферма Сингх Саймън

„Последната теорема на Ферма доказана ли е?“

Това беше само първата стъпка към доказване на предположението Танияма-Шимура, но стратегията, избрана от Уайлс, беше брилянтен математически пробив, резултат, който заслужаваше да бъде публикуван. Но поради обета за мълчание, наложен от Уайлс върху себе си, той не можеше да каже на останалия свят за резултата и нямаше представа кой друг може да направи такъв значителен пробив.

Уайлс припомня философското си отношение към всеки потенциален претендент: „Никой не иска да прекара години в доказване на нещо и да открие, че някой друг е успял да намери доказателството няколко седмици по-рано. Но колкото и да е странно, тъй като се опитвах да разреша проблем, който по същество се смяташе за неразрешим, не се страхувах много от опонентите си. Просто не очаквах аз или някой друг да изляза с идея, която да доведе до доказателство."

На 8 март 1988 г. Уайлс е шокиран да види заглавия на първа страница с голям шрифт, които гласят: „Последната доказана теорема на Ферма“. Washington Post и New York Times съобщават, че 38-годишният Йоичи Мияока от Токийския столичен университет е решил най-трудния математически проблем в света. Досега Мияока все още не е публикувал своето доказателство, но очерта напредъка си на семинар в Института по математика Макс Планк в Бон. Дон Цагир, който присъства на разговора на Мияока, изрази оптимизма на математическата общност в следните думи: „Доказателството, представено от Мияока, е изключително интересно и някои математици смятат, че има голяма вероятност да бъде правилно. Все още няма сигурност, но засега доказателствата изглеждат много обнадеждаващи."

Говорейки на семинар в Бон, Мияока говори за своя подход към решаването на проблема, който разглежда от съвсем различна алгебро-геометрична гледна точка. През последните десетилетия геометрите са постигнали дълбоко и фино разбиране на математическите обекти, по-специално на свойствата на повърхностите. През 70-те години на миналия век руският математик С. Аракелов се опитва да установи паралели между проблемите на алгебричната геометрия и проблемите от теорията на числата. Това беше една от линиите на програмата на Лангландс и математиците се надяваха, че нерешените проблеми в теорията на числата могат да бъдат решени чрез изучаване на съответните проблеми в геометрията, които също остават нерешени. Такава програма беше известна като философия на паралелността. Тези алгебрични геометри, които се опитваха да решават проблеми в теорията на числата, бяха наречени "аритметични алгебрични геометрии". През 1983 г. те обявиха първата си значителна победа, когато Герд Фалтингс от Принстънския институт за напреднали изследвания направи значителен принос за разбирането на теоремата на Ферма. Припомнете си, че според Ферма уравнението

в нпо-голямо от 2 няма решения в цели числа. Фалтингс реши, че е постигнал напредък в доказването на последната теорема на Ферма чрез изучаване геометрични повърхностисвързани с различни стойности н. Повърхности, свързани с уравненията на Ферма за различни стойности н, се различават един от друг, но имат едно общо свойство - всички имат проходни дупки или, просто казано, дупки. Тези повърхности са четириизмерни, както и графиките на модулните форми. Двумерни разрези на две повърхности са показани на фиг. 23. Повърхностите, свързани с уравнението на Ферма, изглеждат сходни. Колкото по-голяма е стойността нв уравнението, толкова повече дупки в съответната повърхност.

Ориз. 23. Тези две повърхности са получени с помощта на компютърната програма Mathematica. Всеки от тях представлява мястото на точките, отговарящи на уравнението x n + y n = z n(за повърхността отляво н=3, за повърхността отдясно н=5). Променливи хи гсе считат за сложни.

Фалтингс успя да докаже, че тъй като такива повърхности винаги имат няколко дупки, свързаното уравнение на Ферма може да има само краен набор от решения в цели числа. Броят на решенията може да бъде всякакъв от нула, както предложи Ферма, до милион или милиард. Така Фалтингс не доказа последната теорема на Ферма, но поне успя да отхвърли възможността уравнението на Ферма да има безкрайно много решения.

Пет години по-късно Мияока съобщи, че е отишъл една крачка по-далеч. Тогава той беше в началото на двадесетте. Мияока формулира предположение за някакво неравенство. Стана ясно, че доказването на геометричната му хипотеза би означавало да се докаже, че броят на решенията на уравнението на Ферма е не само краен, но и равен на нула. Подходът на Мияока беше подобен на този на Уайлс, тъй като и двамата се опитаха да докажат последната теорема на Ферма, като я свържат с фундаментална хипотеза в друга област на математиката. За Мияока това беше алгебрична геометрия, за Уайлс пътят към доказателството лежеше през елиптични криви и модулни форми. За голямо разочарование на Уайлс, той все още се бореше с доказателството на предположението Танияма-Шимура, когато Мияока твърдеше, че има пълно доказателство за собствената си хипотеза и следователно за последната теорема на Ферма.

Две седмици след речта си в Бон, Мияока публикува петте страници с изчисления, които формираха същността на неговото доказателство, и започна щателна проверка. Теоретиците на числата и алгебричните геометрии по целия свят изучават ред по ред, публикуват изчисления. Няколко дни по-късно математиците откриха едно противоречие в доказателството, което не можеше да не предизвика безпокойство. Една част от работата на Мияока доведе до твърдение от теорията на числата, от което при превод на езика на алгебричната геометрия се получи твърдение, което противоречи на резултата, получен няколко години по-рано. Въпреки че това не обезсилва непременно цялото доказателство на Мияока, откритото несъответствие не се вписва във философията на паралелизма между теорията на числата и геометрията.

Две седмици по-късно Герд Фалтингс, който проправи пътя за Мияоке, обяви, че е открил точната причина за очевидното нарушение на едновременността - празнина в разсъжденията. Японският математик беше геометър и не беше абсолютно строг в превеждането на идеите си в по-малко познатата територия на теорията на числата. Армия от теоретици на числата положи отчаяни усилия да закърпи дупката в доказателството на Мияоки, но напразно. Два месеца след като Мияока твърди, че има пълно доказателство за последната теорема на Ферма, математическата общност стигна до единодушното заключение, че доказателството на Мияока е обречено на провал.

Както в случая с предишни неуспешни доказателства, Мияока успя да получи много интересни резултати. Части от неговото доказателство заслужават внимание като много гениални приложения на геометрията към теорията на числата, а в по-късни години други математици ги използваха за доказване на определени теореми, но никой не успя да докаже последната теорема на Ферма по този начин.

Шумът около последната теорема на Ферма скоро утихна и вестниците публикуваха кратки бележки, в които се казваше, че тристагодишният пъзел все още остава нерешен. На стената на нюйоркската метростанция на Осма улица се появи следният надпис, без съмнение вдъхновен от публикации в пресата за последната теорема на Ферма: „Уравнението xn + yn = знняма решения. Намерих наистина невероятно доказателство за този факт, но не мога да го запиша тук, защото влакът ми дойде.

ГЛАВА 10 КРОКОДИЛСКА ФЕРМА Те караха по живописния път в колата на стария Джон, седнали на задните седалки. Зад волана имаше черен шофьор с ярка риза със странно подстригана глава. Храсти от черна коса, твърди като тел, се издигаха върху обръснат череп, логика

Подготовка за състезание. Аляска, фермата Iditarod на Линда Плетнър е ежегодно състезание с кучешки шейни в Аляска. Дължината на маршрута е 1150 мили (1800 км). Това е най-дългото състезание с кучешки шейни в света. Старт (церемониален) - 4 март 2000 г. от Анкоридж. Започнете

Козеферма През лятото в селото има много работа. Когато посетихме село Хомутец, там се прибираше сено и уханни вълни от прясно окосена трева сякаш попиваха всичко наоколо.Тревите трябва да се косят навреме, за да не презреят, тогава в тях ще се запази всичко ценно и хранително. Това

Лятна ферма Слама, като мълния ръка, в стъклена трева Друг, като се подписа на оградата, запали огъня на зелената чаша с вода в коритото на коня. В синия здрач Скитайте, полюшвайки се, девет патици по коловоза на духа на успоредните линии. Ето едно пиле, което гледа само в нищо

Разрушена ферма Спокойното слънце, като тъмночервено цвете, Слезе на земята, растящо в залеза, Но завесата на нощта в празен режим потрепна света, което смути погледа. Тишина цареше във ферма без покрив, Сякаш някой й беше откъснал косата, Караха се за кактус

Ферма или заден двор? На 13 февруари 1958 г. всички централни московски, а след това и регионални вестници публикуват решението на ЦК на Комунистическата партия на Украйна „За грешка при закупуването на крави от колхозници в Запорожска област“. Дори не ставаше дума за целия регион, а за два негови района: Приморски

Проблемът на Ферма През 1963 г., когато е само на десет години, Андрю Уайлс вече е очарован от математиката. „В училище обичах да решавам проблеми, носех ги вкъщи и измислях нови от всеки проблем. Но най-добрият проблем, който някога съм срещал, открих в местен

От Питагоровата теорема до последната теорема на Ферма Питагоровата теорема и безкрайният брой питагорови тройки бяха обсъдени в книгата на E.T. Бела "Големият проблем" - същото библиотечна книга, което привлече вниманието на Андрю Уайлс. И въпреки че питагорейците са достигнали почти напълно

Математика след доказването на последната теорема на Ферма Колкото и да е странно, самият Уайлс имаше смесени чувства към доклада си: „Поводът за речта беше много добре подбран, но самата лекция събуди смесени чувства в мен. Работете върху доказателството

ГЛАВА 63 Фермата на стария МакЛенън Около месец и половина след завръщането си в Ню Йорк в една от „ноемврийските вечери“ телефонът звънна в апартамента на семейство Ленън. Йоко вдигна телефона. Пуерторикански мъжки глас попита Йоко Оно.

