Kut elementarne rotacije, kutna brzina
Slika 9. Elementarni kut rotacije ()
Elementarne (infinitezimalne) rotacije smatraju se vektorima. Vektorski modul jednak kutu rotacije, a njegov smjer se poklapa sa smjerom translatornog kretanja vrha vijka, čija glava rotira u smjeru kretanja šiljka po kružnici, tj. poštuje pravilo desnog vijka.
Vektor je usmjeren duž osi rotacije prema pravilu desnog vijka, tj. isto kao i vektor (vidi sliku 10).
Slika 10.
Slika 11
Vektorska veličina određena prvom derivacijom kuta rotacije tijela u odnosu na vrijeme.
Komunikacija između modula linearne i kutne brzine
Slika 12
Odnos vektora linearne i kutne brzine
Položaj točke koja se razmatra određen je radijus vektorom (povučenim iz ishodišta 0 koje leži na osi rotacije). Križni produkt podudara se u smjeru s vektorom i ima modul jednak
Jedinica za kutnu brzinu je .
Pseudovektori (aksijalni vektori) su vektori čiji su pravci povezani sa smjerom rotacije (npr. Ovi vektori nemaju specifične točke primjene: mogu se iscrtati iz bilo koje točke na osi rotacije.
Jednoliko gibanje materijalne točke po kružnici
Jednoliko gibanje po kružnici je gibanje pri kojem materijalna točka (tijelo) u jednakim vremenskim intervalima prolazi kružnim lukom jednake duljine.
Kutna brzina
: (-- kut rotacije).
Period rotacije T je vrijeme u kojem materijalna točka napravi jedan potpuni krug oko kružnice, odnosno zakrene se za neki kut.
Budući da odgovara vremenskom razdoblju, dakle.
Frekvencija rotacije je broj punih okretaja koje napravi materijalna točka tijekom svog jednolikog gibanja po kružnici, u jedinici vremena.
Slika 13
Karakteristična značajka jednolikog kružnog gibanja
Jednoliko kružno gibanje poseban je slučaj krivocrtnog gibanja. Kružno gibanje s konstantnom brzinom u apsolutnoj vrijednosti () je ubrzano. To je zbog činjenice da se uz konstantan modul smjer brzine cijelo vrijeme mijenja.
Ubrzanje materijalne točke koja se giba jednoliko po kružnici
Tangencijalna komponenta ubrzanja pri jednoliko kretanje točaka duž kruga jednaka je nuli.
Normalna komponenta ubrzanja (centripetalna akceleracija) usmjerena je radijalno prema središtu kružnice (vidi sliku 13). U bilo kojoj točki kružnice normalni vektor ubrzanja je okomit na vektor brzine. Ubrzanje materijalne točke koja se jednoliko kreće po kružnici u bilo kojoj točki je centripetalno.
Kutno ubrzanje. Odnos linearnih i kutnih veličina
Kutno ubrzanje je vektorska veličina određena prvom derivacijom kutne brzine u odnosu na vrijeme.
Smjer vektora kutnog ubrzanja
Prilikom rotacije tijela oko sebe fiksna os vektor kutne akceleracije usmjeren je duž osi rotacije prema vektoru elementarnog prirasta kutne brzine.
Kada je kretanje ubrzano, vektor je susmjeran vektoru, kada je sporo, suprotan mu je. Vektor je pseudovektor.
Jedinica za kutno ubrzanje je .
Odnos linearnih i kutnih veličina
(- polumjer kružnice; - linearna brzina; - tangencijalno ubrzanje; - normalno ubrzanje; - kutna brzina).
