кубоид
Кубоидът е прав кубоид, в който всички лица са правоъгълници.
Достатъчно е да се огледаме около нас и ще видим, че предметите около нас имат форма, подобна на паралелепипед. Те могат да се различават по цвят, да имат много допълнителни детайли, но ако тези тънкости бъдат изхвърлени, тогава можем да кажем, че например шкаф, кутия и т.н. имат приблизително същата форма.
С концепция кубоидсрещаме се почти всеки ден! Огледай се и ми кажи къде виждаш правоъгълни кутии? Вижте книгата, защото е точно такава форма! Тухлите имат същата форма, Кибритена кутия, блок от дърво и дори в момента сте вътре в правоъгълна кутия, защото класната стая е най-ярката интерпретация на това геометрична фигура.
Упражнение:Какви примери за паралелепипед можете да посочите?
Нека разгледаме по-отблизо кубоида. И какво виждаме?
Първо, виждаме, че тази фигура е образувана от шест правоъгълника, които са лицата на кубоид;
Второ, кубоидът има осем върха и дванадесет ръба. Ръбовете на кубоида са страните на неговите лица, а върховете на кубоида са върховете на лицата.
Упражнение:
1. Как се казва всяка една от лицата на правоъгълен паралелепипед? 2. Благодарение на какви параметри може да се измери паралелограм? 3. Определете противоположни лица.
Видове паралелепипеди
Но паралелепипедите са не само правоъгълни, но могат да бъдат и прави и наклонени, а правите линии се делят на правоъгълни, неправоъгълни и кубчета.
Задача: Разгледайте картинката и кажете кои паралелепипеди са показани на нея. Как се различава кубоидът от куба?
Свойства на кубоид
Правоъгълният паралелепипед има редица важни свойства:
Първо, квадратът на диагонала на тази геометрична фигура е равен на сумата от квадратите на нейните три основни параметъра: височина, ширина и дължина.
Второ, всичките му четири диагонала са абсолютно идентични.
Трето, ако всичките три параметъра на паралелепипеда са еднакви, тоест дължината, ширината и височината са равни, тогава такъв паралелепипед се нарича куб и всичките му лица ще бъдат равни на един и същ квадрат.
Упражнение
1. Правоъгълният паралелепипед има ли равни лица? Ако има, покажете ги на снимката. 2. От какви геометрични фигури се състоят лицата на правоъгълен паралелепипед? 3. Какво е разположението на равни лица едно спрямо друго? 4. Назовете броя на двойките равни лица на тази фигура. 5. Намерете ръбовете в кубоида, които показват неговата дължина, ширина, височина. Колко преброихте?
Задача
За да подреди красиво подарък за рождения ден на майка си, Таня взе кутия във формата на правоъгълен паралелепипед. Размерът на тази кутия е 25см*35см*45см. За да направи този пакет красив, Таня реши да го покрие с красива хартия, чиято цена е 3 гривни за 1 dm2. Колко пари трябва да похарчите за опаковъчна хартия?
Знаете ли, че известният илюзионист Дейвид Блейн, като част от експеримент, прекара 44 дни в стъклена кутия, окачена над Темза. Тези 44 дни той не ядеше, а пиеше само вода. В доброволния си затвор Дейвид взел само инструменти за писане, възглавница и матрак и носни кърпички.
В този урок всеки ще може да изучава темата "Правоъгълна кутия". В началото на урока ще повторим какво представляват произволен и прав паралелепипед, ще си припомним свойствата на техните противоположни лица и диагоналите на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво представлява кубоидът и ще обсъдим основните му свойства.
Тема: Перпендикулярност на правите и равнините
Урок: кубоид
Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, се нарича паралелепипед(Фиг. 1).
Ориз. 1 паралелепипед
Тоест: имаме два равни паралелограма ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредник паралелепипед.
По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.
1. Противоположните страни на паралелепипед са успоредни и равни.
(цифрите са равни, тоест могат да се комбинират чрез наслагване)
Например:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (равни паралелограми по дефиниция),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни страни на паралелепипеда).
2. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и разполовяват тази точка.
Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O и всеки диагонал е разделен наполовина от тази точка (фиг. 2).
Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипеда се пресичат и разполовяват пресечната точка.
3. Има три четворки равни и успоредни ръбове на паралелепипеда: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.
Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. И следователно правоъгълниците лежат в страничните лица. А основите са произволни паралелограми. Означете, ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.
Ориз. 3 Дясно поле
И така, дясната кутия е кутия, в която страничните ръбове са перпендикулярни на основите на кутията.
Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.
Паралелепипедът АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничният ръб е перпендикулярен на равнината на основата, тоест прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.
Ориз. 4 кубоид
Правоъгълната кутия има всички свойства на произволна кутия.Но има допълнителни свойства, които са получени от определението за кубоид.
Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоида е правоъгълник.
1. В кубоид всичките шест лица са правоъгълници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.
2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на кубоид са правоъгълници.
3. всичко двугранни ъглиправоъгълни прави линии на паралелепипед.
Да разгледаме, например, двугранния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двугранния ъгъл между равнините ABB 1 и ABC.
AB е ръб, точка A 1 лежи в една равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двуграничен ъгъл може да се обозначи и по следния начин: ∠А 1 АВD.
Вземете точка A на ръба AB. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABB-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Следователно ∠A 1 AD е линейният ъгъл на дадения двуграничен ъгъл. ∠A 1 AD \u003d 90 °, което означава, че двугранният ъгъл при ръба AB е 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
По същия начин се доказва, че всички двугранни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Квадрат на диагонала на кубоид е равно на суматаквадрати от трите му измерения.
Забележка. Дължините на трите ръба, произлизащи от един и същи връх на кубоида, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.
Дадено: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).
Докажи: .
Ориз. 5 кубоид
доказателство:
Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC, а оттам и на правата AC. Така че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен триъгълник. Според питагоровата теорема:
Да разгледаме правоъгълен триъгълник ABC. Според питагоровата теорема:
Но BC и AD са противоположни страни на правоъгълника. Така че BC = AD. Тогава:
Защото , а , тогава. Тъй като CC 1 = AA 1, тогава това, което се изискваше да се докаже.
Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.
Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Има няколко вида паралелепипеди:
· кубоиде паралелепипед с всички лица - правоъгълници;
Прав паралелепипед е паралелепипед с 4 странични лица - успоредник;
· Наклонена кутия е кутия, чиито странични лица не са перпендикулярни на основите.
Основни елементи
Две лица на паралелепипед, които нямат общ ръб, се наричат противоположни, а тези, които имат общ ръб, се наричат съседни. Два върха на паралелепипед, които не принадлежат на едно и също лице, се наричат противоположни. Линеен сегмент,свързване на противоположни върхове се нарича диагоналпаралелепипед. Наричат се дължините на три ръба на кубоид, които имат общ връх измервания.
Имоти
· Паралелепипедът е симетричен спрямо средата на своя диагонал.
Всеки сегмент с краища, принадлежащи на повърхността на паралелепипеда и минаващ през средата на неговия диагонал, се разделя от него наполовина; по-специално, всички диагонали на паралелепипеда се пресичат в една точка и я разполовяват.
Противоположните страни на паралелепипед са успоредни и равни.
Квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения
Основни формули
Десен паралелепипед
· Площ на страничната повърхност S b \u003d R o * h, където R o е периметърът на основата, h е височината
· Обща площ S p \u003d S b + 2S o, където S o е площта на основата
· Сила на звука V=S o *h
кубоид
· Площ на страничната повърхност S b \u003d 2c (a + b), където a, b са страните на основата, c е страничният ръб на правоъгълния паралелепипед
· Обща площ S p \u003d 2 (ab + bc + ac)
· Сила на звука V=abc, където a, b, c са размерите на кубоида.
· Площ на страничната повърхност S=6*h 2 , където h е височината на ръба на куба
34. тетраедъре правилен полиедър, има 4 лица, които са правилни триъгълници. Върхове в тетраедъра 4 , се сближава към всеки връх 3 ребра, но общо ребра 6 . Тетраедърът също е пирамида.