Теоремата на Понтрягин Едновременно с консерваторията татко учи в Московския държавен университет, в механиката и математиката. Завършва го успешно и дори известно време се колебае в избора на професия. Музикологията спечели, в резултат на което той се възползва от математическия си начин на мислене.Един от състудентите на баща ми

Теорема Теоремата за правото на религиозно сдружение да избира свещеник трябва да бъде доказана. То гласи така: „Създава се православна общност... под духовното ръководство на избран от общността свещеник и получил благословението на епархийския епископ“.

I. Ферма („Тук, от кокоши тор…“) Ето, от кокоши тор Едно спасение е метлата. Любовта - кое е от значение? - Закараха ме в кокошарника. Кълват зърното, кокошките кикотят, петлите маршируват важно. И без размер и цензура Стихотворенията се съчиняват в ума. За един провансалски следобед

ИСТОРИЯ НА ВЕЛИКАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМАТ
Голяма афера

Веднъж в новогодишното издание на пощенския списък за това как се правят наздравици, небрежно споменах, че в края на 20-ти век имаше едно грандиозно събитие, което мнозина не забелязаха - най-накрая беше доказана т. нар. Последна теорема на Ферма. По този повод сред писмата, които получих, намерих два отговора от момичета (едно от тях, доколкото си спомням, е Вика, деветокласничка от Зеленоград), които бяха изненадани от този факт.

И бях изненадан от това колко живо се интересуват момичетата от проблемите на съвременната математика. Затова смятам, че не само момичета, но и момчета от всички възрасти – от гимназисти до пенсионери, също ще се интересуват от изучаването на историята на Великата теорема.

Доказателството на теоремата на Ферма е голямо събитие. И тъй като не е прието да се шегуваме с думата "велико", тогава ми се струва, че всеки уважаващ себе си говорител (и всички ние, когато казваме говорители) е просто длъжен да знае историята на теоремата.

Ако се случи така, че вие ​​не харесвате математиката толкова, колкото аз я обичам, тогава разгледайте някои задълбочения в детайли с бегъл поглед. Разбирайки, че не всички читатели на нашия пощенски списък се интересуват от лутане в дивата природа на математиката, аз се опитах да не давам никакви формули (с изключение на уравнението на теоремата на Ферма и няколко хипотези) и да опростя отразяването на някои специфични въпроси като доколкото е възможно.

Как Ферма вареше овесена каша

Френският юрист и хонорар велик математик от 17-ти век, Пиер Ферма (1601-1665), изложи едно любопитно твърдение от областта на теорията на числата, което по-късно стана известно като Голямата (или велика) теорема на Ферма. Това е един от най-известните и феноменални математически теореми. Вероятно вълнението около него не би било толкова силно, ако в книгата на Диофант Александрийски (3 век сл. Хр.) „Аритметика“, която Ферма често изучаваше, правейки бележки в широките й полета, и която синът му Самуил любезно запази за потомство , приблизително следният запис на великия математик не беше намерен:

„Имам много поразително доказателство, но то е твърде голямо, за да се побере в полетата.

Именно това вписване предизвика последвалите грандиозни сътресения около теоремата.

И така, известният учен каза, че е доказал своята теорема. Нека си зададем въпроса: наистина ли го е доказал или е излъгал банално? Или има други версии, обясняващи появата на този маргинален запис, който не позволи на много математици от следващите поколения да спят спокойно?

Историята на Великата теорема е завладяваща като приключение във времето. Ферма заявява през 1636 г., че уравнение на формата x n + y n =z nняма решения в цели числа с степен n>2. Това всъщност е последната теорема на Ферма. В тази на пръв поглед проста математическа формула Вселената е прикрила невероятна сложност. Роденият в Шотландия американски математик Ерик Темпъл Бел в книгата си The Final Problem (1961) дори предположи, че може би човечеството ще престане да съществува, преди да успее да докаже последната теорема на Ферма.

Донякъде е странно, че по някаква причина теоремата закъсня с раждането си, тъй като ситуацията беше отдавна закъсняла, защото нейният специален случай за n = 2 - друга известна математическа формула - Питагоровата теорема, възниква двадесет и два века по-рано. За разлика от теоремата на Ферма, Питагоровата теорема има безкраен брой целочислени решения, например такива питагорейски триъгълници: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15 ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Синдром на голямата теорема

Който просто не се опита да докаже теоремата на Ферма. Всеки прохождащ ученик смяташе за свой дълг да приложи Великата теорема, но никой не успя да го докаже. Отначало сто години не работеше. След това още сто. И по-нататък. Сред математиците започна да се развива масов синдром: "Как е? Ферма го доказа, но какво, ако не мога, или какво?" - и някои от тях полудяха на тази основа в пълния смисъл на думата.

Колкото и да е тествана теоремата, тя винаги се оказва вярна. Познавах един енергичен програмист, който беше обсебен от идеята да опровергае Великата теорема, като се опита да намери поне едно решение (контрапример) чрез повторение на цели числа с помощта на бърз компютър (по това време по-често наричан компютър). Той вярваше в успеха на своето предприятие и обичаше да казва: „Още малко – и ще избухне сензация!“ Мисля, че в различни части на нашата планета имаше значителен брой от този вид смели търсачи. Разбира се, той не намери решение. И никакви компютри, дори с невероятна скорост, никога не биха могли да тестват теоремата, защото всички променливи на това уравнение (включително експонентите) могат да се увеличават до безкрайност.

Теоремата изисква доказателство

Математиците знаят, че ако една теорема не е доказана, от нея може да произтича всичко (вярно или невярно), както се случи с някои други хипотези. Например, в едно от писмата си Пиер Ферма предполага, че числата от вида 2 n +1 (т.нар. числа на Ферма) са задължително прости (т.е. нямат цели делители и се делят само на себе си и на едно без остатък), ако n е степен на две (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т.н.). Хипотезата на Ферма е живяла повече от сто години - докато Леонхард Ойлер не показа през 1732 г.

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

След това, почти 150 години по-късно (1880 г.), Форчън Ландри разчита следното число на Ферма:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Как биха могли да намерят делителите на тези големи числа без помощта на компютри - един Господ знае. От своя страна Ойлер излага хипотезата, че уравнението x 4 + y 4 + z 4 =u 4 няма решения в цели числа. Въпреки това, около 250 години по-късно, през 1988 г., Наум Елкис от Харвард успява да открие (вече използвайки компютърна програма), че

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Следователно последната теорема на Ферма изискваше доказателство, в противен случай тя беше само хипотеза и можеше да се окаже, че някъде в безкрайните числови полета решението на уравнението на Голямата теорема е загубено.

Най-виртуозният и плодовит математик на 18-ти век Леонард Ойлер, чийто архив от записи човечеството сортира от почти век, доказа теоремата на Ферма за степени 3 и 4 (или по-скоро той повтори изгубените доказателства на самия Пиер Ферма) ; неговият последовател в теорията на числата Лежандре (и независимо Дирихле) - за степен 5; Куц - за степен 7. Но в общ изгледтеоремата остана недоказана.

На 1 март 1847 г., на среща на Парижката академия на науките, двама изтъкнати математици наведнъж - Габриел Ламе и Огюстен Коши - обявяват, че са стигнали до края на доказването на Великата теорема и организират състезание, публикувайки своите доказателства на части. Двубоят помежду им обаче е прекъснат, тъй като в доказателствата им е открита същата грешка, която е посочена от немския математик Ернст Кумер.

В началото на 20-ти век (1908 г.) богат немски предприемач, филантроп и учен Пол Волфскел завещава сто хиляди марки на всеки, който би представил пълно доказателство за теоремата на Ферма. Още през първата година след публикуването на завещанието на Волфскел от Гьотингенската академия на науките, то беше залято с хиляди доказателства от любителите на математиката и този поток не спря в продължение на десетилетия, но, както можете да си представите, всички те съдържаха грешки . Казват, че академията е подготвила формуляри със следното съдържание:

Уважаеми __________________________!
Във вашето доказателство на теоремата на Ферма на ____ страница ____ ред отгоре
Във формулата е намерена следната грешка:__________________________:,

Които бяха изпратени на нещастни кандидати за наградата.

По това време в кръга на математиците се появява полупрезрителен прякор - фермист. Това беше името, дадено на всяко самоуверено изкачване, на което му липсваха познания, но повече от амбиция да опита набързо ръката си в доказването на Великата теорема и след това, без да забелязва собствените си грешки, гордо се пляска по гърдите, високо да заявява: „Аз доказа първата теорема на Ферма! Всеки фермер, дори да беше десетхиляден на брой, се смяташе за първи - това беше нелепо. прост външен видВеликата теорема напомняше на Фермистите толкова много за лесна плячка, че те абсолютно не се смущаваха, че дори Ойлер и Гаус не могат да се справят с нея.