Smjer količina iskrivljenog kristalnog rešetke, uvjetne disklinacija: torzija - kut zakreta dijela kristala u odnosu na drugi; klinasta promjena kuta zakreta a kada se mijenja redoslijed osi simetrije. ... Vodič za tehničke prevoditelje
Frankov vektor- smjerni iznos izobličenja kristalne rešetke, zbog disklinacije: torzija, kut rotacije dijela kristala u odnosu na drugi; klinasta promjena kuta zakreta a kada se mijenja redoslijed osi simetrije. Pogledaj…… enciklopedijski rječnik u metalurgiji
Matrica rotacije- Provjerite podatke. Potrebno je provjeriti točnost činjenica i pouzdanost informacija iznesenih u ovom članku. Trebalo bi biti objašnjenje na stranici za razgovor... Wikipedia
Upravljani vektor potiska- Upravljanje vektorom potiska (TCV) mlaznog motora - odstupanje mlazne struje motora od smjera koji odgovara režimu krstarenja. Trenutno se upravljanje vektorom potiska uglavnom osigurava rotiranjem cijele mlaznice... ... Wikipedia
ŽIROSKOP- navigacijski uređaj, čiji je glavni element brzo rotirajući rotor, pričvršćen tako da se njegova os rotacije može okretati. Tri stupnja slobode (osi moguće rotacije) rotora žiroskopa osiguravaju dva okvira... ... Collierova enciklopedija
FARADAYEV EFEKT- jedan od učinaka magnetooptike. Sastoji se od rotacije ravnine polarizacije linearno polariziranih polarizatora. svjetlost koja se širi u ve duž stupa. mag. polja, u kojima se nalazi u rom. Otkrio ga je M. Faraday 1845. i bio je prvi dokaz... ... Fizička enciklopedija
Grafički cjevovod- Grafički cjevovod, hardverski i programski kompleks za vizualizaciju trodimenzionalne grafike. Sadržaj 1 Elementi trodimenzionalne scene 1.1 Hardver 1.2 Softverska sučelja ... Wikipedia
Magnetizam- Klasična elektrodinamika ... Wikipedia
GOST 22268-76: Geodezija. Pojmovi i definicije- Terminologija GOST 22268 76: Geodezija. Pojmovi i definicije izvorni dokument: 114. Okvirni NDP. Kroki D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Outline Field sketch F. Croquis Shematski crtež područja terena Definicije pojma iz raznih dokumenata ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije
Orijentacijski sustav solarnih panela- Stil ovog članka je neenciklopedijski ili krši norme ruskog jezika. Članak treba ispraviti prema stilskim pravilima Wikipedije... Wikipedije
KUTNA BRZINA- vektorska veličina koja karakterizira brzinu rotacije krutog tijela. Kada tijelo jednoliko rotira oko fiksne osi, njegove V.s. w=Dj/Dt, gdje je Dj prirast kuta rotacije j tijekom vremenskog perioda Dt, au općem slučaju w=dj/dt. Vektor U.... ... Fizička enciklopedija
S linearnim veličinama.
Kutno kretanje- vektorska veličina koja karakterizira promjenu kutne koordinate tijekom njenog kretanja.
Kutna brzina- vektor fizička količina, karakterizirajući brzinu rotacije tijela. Vektor kutne brzine jednak je veličini kuta rotacije tijela u jedinici vremena:
a je usmjerena duž osi vrtnje prema pravilu gimleta, odnosno u smjeru u koji bi se gimlet s desnim navojem zavrnuo da se vrti u istom smjeru.
Mjerna jedinica kutne brzine usvojena u SI i GHS sustavima je radijan po sekundi. (Napomena: radijani, kao i sve jedinice mjerenja kuta, fizički su bez dimenzija, tako da je fizička dimenzija kutne brzine jednostavno ). U tehnologiji se također koriste okretaji u sekundi, mnogo rjeđe - stupnjevi u sekundi, stupnjevi u sekundi. Možda se u tehnologiji najčešće koriste okretaji u minuti - to dolazi iz onih vremena kada se brzina vrtnje parnih strojeva male brzine određivala jednostavnim "ručnim" brojanjem broja okretaja po jedinici vremena.
Vektor (trenutne) brzine bilo koje točke (apsolutne) čvrsta, rotirajući kutnom brzinom određuje se formulom:
gdje je radijus vektor do zadane točke iz ishodišta koje se nalazi na osi rotacije tijela, a uglate zagrade označavaju vektorski produkt. Linearna brzina (koja se podudara s veličinom vektora brzine) točke na određenoj udaljenosti (radijusu) r od osi rotacije može se izračunati na sljedeći način: v = rω. Ako se umjesto radijana koriste druge jedinice kutova, tada će se u posljednje dvije formule pojaviti množitelj koji nije jednak jedinici.