Триъгълниците, които образуват тетраедър, се наричат лица (AOC, OSV, ACB, AOB), техните страни --- ръбове (AO, OC, OB)и върховете --- върхове (A, B, C, O)тетраедър. Два ръба на тетраедър, които нямат общи върхове, се наричат противоположно... Понякога се отделя и нарича едно от лицата на тетраедъра основаи трима други --- странични лица.
Тетраедърът се нарича правоако всичките му лица са равностранни триъгълници. В същото време правилният тетраедър и правилната триъгълна пирамида не са едно и също нещо.
В правилен тетраедървсички двугранни ъгли при ръбове и всички триедрични ъгли при върховете са равни.
35. Правилна призма
Призмата е полиедър, в който две лица (основи) лежат в успоредни равнини и всички ръбове извън тези лица са успоредни един на друг. Повърхностите, различни от основите, се наричат странични лица, а техните ръбове се наричат странични ръбове. Всички странични ръбове са равни един на друг като успоредни сегменти, ограничени от две успоредни равнини. Всички страни на призмата са успоредни. Съответните страни на основите на призмата са равни и успоредни. Права призма се нарича, в която страничният ръб е перпендикулярен на равнината на основата, други призми се наричат наклонени. Основата на правилната призма е правилен многоъгълник. В такава призма всички лица са равни правоъгълници.
Повърхността на призмата се състои от две основи и странична повърхност. Височината на призмата е отсечка, която е общ перпендикуляр на равнините, в които лежат основите на призмата. Височината на призмата е разстоянието Хмежду базовите равнини.
Площ на страничната повърхност С b призма се нарича сбор от площите на страничните й лица. Пълна площ С n на призма се нарича сбор от площите на всичките й лица. С n = С b + 2 С,където Се основната площ на призмата, С b – странична повърхност.
36. Многоедър, който има едно лице, наречен основа, е многоъгълник,
а другите лица са триъгълници с общ връх, се нарича пирамида
.
Лица, различни от основата, се наричат страна.
Общият връх на страничните лица се нарича върха на пирамидата.
Наричат се ръбовете, които свързват върха на пирамидата с върха на основата страна.
Височината на пирамидата
наречен перпендикуляр, изтеглен от върха на пирамидата до основата й.
Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник и височината му минава през центъра на основата.
апотема страничната страна на правилната пирамида се нарича височина на това лице, изтеглена от върха на пирамидата.
Равнина, успоредна на основата на пирамидата, я отрязва в подобна пирамида и пресечена пирамида.
Свойства на правилните пирамиди
- Страничните ръбове на правилната пирамида са равни.
- Странични лица на правилна пирамида - равен приятелдруги равнобедрени триъгълници.
Ако всички странични ръбове са равни, тогава
Височината се проектира в центъра на описаната окръжност;
страничните ребра образуват равни ъгли с основната равнина.
Ако страничните повърхности са наклонени към основната равнина под един ъгъл, тогава
Височината се проектира в центъра на вписаната окръжност;
височините на страничните повърхности са равни;
Площта на страничната повърхност е равна на половината от произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност
37. Функцията y=f(x), където x принадлежи на множеството естествени числа, се нарича функция на естествен аргумент или числова последователност. Означете го y=f(n) или (y n)
Последователностите могат да бъдат посочени по различни начини, устно, така се определя последователността прости числа:
2, 3, 5, 7, 11 и т.н
Счита се, че последователността е дадена аналитично, ако е дадена формулата на нейния n-ти член:
1, 4, 9, 16, …, n2, …
2) y n = C. Такава последователност се нарича постоянна или стационарна. Например:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) y n \u003d 2 n. Например,
2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2n , …
За една последователност се казва, че е ограничена отгоре, ако всички нейни членове са най-много някакво число. С други думи, една последователност може да се нарече ограничена, ако има такова число M, че неравенството y n е по-малко или равно на M. Числото M се нарича горна граница на последователността. Например последователността: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; ограничен отгоре.