(Фермистите, колкото и да е странно, съществуват и до днес. Въпреки че един от тях не вярваше, че е доказал теоремата като класически фермист, но доскоро правеше опити - той отказа да ми повярва, когато му казах, че теоремата на Ферма вече е била доказано).

Най-мощните математици, може би в тишината на кабинетите си, също се опитаха да подходят предпазливо към този непоносим прът, но не говореха за него на глас, за да не бъдат заклеймени като фермисти и по този начин да не навредят на високия си авторитет.

По това време се появи доказателството на теоремата за степента n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Странна хипотеза

До средата на двадесети век не се наблюдават големи постижения в историята на Великата теорема. Но скоро в математическия живот се случи интересно събитие. През 1955 г. 28-годишният японски математик Ютака Танияма излага твърдение от съвсем различна област на математиката, наречена Хипотезата на Танияма (известна още като Хипотезата на Танияма-Шимура-Вейл), която, за разлика от закъснялата теорема на Ферма, изпреварва време е.

Предположението на Танияма гласи: „на всяка елиптична крива съответства определена модулна форма“. Това твърдение за математиците от онова време звучеше толкова абсурдно, колкото за нас звучи твърдението: „определен метал отговаря на всяко дърво“. Лесно е да се отгатне как нормален човек може да се отнася към подобно твърдение - той просто няма да го приеме на сериозно, което се случи: математиците единодушно пренебрегнаха хипотезата.

Малко обяснение. Елиптичните криви, познати от дълго време, имат двуизмерна форма (разположена върху равнина). Модулните функции, открити през 19-ти век, имат четириизмерна форма, така че дори не можем да си ги представим с нашите триизмерни мозъци, но можем да ги опишем математически; в допълнение, модулните форми са невероятни с това, че имат възможно най-голяма симетрия - те могат да бъдат премествани (измествани) във всяка посока, огледални, фрагменти могат да се разменят, въртят по безкрайно много начини - и външният им вид не се променя. Както можете да видите, елиптичните криви и модулните форми имат малко общо. Хипотезата на Танияма гласи, че описателните уравнения на тези два абсолютно различни математически обекта, съответстващи един на друг, могат да бъдат разширени в една и съща математически серия.

Хипотезата на Танияма беше твърде парадоксална: тя съчетаваше напълно различни концепции - доста прости плоски криви и невъобразими четириизмерни форми. Това никога не е хрумвало на никого. Когато на международен математически симпозиум в Токио през септември 1955 г. Танияма демонстрира няколко съответствия между елиптичните криви и модулните форми, всички видяха това като нищо повече от смешно съвпадение. На скромния въпрос на Танияма: възможно ли е да се намери съответната модулна функция за всяка елиптична крива, почтеният французин Андре Вейл, който по това време е един от най-добрите специалисти по теория на числата в света, даде доста дипломатичен отговор, какво, казват те , ако любознателният Танияма не остави ентусиазма, тогава може би ще има късмет и невероятната му хипотеза ще се потвърди, но това не трябва да се случи скоро. Като цяло, подобно на много други изключителни открития, в началото хипотезата на Танияма беше игнорирана, тъй като те все още не бяха дорасли до нея - почти никой не я разбра. Само един колега на Танияма, Горо Шимура, познавайки добре своя изключително надарен приятел, интуитивно чувстваше, че хипотезата му е вярна.

Три години по-късно (1958 г.) Ютака Танияма се самоубива (самурайските традиции обаче са силни в Япония). От гледна точка на здравия разум - неразбираем акт, особено като се има предвид, че много скоро той щеше да се ожени. Лидерът на младите японски математици започна самоубийствената си бележка по следния начин: „Вчера не мислех за самоубийство. Напоследък често чувах от други, че съм психически и физически уморен. Всъщност дори сега не разбирам защо съм правейки това...” и така нататък на три листа. Жалко, разбира се, че това беше съдбата на интересен човек, но всички гении са малко странни - затова са гении (по някаква причина думите на Артур Шопенхауер дойдоха на ум: „в обикновения живот един гениалността е толкова полезна, колкото и телескопът в театър“). Хипотезата е изоставена. Никой не знаеше как да го докаже.

В продължение на десет години хипотезата на Танияма почти не се споменаваше. Но в началото на 70-те години тя стана популярна - редовно се проверяваше от всеки, който можеше да я разбере - и винаги се потвърждаваше (както всъщност теоремата на Ферма), но, както и преди, никой не можеше да го докаже.

Удивителната връзка между двете хипотези

Изминаха още 15 години. През 1984 г. имаше едно ключово събитие в живота на математиката, което комбинира екстравагантната японска хипотеза с последната теорема на Ферма. Германецът Герхард Фрей представи любопитно твърдение, подобно на теорема: „Ако предположението на Танияма бъде доказано, следователно, последната теорема на Ферма ще бъде доказана.“ С други думи, теоремата на Ферма е следствие от предположението на Танияма. (Фрей, използвайки гениални математически трансформации, редуцира уравнението на Ферма до формата на уравнение на елиптична крива (същото, което се появява в хипотезата на Танияма), повече или по-малко обоснова предположението си, но не можа да го докаже). И само година и половина по-късно (1986) професорът в Калифорнийския университет Кенет Рибет ясно доказа теоремата на Фрей.

Какво стана сега? Сега се оказа, че тъй като теоремата на Ферма вече е точно следствие от предположението на Танияма, е необходимо единственото да се докаже последното, за да се счупят лаврите на победителя от легендарната теорема на Ферма. Но хипотезата се оказа трудна. Освен това през вековете математиците стават алергични към теоремата на Ферма и много от тях решават, че също ще бъде почти невъзможно да се справят с предположението на Танияма.

Смъртта на хипотезата на Ферма. Раждането на теорема

Изминаха още 8 години. Един прогресивен английски професор по математика от Принстънския университет (Ню Джърси, САЩ), Андрю Уайлс, смята, че е намерил доказателство за предположението на Танияма. Ако генийът не е плешив, тогава, като правило, е разрошен. Уайлс е разрошен, следователно изглежда като гений. Навлизането в историята, разбира се, е изкушаващо и много желателно, но Уайлс, като истински учен, не се ласкае, осъзнавайки, че хиляди фермисти преди него също са видели призрачни доказателства. Ето защо, преди да представи доказателството си на света, той внимателно го провери сам, но осъзнавайки, че може да има субективно пристрастие, той включи и други в проверките, например под прикритието на обикновени математически задачи, понякога хвърляше различни фрагменти на неговото доказателство пред умни студенти. По-късно Уайлс призна, че никой освен съпругата му не е знаел, че работи върху доказването на Великата теорема.

И така, след дълги проверки и болезнени разсъждения, Уайлс най-накрая събра смелост или може би, както той самият смяташе, арогантност и на 23 юни 1993 г. на математическа конференция по теория на числата в Кеймбридж обяви своето голямо постижение.

Това, разбира се, беше сензация. Никой не е очаквал такава пъргавина от малко известен математик. Тогава се появи пресата. Всички се измъчваха от горящ интерес. Стройни формули, като щрихи на красива картина, се появиха пред любопитните очи на публиката. Истинските математици все пак са такива - гледат всякакви уравнения и виждат в тях не числа, константи и променливи, а чуват музика, като Моцарт, гледащ музикална тояга. Точно както когато четем книга, ние гледаме буквите, но сякаш не ги забелязваме, а веднага възприемаме смисъла на текста.

Представянето на доказателството изглеждаше успешно - в него не бяха открити грешки - никой не чу нито една фалшива нотка (въпреки че повечето математици просто го гледаха като първокласници в интеграл и нищо не разбираха). Всички решиха, че се е случило мащабно събитие: хипотезата на Танияма е доказана, а следователно и последната теорема на Ферма. Но около два месеца по-късно, няколко дни преди ръкописът на доказателството на Уайлс да влезе в обращение, беше установено, че е непоследователен (Кац, колега на Уайлс, отбеляза, че една част от разсъжденията се основава на „системата на Ойлер“, но какво построена от Wiles, не беше такава система), въпреки че като цяло техниките на Wiles се смятаха за интересни, елегантни и иновативни.

Уайлс анализира ситуацията и реши, че е загубил. Човек може да си представи как се е чувствал с цялото си същество какво означава „от великото до смешното една стъпка“. „Исках да вляза в История, но вместо това се присъединих към екип от клоуни и комици – арогантни фермери” – приблизително такива мисли го изтощаваха през онзи мъчителен период от живота му. За него, сериозен математик, това беше трагедия и той хвърли доказателството си на заден план.