U slučaju rotacije ravnine, odnosno kada svi vektori brzina točaka tijela leže (uvijek) u istoj ravnini („ravnini rotacije“), kutna brzina tijela uvijek je okomita na tu ravninu, au činjenica - ako je poznata ravnina rotacije - može se zamijeniti skalarom - projekcijom na os okomitu na ravninu rotacije. U ovom slučaju, kinematika rotacije je jako pojednostavljena, ali u općem slučaju kutna brzina može promijeniti smjer u trodimenzionalnom prostoru tijekom vremena, a takva pojednostavljena slika ne funkcionira.
Derivacija kutne brzine u odnosu na vrijeme je kutna akceleracija.
Kretanje s konstantnim vektorom kutne brzine naziva se jednoliko rotacijsko gibanje (u ovom slučaju kutno ubrzanje je nula).
Kutna brzina (smatrana kao slobodni vektor) ista je u svim inercijalnim referentnim sustavima, međutim, u različitim inercijalnim referentnim sustavima os ili središte rotacije istog određenog tijela u istom trenutku vremena mogu se razlikovati (tj. “točka primjene” kutne brzine).
U slučaju kretanja jedne jedine točke u trodimenzionalnom prostoru, možemo napisati izraz za kutnu brzinu te točke u odnosu na odabrano ishodište:
Gdje je radijus vektor točke (iz ishodišta), je brzina te točke. - vektorski produkt, - skalarni produkt vektora. Međutim, ova formula ne određuje jednoznačno kutnu brzinu (u slučaju jedne točke, možete odabrati druge vektore koji su prikladni po definiciji, inače - proizvoljno - odabirom smjera osi rotacije), a za opći slučaj (kada tijelo uključuje više od jedne materijalne točke) - ova formula nije točna za kutnu brzinu cijelog tijela (jer daje različite za svaku točku, a kada apsolutno kruto tijelo rotira, po definiciji, kutna brzina njegova rotacija je jedini vektor). Uz sve to, u dvodimenzionalnom slučaju (slučaj rotacije ravnine) ova je formula sasvim dovoljna, jednoznačna i točna, budući da je u konkretnom slučaju smjer osi rotacije jasno jednoznačno određen.
U slučaju jednolikog rotacijskog gibanja (tj. gibanja s konstantnim vektorom kutne brzine) Kartezijeve koordinate točke rotacijskog tijela čine harmonijske vibracije s kutnom (cikličkom) frekvencijom, jednak modulu vektor kutne brzine.
Pri mjerenju kutne brzine u okretajima u sekundi (r/s), veličina kutne brzine jednolikog rotacijskog gibanja podudara se s rotacijskom frekvencijom f, mjerenom u hercima (Hz)
(odnosno u takvim jedinicama).
U slučaju korištenja uobičajene fizičke jedinice kutne brzine - radijana u sekundi - modul kutne brzine povezan je s frekvencijom vrtnje na sljedeći način:
Konačno, kada se koriste stupnjevi u sekundi, odnos prema brzini rotacije bio bi:
Kutno ubrzanje- pseudovektorska fizička veličina koja karakterizira brzinu promjene kutne brzine krutog tijela.
Kada tijelo rotira oko fiksne osi, kutno ubrzanje po veličini je jednako:
Vektor kutne akceleracije α usmjeren je duž osi rotacije (pri ubrzanoj rotaciji u stranu, a pri sporoj rotaciji u suprotnom smjeru).
Prilikom rotacije okolo fiksna točka vektor kutnog ubrzanja je definiran kao prva derivacija vektora kutne brzine ω u odnosu na vrijeme, tj.
a usmjeren je tangencijalno na vektorski hodograf u njegovoj odgovarajućoj točki.
Postoji odnos između tangencijalnih i kutnih ubrzanja:
gdje je R radijus zakrivljenosti putanje točke u određenom trenutku. Dakle, kutna akceleracija jednaka je drugoj derivaciji kuta zakreta u odnosu na vrijeme ili prvoj derivaciji kutne brzine u odnosu na vrijeme. Kutno ubrzanje mjeri se u rad/sec2.