По същия начин може да се каже, че една последователност е ограничена отдолу, ако всички нейни членове са по-големи от някакво число. Ако една последователност е ограничена както отгоре, така и отдолу, се казва, че е ограничена.
За една последователност се казва, че се увеличава, ако всеки следващ член е по-голям от предишния.
Последователност се нарича намаляваща, ако всеки следващ член е по-малък от предишния. Нарастващите и намаляващи последователности се дефинират с един термин - монотонни последователности.
Помислете за две последователности:
1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …
Ако изобразим членовете на тази последователност върху реална права, ще забележим, че във втория случай членовете на последователността се кондензират около една точка, а в първия случай това не е така. В такива случаи казваме, че последователността y n се разминава, а последователността x n се сближава.
Числото b се нарича граница на последователността y n, ако някоя предварително избрана околност на точка b съдържа всички членове на последователността, започвайки от някакво число.
В този случай можем да напишем:
Ако модулното частно на прогресията е по-малко от единица, тогава границата на тази последователност, тъй като x клони към безкрайност, е равна на нула.
Ако последователността се сближава, тогава само до една граница
Ако последователността се сближава, тогава тя е ограничена.
Теорема на Вайерщрас: Ако една последователност се сближава монотонно, тогава тя е ограничена.
Границата на стационарна последователност е равна на всеки член на последователността.
Имоти:
1) Лимитът за сбор е равен на сбора от ограниченията
2) Границата на продукта е равна на произведението на границите
3) Границата на коефициента е равна на частното от границите
4) Постоянният коефициент може да бъде изваден от знака на границата
Въпрос 38
сумата от безкрайна геометрична прогресия
Геометрична прогресия- поредица от числа b 1 , b 2 , b 3 ,.. (членове на прогресията), в която всяко следващо число, започващо от второто, се получава от предишното чрез умножаването му по определено число q ( знаменател на прогресията), където b 1 ≠0, q ≠0.
Сумата от безкрайна геометрична прогресияе граничното число, до което се сближава последователността на прогресията.
С други думи, независимо колко дълга е геометричната прогресия, сборът от нейните членове не е повече от определено число и е практически равен на това число. Нарича се сбор от геометрична прогресия.
Не всяка геометрична прогресия има такава ограничаваща сума. Тя може да бъде само в такава прогресия, чийто знаменател е дробно число, по-малко от 1.
Често учениците възмутени питат: „Как ще ми бъде полезно това в живота?“. По всяка тема от всеки предмет. Темата за обема на паралелепипед не е изключение. И тук е просто възможно да се каже: "Ще дойде по-удобно."
Как например да разберете дали пратка ще се побере в пощенска кутия? Разбира се, можете да изберете правилния чрез проба и грешка. Ами ако няма такава възможност? Тогава изчисленията ще дойдат на помощ. Познавайки капацитета на кутията, можете да изчислите обема на пратката (поне приблизително) и да отговорите на въпроса.
Паралелепипед и неговите видове
Ако буквално преведем името му от древногръцки, се оказва, че това е фигура, състояща се от успоредни равнини. Има такива еквивалентни дефиниции за паралелепипед:
- призма с основа под формата на паралелограм;
- полиедър, чието лице е паралелограм.
Неговите видове се разграничават в зависимост от това коя фигура лежи в основата му и как са насочени страничните ребра. Като цяло се говори за наклонен паралелепипедчиято основа и всички лица са успоредни. Ако страничните повърхности на предишния изглед се превърнат в правоъгълници, тогава той вече трябва да бъде извикан директен. И при правоъгълнаи основата също има ъгли от 90º.
Освен това в геометрията те се опитват да изобразят последното по такъв начин, че да се забележи, че всички ръбове са успоредни. Тук, между другото, се наблюдава основната разлика между математиците и художниците. За последното е важно да предаде тялото в съответствие със закона за перспективата. И в този случай успоредността на ръбовете е напълно невидима.
Относно въведеното обозначение
Във формулите по-долу са валидни обозначенията, посочени в таблицата.