Но малко повече от година по-късно, през септември 1994 г., докато мислеше за това тесничко на доказателството, заедно с колегата си Тейлър от Оксфорд, последният внезапно има идеята, че „системата на Ойлер“ може да бъде променена с теорията на Ивасава (раздел на теорията на числата). След това те се опитаха да използват теорията на Ивасава, без "системата на Ойлер", и всички се събраха. Коригираната версия на доказателството беше предоставена за проверка, а година по-късно беше обявено, че всичко в него е абсолютно ясно, без нито една грешка. През лятото на 1995 г. в едно от водещите математически списания - "Annals of Mathematics" - е публикувано пълно доказателство на предположението на Танияма (оттук и Голямата (голяма) теорема на Ферма), което заема целия брой - над сто листа. Доказателството е толкова сложно, че само няколко десетки души по света биха могли да го разберат в неговата цялост.

Така в края на 20-ти век целият свят призна, че през 360-та година от живота си последната теорема на Ферма, която всъщност е била хипотеза през цялото това време, се е превърнала в доказана теорема. Андрю Уайлс доказа голямата (Великата) теорема на Ферма и влезе в историята.

Мисли, че си доказал теорема...

Щастието на откривателя винаги отива само при някого – той е този, който с последния удар на чука разбива твърдия орех на знанието. Но не може да се пренебрегнат множеството предишни удари, които са образували пукнатина във Великата теорема в продължение на векове: Ойлер и Гаус (кралете на математиката на своето време), Еварист Галуа (който успя да установи теорията на групите и полетата в своите кратки 21 -годишен живот, чиито произведения бяха признати за блестящи едва след смъртта му), Анри Поанкаре (основател не само на странни модулни форми, но и конвенционализъм - философска тенденция), Дейвид Гилбърт (един от най-силните математици на ХХ век) , Ютаку Танияма, Горо Шимура, Мордел, Фалтингс, Ернст Кумер, Бари Мазур, Герхард Фрей, Кен Рибет, Ричард Тейлър и др. истински учени(Не се страхувам от тези думи).

Доказателството на последната теорема на Ферма може да се постави наравно с такива постижения на ХХ век като изобретяването на компютъра, ядрената бомба и космическия полет. Макар и не толкова широко известно за нея, защото не нахлува в зоната на нашите моментни интереси, като телевизор или електрическа крушка, това беше проблясък на свръхнова, която, както всички неизменни истини, винаги ще свети човечеството.

Можете да кажете: „Само помислете, доказахте някаква теорема, кому е нужно?". Справедлив въпрос. Отговорът на Дейвид Гилбърт ще пасне точно тук. Кога на въпроса: "коя е най-важната задача за науката сега?", той отговори: "да хванеш муха от другата страна на луната", го попитаха разумно: „но кому е нужно?“, той отговори така: „Никой не се нуждае от това. Но помислете колко важни и трудни задачи трябва да бъдат решени, за да се постигне това. „Помислете колко проблеми е успяло да реши човечеството за 360 години, преди да докаже теоремата на Ферма. В търсене на нейното доказателство, почти половината от съвременната математика Трябва също да вземем предвид, че математиката е авангардът на науката (и, между другото, единствената от науките, която е изградена без нито една грешка) и всякакви научни постижения и изобретения започват оттук. .

* * *

А сега да се върнем в началото на нашия разказ, да си спомним записа на Пиер Ферма в полетата на учебника на Диофант и още веднъж да се запитаме: наистина ли Ферма доказа своята теорема? Разбира се, не можем да знаем това със сигурност и както във всеки случай, тук възникват различни версии:

Версия 1:Ферма доказа своята теорема. (На въпроса: „Ферма имаше ли точно същото доказателство на своята теорема?“, Андрю Уайлс отбеляза: „Ферма не би могъл да има такадоказателство. Това е доказателството за 20-ти век. „Разбираме, че през 17-ти век математиката, разбира се, не е била същата като в края на 20-ти век – в тази епоха г., Артанян, кралицата на науките, не е все пак притежава тези открития (модулни форми, теореми на Танияма, Фрея и т.н.), които само направиха възможно да се докаже последната теорема на Ферма. Разбира се, може да се предположи: какво, по дяволите, не се шегува - ами ако Ферма познае по различен начин • Тази версия, макар и вероятна, е практически невъзможна според повечето математици);
Версия 2:На Пиер дьо Ферма изглеждаше, че е доказал своята теорема, но в доказателството му имаше грешки. (Т.е. самият Ферма е бил и първият Ферматист);
Версия 3:Ферма не доказа своята теорема, а просто излъга в полето.

Ако една от последните две версии е вярна, което е най-вероятно, тогава може да се направи просто заключение: страхотни хора, въпреки че са страхотни, те също могат да грешат или понякога нямат нищо против да излъжат(по принцип това заключение ще бъде полезно за тези, които са склонни напълно да се доверят на своите идоли и други владетели на мисли). Следователно, когато четете произведенията на авторитетни синове на човечеството или слушате техните патетични речи, имате пълното право да се съмнявате в техните твърдения. (Моля, имайте предвид, че да се съмняваш не означава да отхвърляш).

Препечатването на материали от статията е възможно само със задължителни връзки към сайта (в интернет - хипервръзка) и на автора

През 17-ти век във Франция живее адвокат и математик Пиер Ферма на непълно работно време, който отделя на хобито си дълги часове свободно време. Една зимна вечер, седнал до камината, той изложи едно най-любопитно твърдение от областта на теорията на числата – това беше по-късно наречено Голямата или Голямата теорема на Ферма. Може би вълнението нямаше да е толкова голямо в математическите среди, ако едно събитие не се беше случило. Математикът често прекарвал вечери в изучаване на любимата книга на Диофант Александрийски „Аритметика“ (3 век), докато записвал важни мисли в полетата й – тази рядкост била грижливо запазена за потомство от неговия син. И така, в широките полета на тази книга, ръката на Ферма беше оставила този надпис: „Имам доста поразително доказателство, но е твърде голямо, за да бъде поставено в полетата“. Именно този запис предизвика огромното вълнение около теоремата. Сред математиците нямаше съмнение, че великият учен е заявил, че е доказал собствената си теорема. Сигурно се чудите: „Той наистина ли го доказа, или беше банална лъжа, или може би има други версии, защо този запис, който не позволи на математиците от следващите поколения да спят спокойно, се озова в периферията на Книга?".

Същността на Великата теорема

Доста добре познатата теорема на Ферма е проста по своята същност и се състои във факта, че при условие, че n е по-голямо от две, положително число, уравнението X n + Y n = Z n няма да има решения от нулев тип в рамките на рамката на естествените числа. Невероятната сложност беше прикрита в тази на пръв поглед проста формула и отне три века, за да се докаже. Има една странност - теоремата закъсня с раждането си, тъй като нейният специален случай за n = 2 се появи преди 2200 години - това е не по-малко известната питагорова теорема.

Трябва да се отбележи, че историята за добре познатата теорема на Ферма е много поучителна и занимателна и не само за математиците. Най-интересното е, че науката не е била работа за учения, а обикновено хоби, което от своя страна доставя голямо удоволствие на фермера. Той също така непрекъснато поддържаше връзка с математик и на непълно работно време, също приятел, споделяше идеи, но колкото и да е странно, той не се стреми да публикува своя собствена работа.

Известия на математика Фермер

Що се отнася до самите произведения на Фермер, те са открити именно под формата на обикновени букви. На места липсваха цели страници, а са запазени само фрагменти от кореспонденция. По-интересен е фактът, че в продължение на три века учените са търсили теоремата, която е открита в писанията на Фермер.

Но който не смееше да го докаже, опитите бяха сведени до „нула”. Известният математик Декарт дори обвини учения в самохвалство, но всичко се свеждаше до най-обикновена завист. Освен че създава, Фармър доказва и собствената си теорема. Вярно е, че решението беше намерено за случая, когато n=4. Що се отнася до случая за n=3, математикът Ойлер го идентифицира.

Как се опитаха да докажат теоремата на Фермер

В самото начало на 19 век тази теорема продължава да съществува. Математиците са намерили много доказателства на теореми, които са били ограничени до естествени числа в рамките на двеста.

И през 1909 г. на линия е поставена доста голяма сума, равна на сто хиляди марки от немски произход - и всичко това само за решаване на проблема, свързан с тази теорема. Фондът на самата наградна категория беше оставен от богат любител на математиката Пол Волфскел, родом от Германия, между другото, именно той искаше да "положи ръце върху себе си", но благодарение на такова участие в теоремата на Фермер, той искаше да на живо. Възникналото вълнение породи тонове „доказателства“, които заляха германските университети и в кръга на математиците се ражда прозвището „фермист“, което беше използвано полупрезрително, за да нарече всеки амбициозен изкачвач, който не успя да предостави ясни доказателства.

Хипотеза на японския математик Ютака Танияма

До средата на 20-ти век в историята на Великата теорема не е имало промени, но се случи едно интересно събитие. През 1955 г. японският математик Ютака Танияма, който е на 28 години, разкрива на света твърдение от съвсем различна математическа област – неговата хипотеза, за разлика от Ферма, изпреварва времето си. Там се казва: "За всяка елипсовидна крива има съответна модулна форма." Изглежда, че е абсурд за всеки математик, като че дървото се състои от определен метал! Парадоксалната хипотеза, както повечето други зашеметяващи и гениални открития, не беше приета, защото те просто още не бяха дорасли до нея. И Ютака Танияма се самоуби три години по-късно - необясним акт, но вероятно честта за истинския гений на самурай е над всичко.