Kutna brzina i kutno ubrzanje
Razmotrimo kruto tijelo koje rotira oko fiksne osi. Tada će pojedine točke ovog tijela opisivati kružnice različitih radijusa, čija središta leže na osi rotacije. Neka se neka točka giba po kružnici polumjera R(slika 6). Njegov položaj nakon vremenskog intervala D t postavimo kut D. Elementarne (infinitezimalne) rotacije mogu se smatrati vektorima (označavaju se sa ili ) . Veličina vektora jednaka je kutu zakreta, a njegov smjer se poklapa sa smjerom translatornog kretanja vrha vijka, čija glava rotira u smjeru kretanja točke po kružnici, tj. pokorava se pravilo desnog vijka(slika 6). Vektori čiji su pravci pridruženi smjeru rotacije nazivaju se pseudovektori ili aksijalni vektori. Ovi vektori nemaju specifične točke primjene: mogu se iscrtati iz bilo koje točke na osi rotacije.
Kutna brzina je vektorska veličina jednaka prvoj derivaciji kuta rotacije tijela u odnosu na vrijeme:
Vektor je usmjeren duž osi rotacije prema pravilu desnog vijka, tj. isto kao i vektor (slika 7). Dimenzija kutne brzine dim w =T – 1 , a jedinica mu je radijan po sekundi (rad/s).
Linearna brzina točke (vidi sl. 6)
U vektorskom obliku, formula za linearnu brzinu može se napisati kao vektorski umnožak:
U ovom slučaju, modul vektorskog umnoška, po definiciji, je jednak , a smjer se podudara sa smjerom translatornog gibanja desnog propelera dok rotira od do R.
Ako je ( = const, tada je rotacija ravnomjerna i može se karakterizirati period rotacije T - vrijeme u kojem vrh napravi jedan puni krug, tj. rotira za kut od 2p. Od vremenskog intervala D t= T odgovara = 2p, tada = 2p/ T, gdje
Broj potpunih okretaja koje tijelo napravi tijekom jednolikog gibanja po kružnici u jedinici vremena naziva se frekvencija vrtnje:
Kutno ubrzanje je vektorska veličina jednaka prvoj derivaciji kutne brzine u odnosu na vrijeme:
Kada tijelo rotira oko nepomične osi, vektor kutne akceleracije usmjeren je duž osi rotacije prema vektoru elementarnog prirasta kutne brzine. Kada je kretanje ubrzano, vektor je susmjeran vektoru (slika 8), kada je sporo, suprotan mu je (slika 9).
Tangencijalna komponenta ubrzanja
Normalna komponenta ubrzanja
Dakle, veza između linearne (duljina puta s kroz koju prolazi točka duž luka kružnice radijusa R, linearna brzina v, tangencijalno ubrzanje , normalno ubrzanje) i kutne veličine (kut rotacije j, kutna brzina w, kutno ubrzanje e) izražava se sljedećim formulama:
U slučaju jednolikog gibanja točke po kružnici (e=const)
gdje je w 0 početna kutna brzina.
Newtonovi zakoni.
Newtonov prvi zakon. Težina. Sila
Dinamika je glavna grana mehanike; temelji se na tri Newtonova zakona, koje je on formulirao 1687. Newtonovi zakoni igraju iznimnu ulogu u mehanici i (kao i svi fizikalni zakoni) generalizacija su rezultata ogromnog ljudskog iskustva. Na njih se gleda kao sustav međusobno povezanih zakona a eksperimentalnoj provjeri nije svaki pojedini zakon, nego cijeli sustav u cjelini.
Newtonov prvi zakon: svaka materijalna točka (tijelo) održava stanje mirovanja ili jednolike pravocrtno gibanje dok je utjecaj drugih tijela ne prisili da promijeni ovo stanje. Želja tijela da održi stanje mirovanja ili ravnomjernog pravocrtnog gibanja naziva se inercija. Stoga se i prvi Newtonov zakon naziva zakon inercije.