Формули за наклонена кутия
Първият и вторият за областите:
Третият е за изчисляване на обема на кутията:
Тъй като основата е успоредник, за да изчислите неговата площ, ще трябва да използвате съответните изрази.
Формули за кубоид
Подобно на първия параграф - две формули за области:
И още едно за обем:
Първа задача
състояние. Даден е правоъгълен паралелепипед, чийто обем трябва да се намери. Известен е диагоналът - 18 см - и фактът, че образува ъгли от 30 и 45 градуса съответно с равнината на страничната повърхност и страничния ръб.
Решение.За да отговорите на въпроса на задачата, трябва да намерите всички страни в три правоъгълни триъгълника. Те ще дадат необходимите стойности на ръба, за които трябва да изчислите обема.
Първо трябва да разберете къде е ъгълът от 30º. За да направите това, трябва да начертаете диагонал на страничната повърхност от същия връх, от който е начертан главният диагонал на успоредника. Ъгълът между тях ще бъде това, от което се нуждаете.
Първият триъгълник, който ще даде една от страните на основата, ще бъде следният. Той съдържа желаната страна и два начертани диагонала. Тя е правоъгълна. Сега трябва да използвате съотношението на противоположния крак (основната страна) и хипотенузата (диагонал). То е равно на синуса от 30º. Тоест, неизвестната страна на основата ще бъде определена като диагонал, умножен по синуса от 30º или ½. Нека бъде отбелязано с буквата "а".
Вторият ще бъде триъгълник, съдържащ известен диагонал и ръб, с който образува 45º. Той също е правоъгълен и отново можете да използвате съотношението на катета към хипотенузата. С други думи, страничният ръб към диагонала. То е равно на косинус от 45º. Тоест "c" се изчислява като произведение на диагонала и косинуса от 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).
В същия триъгълник трябва да намерите друг крак. Това е необходимо, за да се изчисли след това третото неизвестно - "в". Нека бъде отбелязано с буквата "x". Лесно е да се изчисли с помощта на питагоровата теорема:
x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) = 9 √ 2 (см).
Сега трябва да разгледаме друг правоъгълен триъгълник. То вече съдържа известни партита"s", "x" и този, който трябва да бъде преброен, "in":
c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 = 9 (см).
И трите количества са известни. Можете да използвате формулата за обем и да я изчислите:
V \u003d 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).
Отговор:обемът на паралелепипеда е 729√2 cm 3 .
Втора задача
състояние. Намерете обема на паралелепипеда. Знае страните на паралелограма, който лежи в основата, 3 и 6 см, както и неговия остър ъгъл - 45º. Страничното ребро има наклон към основата 30º и е равно на 4 cm.
Решение.За да отговорите на въпроса за задачата, трябва да вземете формулата, която е написана за обема на наклонен паралелепипед. Но и двете количества са неизвестни в него.
Площта на основата, тоест на успоредника, ще се определи от формулата, в която трябва да умножите известните страни и синуса на острия ъгъл между тях.
S o \u003d 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2) / 2 = 9 √2 (cm 2).
Втората неизвестна е височината. Може да се изтегли от всеки от четирите върха над основата. Може да се намери от правоъгълен триъгълник, в който височината е катета, а страничният ръб е хипотенузата. В този случай ъгъл от 30º лежи срещу неизвестната височина. Така че можете да използвате съотношението на крака към хипотенузата.
n = 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 = 2.
Сега всички стойности са известни и можете да изчислите обема:
V \u003d 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).
Отговор:обемът е 18 √2 cm 3 .
Трета задача
състояние. Намерете обема на паралелепипеда, ако е известно, че е права линия. Страните на основата му образуват паралелограм и са равни на 2 и 3 см. Острият ъгъл между тях е 60º. По-малкият диагонал на паралелепипеда е равен на по-големия диагонал на основата.
Решение.За да разберем обема на паралелепипед, използваме формулата с основната площ и височината. И двете количества са неизвестни, но са лесни за изчисляване. Първият е височината.