Цяло десетилетие хипотезата не беше запомнена, но през седемдесетте години тя се издигна до върха на популярността - беше потвърдена от всеки, който можеше да я разбере, но, подобно на теоремата на Ферма, тя остана недоказана.

Как са свързани хипотезата на Танияма и теоремата на Ферма

Петнадесет години по-късно се случи ключово събитие в математиката и то съчетава известната японска хипотеза и теоремата на Ферма. Герхард Грей заяви, че когато предположението на Танияма бъде доказано, тогава ще бъдат намерени доказателствата на теоремата на Ферма. Тоест, последното е следствие от хипотезата на Танияма, а година и половина по-късно теоремата на Ферма е доказана от професор от Калифорнийския университет Кенет Рибет.

Времето минаваше, регресията беше заменена от прогрес и науката бързо се движеше напред, особено в областта на компютърните технологии. Така стойността на n започна да нараства все повече и повече.

В самия край на 20-ти век най-мощните компютри бяха във военните лаборатории, извършено е програмиране, за да се извлече решение на добре познатия проблем на Ферма. Като следствие от всички опити се разкри, че тази теорема е вярна за много стойности на n, x, y. Но, за съжаление, това не се превърна в окончателно доказателство, тъй като нямаше конкретика като такава.

Джон Уайлс доказа голямата теорема на Ферма

И накрая, едва в края на 1994 г. математикът от Англия Джон Уайлс намери и демонстрира точно доказателство на противоречивата теорема на Фермер. След това, след много подобрения, дискусиите по тази тема стигнаха до логичното си заключение.

Опровержението е публикувано на повече от сто страници на едно списание! Освен това теоремата е доказана на по-модерен апарат на висшата математика. И изненадващо, по времето, когато Фермерът написа своето произведение, такъв апарат не е съществувал в природата. С една дума, човекът беше признат за гений в тази област, с което никой не можеше да спори. Въпреки всичко, което се случи, днес можете да сте сигурни, че представената теорема на великия учен Фермер е оправдана и доказана и никой математик със здрав разум няма да започне спорове по тази тема, с която са съгласни дори най-заклетите скептици на цялото човечество.

Пълното име на лицето, на което е кръстена представената теорема, е Пиер дьо Фермер. Той направи принос в голямо разнообразие от области на математиката. Но, за съжаление, повечето от неговите произведения са публикувани едва след смъртта му.

НОВИНИ НА НАУКАТА И ТЕХНОЛОГИЯТА

УДК 51:37;517.958

A.V. Коновко, д.м.н.

Академия на Държавната противопожарна служба на МВР на Русия ГОЛЯМАТА ТЕОРМА СЕ ДОКАЗА. ИЛИ НЕ?

В продължение на няколко века не е било възможно да се докаже, че уравнението xn+yn=zn за n>2 е нерешимо в рационални, а следователно и цели числа. Този проблем е роден под авторството на френския адвокат Пиер Ферма, който в същото време се занимава професионално с математика. Нейното решение се приписва на американския учител по математика Андрю Уайлс. Това признание продължи от 1993 до 1995 г.

ТЕОРЕМАТА НА ГОЛЯМАТА ФЕРМА Е ДОКАЗАНА. ИЛИ НЕ?

Разгледана е драматичната история на последното доказване на теорема на Ферма. Отне почти четиристотин години. Пиер Ферма пише малко. Той пише в компресиран стил. Освен това не публикува изследванията си. Твърдението, че уравнението xn+yn=zn е нерешимо на множества на рационални числа и цели числа, ако n>2 е придружен от коментара на Ферма, че той е намерил наистина забележително доказателство за това твърдение. Това доказване не достигна до потомците. По-късно това твърдение е наречено последната теорема на Ферма. Най-добрите математици в света пречупиха тази теорема без резултат. През седемдесетте години френският математик член на Парижката академия на науките Андре Вейл заложи нови подходи към решението. На 23 юни 1993 г. , на конференция по теория на числата в Кеймбридж, математикът от Принстънския университет Андрю Уайлс обяви, че е получено последното доказателство на теоремата на Ферма. Все пак беше рано за триумф.

През 1621 г. френският писател и математик Клод Гаспар Баш дьо Мезириак публикува гръцкия трактат „Аритметика“ от Диофант с латински превод и коментари. Луксозната, с необичайно широки полета, "Аритметика" попадна в ръцете на двадесетгодишния Ферма и за много години се превърна в негов справочник. В полетата му той остави 48 бележки, съдържащи открити от него факти за свойствата на числата. Тук, в периферията на Аритметиката, е формулирана голямата теорема на Ферма: „Невъзможно е да се разложи куб на два куба, или биквадрат на две биквадрати, или изобщо степен, по-голяма от две, на две степени с една и съща степен; Намерих това за наистина прекрасно доказателство, което поради липса на място не може да се побере в тези полета. Между другото, на латински изглежда така: „Cubum autem in duos cubos, autato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Големият френски математик Пиер Ферма (1601-1665) разработва метод за определяне на площи и обеми, създава нов метод на допирателните и екстремумите. Заедно с Декарт той става създател аналитична геометрия, заедно с Паскал стои в основата на теорията на вероятностите, в областта на безкрайно малкия метод той дава общо правило за диференциация и доказва най-общо правилото за интегриране функция за захранване... Но най-важното е, че една от най-мистериозните и драматични истории, които някога са разтърсвали математиката, е свързана с това име – историята на доказателството на последната теорема на Ферма. Сега тази теорема е изразена под формата на просто твърдение: уравнението xn + yn = zn за n>2 е нерешимо в рационално, а следователно и в цели числа. Между другото, за случая n = 3, централноазиатският математик Ал-Ходжанди се опита да докаже тази теорема през 10 век, но неговото доказателство не е запазено.

Родом от Южна Франция, Пиер Ферма получава диплома по право и от 1631 г. е съветник на парламента на град Тулуза (т.е. най-висшата инстанция). След работен ден в стените на парламента той се зае с математиката и веднага се потопи в съвсем различен свят. Пари, престиж, обществено признание - всичко това нямаше значение за него. Науката никога не се превърна в доход за него, не се превърна в занаят, винаги оставаше само вълнуваща игра на ума, разбираема само за малцина. С тях той продължи кореспонденцията си.

Фермата никога не е писала научни трудовев обичайния ни смисъл. И в кореспонденцията му с приятели винаги има някакво предизвикателство, дори някаква провокация, а в никакъв случай академично представяне на проблема и неговото решение. Затова много от писмата му по-късно стават известни като: предизвикателство.

Може би затова така и не осъзнава намерението си да напише специално есе по теория на числата. А междувременно това беше любимата му област на математиката. Именно на нея Ферма посвещава най-вдъхновените редове от своите писма. "Аритметиката," пише той, "има своя собствена област, теорията на целите числа. Тази теория е била само малко засегната от Евклид и не е била достатъчно развита от неговите последователи (освен ако не се съдържа в онези произведения на Диофант, които имаме е лишен от опустошенията на времето). Следователно аритметиката трябва да я развива и обновява."

Защо самият Ферма не се страхуваше от опустошенията на времето? Пишеше малко и винаги много сбито. Но най-важното е, че той не публикува работата си. Приживе те се разпространяват само в ръкописна форма. Следователно не е изненадващо, че резултатите на Ферма по теорията на числата са достигнали до нас в разпръснат вид. Но Булгаков вероятно беше прав: големите ръкописи не горят! Работата на Ферма остана. Те останаха в писмата му до приятелите му: учителят по математика в Лион Жак дьо Били, служителят на монетния двор Бернар Френекел дьо Беси, Марсенис, Декарт, Блез Паскал... „Аритметика“ на Диофант остана с неговите забележки в полетата, които след смъртта на Ферма , въведен заедно с коментари от Баше в ново издание на Диофант, издадено от най-големия син Самуил през 1670 г. Само самото доказателство не е запазено.

Две години преди смъртта си Ферма изпраща на приятеля си Каркави заветно писмо, което влиза в историята на математиката под заглавие „Обобщение на новите резултати в науката за числата“. В това писмо Ферма доказа известното си твърдение за случая n = 4. Но тогава той най-вероятно се интересуваше не от самото твърдение, а от метода на доказателство, открит от него, наречен от самия Ферма безкраен или неопределен произход.

Ръкописите не горят. Но ако не беше посвещението на Самуил, който събра всичките си математически скици и малки трактати след смъртта на баща си и след това ги публикува през 1679 г. под заглавието „Разни математически произведения“, учените математици щяха да трябва да открият и преоткрий много. Но дори и след публикуването им проблемите, поставени от великия математик, лежаха бездействащи повече от седемдесет години. И това не е изненадващо. Във вида, в който се появиха в печата, резултатите от теорията на числата на П. Ферма се появиха пред специалистите под формата на сериозни проблеми, далеч не винаги ясни за съвременниците, без почти никакви доказателства и индикации за вътрешни логически връзки между тях. Може би при липсата на последователна, добре обмислена теория се крие отговорът на въпроса защо самият Ферма не е възнамерявал да публикува книга по теория на числата. Седемдесет години по-късно Л. Ойлер се интересува от тези произведения и това наистина е второто им раждане...