Mehaničko gibanje je relativno, a njegova priroda ovisi o referentnom okviru. Prvi Newtonov zakon nije zadovoljen u svakom referentnom okviru, a oni sustavi u odnosu na koje je zadovoljen nazivaju se inercijski referentni sustavi. Inercijalni referentni sustav je referentni sustav u odnosu na koji materijalna točka, bez vanjskih utjecaja, bilo da miruje ili se kreće jednoliko i pravocrtno. Prvi Newtonov zakon tvrdi postojanje inercijalnih referentnih sustava.
Eksperimentalno je utvrđeno da se heliocentrični (zvjezdani) referentni sustav može smatrati inercijalnim (ishodište koordinata nalazi se u središtu Sunca, a osi su usmjerene u smjeru određenih zvijezda). Referentni okvir povezan sa Zemljom, strogo govoreći, je neinercijalan, međutim, učinci zbog njegove neinercijalnosti (Zemlja se okreće oko vlastite osi i oko Sunca) zanemarivi su pri rješavanju mnogih problema, au ovim slučajevima može se smatrati inercijskim.
Iz iskustva je poznato da pod istim utjecajima različita tijela nejednako mijenjaju brzinu kretanja, tj. poprimaju različita ubrzanja. Ubrzanje ne ovisi samo o veličini udarca, već i o svojstvima samog tijela (njegove mase).
Težina tijelo - fizička veličina koja je jedna od glavnih karakteristika materije, određujući njezinu inerciju ( inertna masa) i gravitacijski ( gravitacijska masa) Svojstva. Trenutno se može smatrati dokazanim da su inercijalne i gravitacijske mase međusobno jednake (s točnošću od najmanje 10–12 njihovih vrijednosti).
Kako bi se opisali utjecaji spomenuti u prvom Newtonovom zakonu, uvodi se pojam sile. Tijela pod djelovanjem sila ili mijenjaju brzinu gibanja, tj. dobivaju akceleraciju (dinamička manifestacija sila), ili se deformiraju, tj. mijenjaju oblik i veličinu (statička manifestacija sila). U svakom vremenskom trenutku sila je obilježena numeričkom vrijednošću, smjerom u prostoru i točkom primjene. Tako, sila je vektorska veličina koja je mjera mehaničkog utjecaja na tijelo od strane drugih tijela ili polja, uslijed čega tijelo dobiva akceleraciju ili mijenja svoj oblik i veličinu.
Newtonov drugi zakon
Newtonov drugi zakon - osnovni zakon dinamike translatornog gibanja - odgovara na pitanje kako se mijenja mehaničko gibanje materijalne točke (tijela) pod utjecajem sila koje na nju djeluju.
Ako uzmemo u obzir djelovanje različitih sila na isto tijelo, ispada da je akceleracija koju tijelo stječe uvijek izravno proporcionalna rezultanti primijenjenih sila:
a ~ F (t = const). (6.1)
Kad ista sila djeluje na tijela različitih masa, njihova se ubrzanja pokazuju različitima, naime
a ~ 1 /t (F= konst). (6.2)
Koristeći izraze (6.1) i (6.2) i uzimajući u obzir da su sila i ubrzanje vektorske veličine, možemo napisati
a = kF/m. (6.3)
Relacija (6.3) izražava drugi Newtonov zakon: ubrzanje koje postiže materijalna točka (tijelo), proporcionalno sili koja ga uzrokuje, podudara se s njom po smjeru i obrnuto je proporcionalno masi materijalne točke (tijela).
U SI koeficijent proporcionalnosti k= 1. Zatim
(6.4)
S obzirom da je masa materijalne točke (tijela) u klasičnoj mehanici konstantna veličina, u izraz (6.4) može se unijeti pod znakom izvodnice:
Vektorska količina
numerički jednak umnošku masa materijalne točke na njezinu brzinu i imanje smjera brzine naziva se impuls (količina pokreta) ovu materijalnu točku.
Zamjenom (6.6) u (6.5) dobivamo
Ovaj izraz - općenitija formulacija drugog Newtonovog zakona: brzina promjene količine gibanja materijalne točke jednaka je sili koja na nju djeluje. Izraz (6.7) naziva se jednadžba gibanja materijalne točke.