Тъй като по-малкият диагонал на паралелепипеда е със същия размер като по-голямата основа, те могат да бъдат обозначени със същата буква d. Най-големият ъгъл на паралелограма е 120º, тъй като той образува 180º с остър. Нека вторият диагонал на основата се обозначава с буквата "x". Сега за двата диагонала на основата могат да се запишат косинусови теореми:
d 2 \u003d a 2 + в 2 - 2av cos 120º,
x 2 \u003d a 2 + в 2 - 2ab cos 60º.
Намирането на стойности без квадрати няма смисъл, тъй като тогава те отново ще бъдат повдигнати на втора степен. След подмяна на данните се оказва:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + в 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.
Сега височината, която е и страничният ръб на паралелепипеда, ще бъде кракът на триъгълника. Хипотенузата ще бъде известният диагонал на тялото, а вторият крак ще бъде "x". Можете да напишете Питагоровата теорема:
n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.
Следователно: n = √12 = 2√3 (cm).
Сега втората неизвестна величина е площта на основата. Може да се изчисли по формулата, посочена във втория проблем.
S o \u003d 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3 √3 (cm 2).
Комбинирайки всичко във формула за обем, получаваме:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).
Отговор: V \u003d 18 cm 3.
Четвъртата задача
състояние. Необходимо е да се намери обемът на паралелепипед, който отговаря на следните условия: основата е квадрат със страна 5 cm; страничните лица са ромби; един от върховете над основата е еднакво отдалечен от всички върхове, лежащи в основата.
Решение.Първо трябва да се справите със състоянието. Няма въпроси с първия параграф за квадрата. Вторият, относно ромбовете, показва, че паралелепипедът е наклонен. Освен това всичките му ръбове са равни на 5 см, тъй като страните на ромба са еднакви. И от третия става ясно, че трите диагонала, изтеглени от него, са равни. Това са две, които лежат на страничните лица, а последният е вътре в паралелепипеда. И тези диагонали са равни на ръба, тоест те също имат дължина 5 см.
За да определите обема, ще ви е необходима формула, написана за наклонен паралелепипед. Отново няма известни количества в него. Площта на основата обаче е лесно да се изчисли, защото е квадрат.
S o \u003d 5 2 = 25 (см 2).
Малко по-труден е случаят с височината. Тя ще бъде такава в три фигури: паралелепипед, четириъгълна пирамида и равнобедрен триъгълник. Трябва да се използва последното обстоятелство.
Тъй като е височина, това е крак вътре правоъгълен триъгълник. Хипотенузата в него ще бъде известен ръб, а вторият катет наполовинадиагонали на квадрата (височина - това е и медианата). И диагоналът на основата е лесно да се намери:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).
Височината ще трябва да се изчисли като разликата на втората степен на ръба и квадрата на половината от диагонала и не забравяйте да извлечете квадратния корен:
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (см).
V \u003d 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).
Отговор: 62,5 √2 (см 3).
В този урок ще дефинираме кутия, ще обсъдим нейната структура и нейните елементи (диагоналите на кутията, страните на кутията и техните свойства). И също така разгледайте свойствата на лицата и диагоналите на паралелограма. След това ще решим типична задачада се построи сечение в паралелепипед.
Тема: Паралелизъм на прави и равнини
Урок: Паралелепипед. Свойства на лицата и диагоналите на кутия
В този урок ще дадем определение на паралелепипед, ще обсъдим неговата структура, свойства и неговите елементи (страни, диагонали).
Паралелепипедът се формира от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1, които са в успоредни равнини. Обозначение: ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 или AD 1 (фиг. 1.).
2. Фестивал на педагогическите идеи "Отворен урок" ()
1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, поправено и допълнено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задачи 10, 11, 12 стр. 50
2. Построете сечение на правоъгълен паралелепипед ABCDА1B1C1D1равнина, минаваща през точките
а) A, C, B1
б) B1, D1и средата на реброто AA1.
3. Ръбът на куба е равен на a. Конструирайте сечение на куба с равнина, минаваща през средните точки на три ръба, излизащи от същия връх, и изчислете неговия периметър и площ.
4. Какви фигури могат да се получат в резултат на пресичането на паралелепипед с равнина?