Математиката е платила скъпо за особения начин на Ферма да представя резултатите си, сякаш умишлено пропуска техните доказателства. Но ако Ферма твърди, че е доказал тази или онази теорема, то по-късно тази теорема е задължително доказана. Имаше обаче проблем с голямата теорема.

Мистерията винаги вълнува въображението. Цели континенти бяха завладени от мистериозната усмивка на Мона Лиза; теорията на относителността, като ключът към мистерията на връзките пространство-време, стана най-популярната физическа теориявек. И спокойно можем да кажем, че не е имало друг такъв математически проблем, който да е толкова популярен, колкото бяха те __93

Научни и образователни проблемигражданска защита

което е теоремата на Ферма. Опитите да се докаже доведоха до създаването на обширен клон на математиката – теорията на алгебричните числа, но (уви!) самата теорема остана недоказана. През 1908 г. немският математик Волфскел завещава 100 000 марки на всеки, който може да докаже теоремата на Ферма. Това беше огромна сума за онези времена! В един момент беше възможно да станеш не само известен, но и приказно богат! Следователно не е изненадващо, че учениците дори на Русия, далеч от Германия, съревноваващи се помежду си, се втурнаха да докажат великата теорема. Какво да кажем за професионалните математици! Но напразно! След Първата световна война парите се обезценяват и потокът от писма с псевдодоказателства започва да пресъхва, въпреки че, разбира се, никога не спира напълно. Твърди се, че известният немски математик Едмунд Ландау е подготвил печатни формуляри за разпространение на авторите на доказателствата на теоремата на Ферма: „Има грешка на страницата..., в реда... има грешка”. (Беше поверено на доцента да открие грешката.) Имаше толкова много любопитни неща и анекдоти, свързани с доказателството на тази теорема, че можеше да се направи книга от тях. Последният анекдот прилича на "Случайност" на детектив А. Маринина, заснет и пуснат по телевизионните екрани на страната през януари 2000 г. В него нашият сънародник доказва недоказана от всичките си велики предшественици теорема и твърди за това Нобелова награда. Както знаете, изобретателят на динамит пренебрегва математиците в завещанието си, така че авторът на доказателството може да претендира само за златен медал на Фийлдс, най-високата международна награда, одобрена от самите математици през 1936 г.

В класическата работа на изключителния руски математик А.Я. Хинчин, посветен на голямата теорема на Ферма, се дава информация за историята на този проблем и се обръща внимание на метода, който Ферма би могъл да използва при доказване на своята теорема. Дадено е доказателство за случая n = 4 и кратък прегледдруги важни резултати.

Но по времето, когато детективската история беше написана и още повече, когато беше заснета, общото доказателство на теоремата вече беше намерено. На 23 юни 1993 г., на конференция по теория на числата в Кеймбридж, математикът от Принстън Андрю Уайлс обяви, че е получено доказателството на последната теорема на Ферма. Но съвсем не както е "обещано" от самия Ферма. Пътят, поет от Андрю Уайлс, в никакъв случай не се основаваше на методите на елементарната математика. Той се занимаваше с така наречената теория на елиптичните криви.

За да получите представа за елиптичните криви, е необходимо да разгледате равна крива, дадена от уравнение от трета степен

Y(x, y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)

Всички такива криви са разделени на два класа. Първият клас включва тези криви, които имат точки на върховете (като полукубичната парабола y2 = a2-X с точка на точка (0; 0)), точки на самопресичане (като декартовия лист x3 + y3-3axy = 0, при точката (0; 0)), както и кривите, за които полиномът Ax, y) е представен във формата

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

където ^(x, y) и ^(x, y) са полиноми от по-малки степени. Кривите от този клас се наричат ​​изродени криви от трета степен. Вторият клас криви се формира от неизродени криви; ще ги наречем елипсовидни. Те включват например Curl Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0). Ако коефициентите на полинома (1) са рационални числа, тогава елиптичната крива може да се трансформира в така наречената канонична форма

y2 = x3 + ax + b. (2)

През 1955 г. японският математик Ю. Танияма (1927-1958) в рамките на теорията на елиптичните криви успява да формулира предположение, което проправя пътя за доказателството на теоремата на Ферма. Но тогава нито Танияма, нито колегите му подозираха това. В продължение на почти двадесет години тази хипотеза не привлича сериозно внимание и става популярна едва в средата на 70-те години. Според предположението на Танияма всяка елиптична

крива с рационални коефициенти е модулна. Засега обаче формулировката на хипотезата казва малко на внимателния читател. Следователно са необходими някои определения.

Всяка елипсовидна крива може да бъде свързана с важна числова характеристикае негов дискриминант. За крива, дадена в канонична форма (2), дискриминантът A се определя по формулата

A \u003d - (4a + 27b2).

Нека E е някаква елиптична крива, дадено от уравнението(2), където a и b са цели числа.

За просто число p разгледайте сравнението

y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)

където a и b са остатъците след разделяне на целите числа a и b на p и означаваме с np броя на решенията на тази конгруентност. Числата pr са много полезни при изучаването на въпроса за разрешимостта на уравнения от вида (2) в цели числа: ако някое pr е равно на нула, тогава уравнение (2) няма целочислени решения. Въпреки това е възможно да се изчислят числата pr само в най-редките случаи. (В същото време е известно, че p-n|< 2Vp (теоремаХассе)).

Да разгледаме онези прости числа p, които разделят дискриминанта A на елиптичната крива (2). Може да се докаже, че за такова p полиномът x3 + ax + b може да се запише по един от двата начина:

x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),

където a, ß, y са някои остатъци след деление на p. Ако за всички прости p, разделящи дискриминанта на кривата, се реализира първата от двете посочени възможности, тогава елиптичната крива се казва, че е полустабилна.

Простите числа, разделящи дискриминанта, могат да бъдат комбинирани в така наречения проводник на елиптична крива. Ако E е полустабилна крива, тогава нейният проводник N се дава по формулата

къде за всички прости числа p > 5, разделящо A, степента eP е равна на 1. Показателите 82 и 83 се изчисляват по специален алгоритъм.

По същество това е всичко, което е необходимо, за да се разбере същността на доказателството. Предположението на Танияма обаче съдържа трудната и в нашия случай ключова концепция за модулност. Затова нека забравим за елиптичните криви за известно време и да разгледаме аналитична функция f (тоест функцията, която може да бъде представена чрез степенен ред) на сложен аргумент z, даден в горната полуравнина.

Означете с H горната комплексна полуравнина. Нека N е естествено число и k цяло число. Модулна параболична форма на тежест k от ниво N е аналитична функция f(z), дефинирана в горната полуравнина и удовлетворяваща съотношението

f = (cz + d)kf (z) (5)

за всякакви цели числа a, b, c, d такива, че ae - bc = 1 и c се дели на N. Освен това се приема, че

lim f (r + it) = 0,

където r е рационално число и това

Пространството на модулните форми на куспиди с тегло k от ниво N се означава със Sk(N). Може да се покаже, че има крайно измерение.

По-нататък ще бъдем особено заинтересовани от модулни форми на куспиди с тегло 2. За малко N размерът на пространството S2(N) е представен в Таблица 1. 1. По-специално,

Размери на пространството S2(N)

маса 1

н<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

От условие (5) следва, че % + 1) = за всяка форма f ∈ S2(N). Следователно f е периодична функция. Такава функция може да бъде представена като

Наричаме модулна форма A^) в S2(N) правилно, ако нейните коефициенти са цели числа, удовлетворяващи отношенията:

a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 за просто p, което не дели числото N; (осем)

(ap) за просто p, разделящо N;

atp = at an if (m, n) = 1.

Сега формулираме дефиниция, която играе ключова роля в доказателството на теоремата на Ферма. Елиптична крива с рационални коефициенти и проводник N се нарича модулна, ако има такава собствена форма

f(z) = ^anq" g S2(N),

че ap = p - pr за почти всички прости числа p. Тук np е броят на решенията за сравнение (3).

Трудно е да се повярва в съществуването на поне една такава крива. Доста трудно е да си представим, че има функция A(r), която удовлетворява изброените строги ограничения (5) и (8), която би се разширила в серия (7), чиито коефициенти биха били свързани с практически неизчислими числа Pr, е доста трудно. Но смелата хипотеза на Танияма в никакъв случай не поставя под въпрос факта на тяхното съществуване и емпиричният материал, натрупан от времето, блестящо потвърждава неговата валидност. След две десетилетия на почти пълна забрава, хипотезата на Танияма получава второ вятър в трудовете на френския математик, член на Парижката академия на науките, Андре Вейл.