SI jedinica za silu je Newton(N): 1 N je sila koja daje akceleraciju od 1 m/s 2 masi od 1 kg u smjeru sile:
1 N = 1 kg×m/s 2.
Drugi Newtonov zakon vrijedi samo u inercijalnim referentnim okvirima. Prvi Newtonov zakon može se izvesti iz drugog. Doista, ako su rezultantne sile jednake nuli (u nedostatku utjecaja drugih tijela na tijelo), akceleracija (vidi (6.3)) je također nula. Međutim Newtonov prvi zakon viđeno kao neovisno pravo(a ne kao posljedica drugog zakona), budući da je on taj koji tvrdi postojanje inercijalnih referentnih okvira, u kojima je zadovoljena samo jednadžba (6.7).
U mehanici je od velike važnosti princip neovisnog djelovanja sila: ako više sila djeluje istodobno na materijalnu točku, onda svaka od tih sila daje ubrzanje materijalnoj točki prema drugom Newtonovom zakonu, kao da nema drugih sila. Prema ovom principu, sile i ubrzanja mogu se rastaviti na komponente čijom uporabom se značajno pojednostavljuje rješavanje problema. Na primjer, na sl. 10 djelotvorna sila F= m a se rastavlja na dvije komponente: tangencijalnu silu F t (usmjerenu tangentu na putanju) i normalnu silu F n(usmjereno normalno na središte zakrivljenosti). Koristeći izraze i i , možemo napisati:
Ako na materijalnu točku istodobno djeluje više sila, tada se, prema načelu neovisnosti djelovanja sila, F u drugom Newtonovu zakonu shvaća kao rezultirajuća sila.
Newtonov treći zakon
Određuje se međudjelovanje između materijalnih točaka (tijela). Newtonov treći zakon: bilo koja radnja materijalne bodove(tijela) jedno na drugo ima prirodu interakcije; Sile kojima materijalne točke djeluju jedna na drugu uvijek su jednake po veličini, suprotno usmjerene i djeluju duž pravca koji spaja te točke:
Ž 12 = – Ž 21, (7.1)
gdje je F 12 sila koja djeluje na prvu materijalnu točku iz druge;
F 21 - sila koja djeluje na drugu materijalnu točku od prve. Ove sile se primjenjuju na drugačiji materijalne točke (tijela), uvijek djeluju u parovima i su sile iste prirode.
Treći Newtonov zakon dopušta prijelaz iz dinamike odvojiti materijalna točka na dinamiku sustava materijalne bodove. To proizlazi iz činjenice da se za sustav materijalnih točaka međudjelovanje svodi na sile parnog međudjelovanja između materijalnih točaka.
Eulerovi kutovi, zrakoplovni (brodski) kutovi.
Tradicionalno se Eulerovi kutovi uvode na sljedeći način. Prijelaz iz referentnog položaja u stvarni izvodi se s tri zavoja (Sl. 4.3):
1. Okrenite se pod kutom precesija U ovom slučaju ide na poziciju (c) .
2. Okrenite se pod kutom nutacija. Pri čemu, . (4.10)
4. Okrenite se pod kutom vlastita (čista) rotacija
Radi boljeg razumijevanja, slika 4.4 prikazuje vrh i Eulerove kutove koji ga opisuju
Prijelaz iz referentnog položaja u stvarni može se postići s tri okreta (okrenite ga sami!) (Sl. 4.5):
1. Okrenite se pod kutom skretanje skretanja, pri čemu
2. Rotirajte za kut nagiba, dok (4.12)
3. Rotirajte po kutu kotrljanja
Izraz "može se postići" nije slučajan; lako je razumjeti da su moguće i druge opcije, na primjer, rotacije oko fiksnih osi
1. Okrenite se pod kutom svitak(uz rizik da mu slomim krila)
2. Okrenite se pod kutom nagib(podizanje nosa) (4.13)
3. Okrenite se pod kutom skretanje skretanja
Međutim, identičnost (4.12) i (4.13) također treba dokazati.
Napišimo očitu vektorsku formulu za vektor položaja točke (slika 4.6) u matričnom obliku. Nađimo koordinate vektora u odnosu na referentnu bazu. Proširimo vektor prema stvarnoj bazi i uvedimo “preneseni” vektor čije su koordinate u referentnoj bazi jednake koordinatama vektora u stvarnoj; drugim riječima, vektor se "rotirao" zajedno s tijelom (slika 4.6).
| Riža. 4.6. |
Proširujući vektore prema referentnoj bazi, dobivamo
Uvedimo rotacijsku matricu i stupce,
Vektorska formula u matričnom zapisu ima oblik
1. Matrica rotacije je ortogonalna, tj.
Dokaz ove tvrdnje je formula (4.9)
Izračunavanjem determinante umnoška (4.15) dobivamo i budući da se u referentnom položaju, tada (ortogonalne matrice s determinantom jednakom (+1) nazivaju zapravo ortogonalne ili rotacijske matrice). Kada se pomnoži vektorima, rotacijska matrica ne mijenja niti duljine vektora niti kutove između njih, tj. stvarno njih skreće.
2. Matrica rotacije ima jedan svojstveni (fiksni) vektor, koji određuje os rotacije. Drugim riječima, potrebno je pokazati da sustav jednadžbi gdje ima jedina odluka. Napišimo sustav u obliku (. Odrednica ovog homogenog sustava jednaka nuli, jer
dakle, sustav ima rješenje različito od nule. Uz pretpostavku da postoje dva rješenja, odmah dolazimo do zaključka da je i ono okomito na njih također rješenje (kutovi između vektora se ne mijenjaju), što znači da je t.j. nema skretanja..
| sl.4.7 |
Matrica u ortonormiranoj bazi
ima pogled.
2. Diferenciranjem (4.15) dobivamo ili, označavajući – matricu spin (engleski: to spin – vrtjeti). Dakle, matrica spina je koso-simetrična: . Množenjem s desna s, dobivamo Poissonovu formulu za matricu rotacije:
Došli smo do najtežeg trenutka u okviru matričnog opisa - određivanja vektora kutne brzine.
Možete, naravno, učiniti standardnu stvar (pogledajte, na primjer, metodu i napišite: " Uvedimo oznake za elemente koso-simetrične matrice S prema formuli
Ako napravite vektor , tada se rezultat množenja matrice vektorom može prikazati kao vektorski produkt" U gornjem citatu - vektor kutne brzine.
Diferenciranjem (4.14) dobivamo matrični prikaz osnovne formule za kinematiku krutog tijela :
Matrični pristup, iako je prikladan za izračune, vrlo je neprikladan za analizu i izvođenje odnosa; bilo koja formula napisana vektorskim i tenzorskim jezikom može se lako napisati u matričnom obliku, ali možete dobiti kompaktnu i izražajnu formulu za opisivanje bilo kojeg fizički fenomen u matričnom obliku je teško.
Osim toga, ne treba zaboraviti da su elementi matrice koordinate (komponente) tenzora u nekoj bazi. Sam tenzor ne ovisi o izboru baze, već njegove komponente. Za zapis bez grešaka u matričnom obliku, potrebno je da svi vektori i tenzori uključeni u izraz budu napisani u jednoj bazi, a to nije uvijek zgodno, budući da različiti tenzori imaju "jednostavni" oblik u različitim bazama, pa vam je potrebno ponovno izračunati matrice pomoću prijelaznih matrica.
Na krugu je određen radijus vektorom $ \overrightarrow (r)$ povučenim iz središta kruga. Modul radijusa vektora jednak radijusu krug R (slika 1).
Slika 1. Radijus vektor, pomak, putanja i kut rotacije kada se točka kreće po kružnici
U ovom slučaju, kretanje tijela u krugu može se nedvosmisleno opisati pomoću kinematičkih karakteristika kao što su kut rotacije, kutna brzina i kutno ubrzanje.
Tijekom vremena ∆t tijelo krećući se od točke A do točke B napravi gibanje $\trokut r$, jednak akordu AB, te prijeđe put jednak duljini luka l. Radijus vektor rotira za kut ∆$ \varphi $.
Kut rotacije može se karakterizirati vektorom kutnog pomaka $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$, čija je veličina jednaka kutu rotacije ∆$ \varphi $, a smjer se podudara s os rotacije, i tako da smjer rotacije odgovara pravilu desnog vijka prema relativnom smjeru vektora $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$.