Роден през 1906 г., А. Вейл в крайна сметка става един от основателите на група математици, действащи под псевдонима Н. Бурбаки. От 1958 г. А. Уейл е професор в Принстънския институт за напреднали изследвания. И появата на интереса му към абстрактната алгебрична геометрия принадлежи към същия период. През седемдесетте години той се обърна към елиптичните функции и предположенията на Танияма. Монографията, посветена на елиптичните функции, е преведена тук, в Русия. Той не е сам в своята страст. През 1985 г. немският математик Герхард Фрай предположи, че ако теоремата на Ферма е невярна, тоест ако има тройка цели числа a, b, c такива, че a " + bn = c" (n > 3), тогава елиптичната крива

y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)

не може да бъде модулен, което противоречи на предположението на Танияма. Самият Фрей не успява да докаже това твърдение, но доказателството скоро е получено от американския математик Кенет Рибет. С други думи, Рибет показа, че теоремата на Ферма е следствие от предположението на Танияма.

Той формулира и доказва следната теорема:

Теорема 1 (Рибет). Нека E е елиптична крива с рационални коефициенти с дискриминант

и диригент

Да предположим, че E е модулен и нека

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

е съответното ниво на собствена форма N. Фиксираме просто число £, и

p: eP \u003d 1; - "8 стр

Тогава има параболична форма

/(r) = 2 dnqn e N)

с цели коефициенти, че разликите и - dn се делят на I за всички 1< п<ад.

Ясно е, че ако тази теорема е доказана за някакъв показател, тогава тя се доказва за всички експоненти, които са кратни на n. Тъй като всяко цяло число n > 2 се дели или на 4, или на нечетно просто число, следователно можем да се ограничим до случай, когато степента е или 4, или нечетно просто число. За n = 4 елементарно доказателство на теоремата на Ферма е получено първо от самия Ферма, а след това и от Ойлер. Следователно е достатъчно да се проучи уравнението

a1 + b1 = c1, (12)

в която степента I е нечетно просто число.

Сега теоремата на Ферма може да бъде получена чрез прости изчисления (2).

Теорема 2. Предположението на Танияма за полустабилни елиптични криви предполага последната теорема на Ферма.

Доказателство. Да приемем, че теоремата на Ферма е невярна и нека има съответен контрапример (както по-горе, тук аз съм нечетно просто число). Нека приложим теорема 1 към елиптичната крива

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Простите изчисления показват, че проводникът на тази крива се дава от формулата

Сравнявайки формули (11) и (13), виждаме, че N = 2. Следователно, съгласно теорема 1, има параболична форма

лежащи в пространството 82(2). Но поради съотношение (6), това пространство е нула. Следователно dn = 0 за всички n. В същото време a^ = 1. Следователно разликата ar - dl = 1 не се дели на I и стигаме до противоречие. Така теоремата е доказана.

Тази теорема предостави ключа към доказателството на последната теорема на Ферма. И въпреки това самата хипотеза остава недоказана.

След като обяви на 23 юни 1993 г. доказателството на предположението на Танияма за полустабилни елиптични криви, които включват криви от вида (8), Андрю Уайлс побърза. За математиците беше твърде рано да празнуват победата.

Топлото лято бързо свърши, дъждовната есен остана зад гърба си, дойде зимата. Уайлс пише и пренаписва окончателната версия на своето доказателство, но педантични колеги откриват все повече и повече неточности в работата му. И така, в началото на декември 1993 г., няколко дни преди ръкописът на Уайлс да излезе в печат, отново бяха открити сериозни пропуски в неговото доказателство. И тогава Уайлс осъзна, че след ден-два вече не може да поправи нищо. Това изискваше основен ремонт. Публикуването на произведението трябваше да бъде отложено. Уайлс се обърна към Тейлър за помощ. „Работата по бъговете“ отне повече от година. Окончателната версия на доказателството на предположението Танияма, написана от Уайлс в сътрудничество с Тейлър, се появява едва през лятото на 1995 г.

За разлика от героя А. Маринина, Уайлс не претендира за Нобелова награда, но въпреки това ... той трябваше да бъде отбелязан с някаква награда. Това само какво? По това време Уайлс вече беше на петдесетте си години, а златните медали на Фийлдс се присъждат строго до четиридесетгодишна възраст, докато пикът на творческата активност все още не е преминат. И тогава те решиха да учредят специална награда за Уайлс - Сребърната значка на комитета на полетата. Тази значка му беше връчена на следващия конгрес по математика в Берлин.

От всички проблеми, които е повече или по-малко вероятно да заемат мястото на последната теорема на Ферма, проблемът с най-близкото опаковане на топки има най-голям шанс. Проблемът за най-тясното опаковане на топки може да се формулира като проблем как най-икономично да се подреди пирамида от портокали. Младите математици наследиха този проблем от Йоханес Кеплер. Проблемът се ражда през 1611 г., когато Кеплер написва кратко есе "За шестоъгълните снежинки". Интересът на Кеплер към подреждането и самоорганизацията на частиците на материята го накара да обсъди друг въпрос – най-плътното опаковане на частици, при което те заемат най-малък обем. Ако приемем, че частиците са под формата на сфери, тогава е ясно, че независимо как са разположени в пространството, между тях неизбежно ще останат празнини и въпросът е да се сведе до минимум обемът на празнините. В работата, например, се посочва (но не е доказано), че такава форма е тетраедър, координатните оси вътре в който определят основния ъгъл на ортогоналност от 109o28", а не 90o. Този проблем е от голямо значение за елементарната частица физика, кристалография и други раздели на естествените науки.

литература

1. Вайл А. Елиптични функции според Айзенщайн и Кронекер. - М., 1978 г.

2. Соловьов Ю.П. Предположението на Танияма и последната теорема на Ферма // Soros Educational Journal. - No 2. - 1998. - С. 78-95.

3. Последната теорема на Сингх С. Ферма. Историята на една мистерия, която е занимавала най-добрите умове на света от 358 години / Пер. от английски. Ю.А. Данилова. Москва: МЦНМО. 2000. - 260 с.

4. Мирмович Е.Г., Усачева Т.В. Алгебра на кватерниони и триизмерни ротации // Настоящо списание № 1(1), 2008. - С. 75-80.

Не са толкова много хора в света, които никога не са чували за последната теорема на Ферма - може би това е единственият математически проблем, който е получил толкова широка популярност и се е превърнал в истинска легенда. Споменава се в много книги и филми, докато основният контекст на почти всички споменавания е невъзможността да се докаже теоремата.

Да, тази теорема е много известна и в известен смисъл се е превърнала в „идол“, почитан от любители и професионални математици, но малко хора знаят, че доказателството й е намерено и това се случи още през 1995 г. Но първо нещата.

И така, последната теорема на Ферма (често наричана последната теорема на Ферма), формулирана през 1637 г. от брилянтния френски математик Пиер Ферма, е много проста по природа и разбираема за всеки човек със средно образование. Той казва, че формулата a на степен на n + b на степен на n \u003d c към степен на n няма естествени (тоест недробни) решения за n > 2. Всичко изглежда е просто и ясно , но най-добрите математици и прости аматьори се бориха за търсене на решение повече от три века и половина.

Защо е толкова известна? Сега нека разберем...

Има ли малко доказани, недоказани и все пак недоказани теореми? Работата е там, че последната теорема на Ферма е най-големият контраст между простотата на формулировката и сложността на доказателството. Последната теорема на Ферма е невероятно трудна задача и въпреки това нейната формулировка може да бъде разбрана от всеки с 5-ти клас гимназия, но доказателството не е дори професионален математик. Нито във физиката, нито в химията, нито в биологията, нито в същата математика няма нито един проблем, който би бил формулиран толкова просто, но останал нерешен толкова дълго. 2. От какво се състои?

Да започнем с Pythagorean панталони. Формулировката е наистина проста – на пръв поглед. Както знаем от детството, "питагорейските панталони са равни от всички страни". Проблемът изглежда толкова прост, защото се основава на математическо твърдение, което всички знаят - Питагоровата теорема: във всяко правоъгълен триъгълникквадрат, построен върху хипотенузата, е равно на суматаквадрати, изградени върху крака.

През 5 век пр.н.е. Питагор основава Питагорейското братство. Питагорейците, наред с други неща, изучават цели тройки, отговарящи на уравнението x²+y²=z². Те доказаха, че има безкрайно много питагорейски тройки и получиха общи формулида ги намеря. Сигурно са се опитали да търсят тройки или повече. високи градуси. Убедени, че това не работи, питагорейците изоставят напразните си опити. Членовете на братството са били повече философи и естети, отколкото математици.

Това означава, че е лесно да се вземе набор от числа, които напълно отговарят на равенството x² + y² = z²

Започвайки от 3, 4, 5 - наистина ученикът в началното училище разбира, че 9 + 16 = 25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Страхотно.

Е, оказва се, че не го правят. Тук започва трикът. Простотата е очевидна, защото е трудно да се докаже не наличието на нещо, а напротив, отсъствието. Когато е необходимо да се докаже, че има решение, може и трябва просто да се представи това решение.

По-трудно е да се докаже отсъствието: например някой казва: такова и такова уравнение няма решения. Да го сложиш в локва? лесно: бам - и ето го, решението! (дайте решение). И това е всичко, противникът е победен. Как да докажа отсъствие?

Да кажеш: "Не намерих такива решения"? Или може би не си търсил добре? И какво ще стане, ако те са само много големи, добре, такива, че дори супермощен компютър все още няма достатъчно сила? Това е, което е трудно.