Vektor $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ naziva se aksijalni vektor (ili pseudovektor), dok je vektor pomaka $\trokut \overrightarrow(r)$ polarni vektor (oni također uključuju brzinu i vektori ubrzanja) . Razlikuju se po tome što polarni vektor osim duljine i smjera ima i točku primjene (pol), a aksijalni vektor ima samo duljinu i smjer (axis - os na latinskom), ali nema točku primjene. Vektori ovog tipa često se koriste u fizici. Tu, na primjer, spadaju svi vektori koji su vektorski produkt dvaju polarnih vektora.
Skalarna fizička veličina, brojčano jednaka omjeru kuta rotacije radijus vektora i vremenskog razdoblja tijekom kojeg se ta rotacija dogodila, naziva se prosječna kutna brzina: $\left\langle \omega \right\rangle =\ frac(\trokut \varphi )(\trokut t)$. SI jedinica kutne brzine je radijan po sekundi $(\frac (rad) (c))$.
Definicija
Kutna brzina rotacije je vektor koji je numerički jednak prvoj derivaciji kuta rotacije tijela u odnosu na vrijeme i usmjeren je duž osi rotacije prema pravilu desnog vijka:
\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\trokut t\to 0) \frac(\trokut (\mathbf \varphi ))(\trokut t)=\frac(d\desna strelica((\mathbf \varphi )))(dt)\ )\]
Kod jednolikog gibanja po kružnici, kutna brzina i veličina linearne brzine su konstantne veličine: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.
Uzimajući u obzir da je $\trokut \varphi =\frac(l)(R)$, dobivamo formulu za odnos između linearne i kutne brzine: $\omega =\frac(l)(R\trokut t)=\frac( v)( R)$. Kutna brzina također je povezana s normalnim ubrzanjem: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$
Na neravnomjerno kretanje duž kruga, vektor kutne brzine je vektorska funkcija vremena $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega ))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\left(t\right )t$, gdje je $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ početna kutna brzina, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ kutna akceleracija. U slučaju jednoliko promjenjivog gibanja, $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$, i $\left|\overrightarrow((\mathbf \omega ) )\lijevo(t\desno)\desno|=\omega \lijevo(t\desno)=(\omega )_0+\varepsilon t$.
Opišite gibanje rotacijskog krutog tijela u slučajevima kada se kutna brzina mijenja prema grafovima 1 i 2, prikazanim na sl. 2.
Slika 2.
Rotacija se odvija u dva smjera - u smjeru kazaljke na satu i suprotnom smjeru. Smjer rotacije pridružen je pseudovektoru kuta rotacije i kutne brzine. Smjer rotacije u smjeru kazaljke na satu smatrajmo pozitivnim.
Za gibanje 1, kutna brzina raste, ali kutna akceleracija $\varepsilon $=d$\omega $/dt (derivacija) opada, ostajući pozitivna. Posljedično, to se kretanje ubrzava u smjeru kazaljke na satu sa sve manjom akceleracijom.
Za gibanje 2, kutna brzina opada, zatim doseže nulu u točki sjecišta s osi apscise, a zatim postaje negativna i povećava apsolutnu vrijednost. Kutno ubrzanje je negativno i smanjuje se po veličini. Dakle, točka se najprije polagano kretala u smjeru kazaljke na satu s kutnom akceleracijom koja se smanjivala u apsolutnoj vrijednosti, zaustavila se i počela brzo rotirati s akceleracijom koja se smanjivala u apsolutnoj vrijednosti.
Nađite radijus R kotača koji se okreće ako je poznato da je linearna brzina $v_1$ točke koja leži na rubu 2,5 puta veća od linearne brzine $v_2$ točke koja leži na udaljenosti $r = 5 cm$ bliže osi kotača.
Slika 3.
$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2,5v_2$$ $$R_1 = ?$$
Točke se kreću po koncentričnim kružnicama, vektori njihovih kutnih brzina su jednaki, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\ omega $ se stoga može napisati u skalarnom obliku:
Odgovor: radijus kotača R = 8,3 cm