Във визуална форма това може да бъде показано по следния начин: ако вземем два квадрата с подходящи размери и ги разглобим на единични квадрати, тогава от този куп единични квадрати се получава трети квадрат (фиг. 2):


И нека направим същото с третото измерение (фиг. 3) - не става. Няма достатъчно кубчета или остават допълнителни:

Но математикът от 17-ти век, французинът Пиер дьо Ферма, ентусиазирано изследва общо уравнение x n + y n \u003d z n. И накрая, той заключи: за n>2 цели числа не съществуват. Доказателството на Ферма е безвъзвратно загубено. Ръкописите горят! Остава само забележката му в Аритметиката на Диофант: „Намерих наистина невероятно доказателство за това твърдение, но полетата тук са твърде тесни, за да го съдържат“.

Всъщност теорема без доказателство се нарича хипотеза. Но Ферма има репутацията, че никога не греши. Дори и да не е оставил доказателство за някакво твърдение, то впоследствие се потвърди. Освен това Ферма доказа своята теза за n=4. Така хипотезата на френския математик остана в историята като последната теорема на Ферма.

След Ферма такива велики умове като Леонард Ойлер работят върху търсенето на доказателство (през 1770 г. той предлага решение за n = 3),

Адриен Лежандре и Йохан Дирихле (тези учени съвместно намериха доказателство за n = 5 през 1825 г.), Габриел Ламе (който намери доказателство за n = 7) и много други. Към средата на 80-те години на миналия век става ясно, че научният свят е на път към окончателното решение на последната теорема на Ферма, но едва през 1993 г. математиците виждат и вярват, че тривековната сага за намиране на доказателство за Последната теорема на Ферма беше почти приключила.

Лесно е да се покаже, че е достатъчно теоремата на Ферма да се докаже само за простото n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... За съставно n доказателството остава валидно. Но има безкрайно много прости числа...

През 1825 г., използвайки метода на Софи Жермен, жените математици Дирихле и Лежандър независимо доказват теоремата за n=5. През 1839 г. французинът Габриел Ламе показа истинността на теоремата за n=7, използвайки същия метод. Постепенно теоремата беше доказана за почти всички n по-малко от сто.

И накрая, немският математик Ернст Кумер в едно блестящо изследване показа, че методите на математиката от 19 век не могат да докажат теоремата в общ вид. Наградата на Френската академия на науките, създадена през 1847 г. за доказателство на теоремата на Ферма, остава неотредена.

През 1907 г. богатият немски индустриалец Пол Волфскел решава да посегне на живота си заради несподелена любов. Като истински германец той определи датата и часа на самоубийството: точно в полунощ. В последния ден той направи завещание и написа писма до приятели и роднини. Бизнесът приключи преди полунощ. Трябва да кажа, че Пол се интересуваше от математика. Нямайки какво да прави, той отиде в библиотеката и започна да чете известната статия на Кумер. Изведнъж му се стори, че Кумер е допуснал грешка в разсъжденията си. Волфскел, с молив в ръка, започна да анализира тази част от статията. Мина полунощ, дойде утрото. Празнината в доказателството беше запълнена. И самата причина за самоубийство сега изглеждаше напълно нелепа. Павел разкъса прощалните писма и пренаписа завещанието.

Скоро почина от естествена смърт. Наследниците бяха доста изненадани: 100 000 марки (повече от 1 000 000 текущи лири стерлинги) бяха преведени по сметката на Кралското научно дружество на Гьотинген, което през същата година обяви конкурс за наградата Wolfskel. 100 000 марки разчитаха на доказването на теоремата на Ферма. Не трябваше да се плати нито пфениг за опровержението на теоремата ...

Повечето професионални математици смятаха търсенето на доказателство на последната теорема на Ферма за загубена кауза и решително отказаха да губят време за такова безполезно упражнение. Но аматьорите се веселят до слава. Няколко седмици след съобщението, лавина от "доказателства" удари университета в Гьотинген. Професор Е. М. Ландау, чието задължение беше да анализира изпратените доказателства, раздаде карти на своите ученици:

Уважаеми(и). . . . . . . .

Благодаря ви за ръкописа, който изпратихте с доказателството на последната теорема на Ферма. Първата грешка е на страница ... на ред ... . Поради това цялото доказателство губи своята валидност.
Професор Е. М. Ландау

През 1963 г. Пол Коен, опирайки се на откритията на Гьодел, доказва нерешимостта на един от двадесет и трите проблема на Хилберт, хипотезата за континуума. Ами ако последната теорема на Ферма също е неразрешима?! Но истинските фанатици на Великата теорема изобщо не разочароваха. Появата на компютрите неочаквано даде на математиците нов метод за доказване. След Втората световна война групи програмисти и математици доказват последната теорема на Ферма за всички стойности от n до 500, след това до 1000 и по-късно до 10 000.

През 80-те години Самюел Уагстаф вдигна границата до 25 000, а през 90-те математиците твърдят, че последната теорема на Ферма е вярна за всички стойности на n до 4 милиона. Но ако дори трилион трилион се извади от безкрайността, той не става по-малък. Математиците не са убедени от статистиката. Доказването на Великата теорема означаваше доказването й за ВСИЧКИ n, отиващи до безкрайност.

През 1954 г. двама млади японски приятели математици се заемат да изучават модулните форми. Тези формуляри генерират серии от числа, всяко - своя собствена серия. Случайно Танияма сравнява тези серии с серии, генерирани от елиптични уравнения. Съвпадаха! Но модулните форми са геометрични обекти, докато елиптичните уравнения са алгебрични. Между толкова различни обекти никога не е открита връзка.

Въпреки това, след внимателно тестване, приятели изтъкнаха хипотеза: всяко елиптично уравнение има близнак - модулна форма и обратно. Именно тази хипотеза стана основата на цяла тенденция в математиката, но докато не се докаже хипотезата Танияма-Шимура, цялата сграда може да рухне всеки момент.

През 1984 г. Герхард Фрей показа, че решение на уравнението на Ферма, ако съществува, може да бъде включено в някакво елиптично уравнение. Две години по-късно професор Кен Рибет доказа, че това хипотетично уравнение не може да има аналог в модулния свят. Оттук нататък последната теорема на Ферма беше неразривно свързана с хипотезата Танияма-Шимура. След като докажем, че всяка елиптична крива е модулна, заключаваме, че няма елиптично уравнение с решение на уравнението на Ферма и последната теорема на Ферма ще бъде незабавно доказана. Но в продължение на тридесет години не беше възможно да се докаже хипотезата Танияма-Шимура и имаше все по-малко надежди за успех.

През 1963 г., когато е само на десет години, Андрю Уайлс вече е очарован от математиката. Когато научи за Великата теорема, той осъзна, че не може да се отклони от нея. Като ученик, студент, аспирант той се подготви за тази задача.

След като научи за откритията на Кен Рибет, Уайлс се хвърли в доказване на предположението Танияма-Шимура. Реши да работи в пълна изолация и секретност. „Разбрах, че всичко, което има нещо общо с последната теорема на Ферма, представлява твърде голям интерес... Твърде много зрители умишлено се намесват в постигането на целта.“ Седем години упорита работа се изплатиха, Уайлс най-накрая завърши доказателството на предположението Танияма-Шимура.

През 1993 г. английският математик Андрю Уайлс представи на света своето доказателство за последната теорема на Ферма (Уайлс прочете сензационния си доклад на конференция в Института Сър Исак Нютон в Кеймбридж), работата по която продължи повече от седем години.

Докато шумът продължаваше в пресата, започна сериозна работа за проверка на доказателствата. Всяко доказателство трябва да бъде внимателно проучено, преди доказателството да се счита за строго и точно. Уайлс прекара забързано лято в очакване на обратна връзка от рецензентите, надявайки се, че може да спечели тяхното одобрение. В края на август експертите установиха недостатъчно обоснована присъда.

Оказа се, че това решение съдържа груба грешка, въпреки че като цяло е вярно. Уайлс не се отказа, потърси помощта на известния специалист по теория на числата Ричард Тейлър и още през 1994 г. публикуваха коригирано и допълнено доказателство на теоремата. Най-удивителното е, че тази работа заема цели 130 (!) страници в математическото списание Annals of Mathematics. Но историята не свърши и дотук - последната точка беше направена едва през следващата 1995 г., когато беше публикувана окончателната и „идеална от математическа гледна точка версия на доказателството.

„...половин минута след началото на празничната вечеря по случай рождения й ден, дадох на Надя ръкописа на пълното доказателство“ (Андрю Уелс). Споменах ли, че математиците са странни хора?

Този път нямаше съмнение относно доказателството. Две статии бяха подложени на най-внимателен анализ и през май 1995 г. бяха публикувани в Annals of Mathematics.

От този момент е минало много време, но в обществото все още има мнение за неразрешимостта на последната теорема на Ферма. Но дори и тези, които знаят за намереното доказателство, продължават да работят в тази посока – малко хора са доволни, че Голямата теорема изисква решение от 130 страници!

Ето защо сега силите на толкова много математици (предимно аматьори, а не професионални учени) са хвърлени в търсене на просто и сбито доказателство, но този път най-вероятно няма да доведе до никъде ...

източник