Методи за определяне на дискретна случайна променлива. Методи за определяне на случайни величини. Стандартно отклонение и дисперсия на случайна променлива

Разпределение на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива Методът за определяне на непрекъсната случайна променлива с помощта на функцията на разпределение не е единственият. Непрекъсната случайна променлива може също да бъде определена с помощта на друга функция, която се нарича плътност на разпределение или плътност на вероятността (понякога наричана диференциална функция).

Плътността на разпределението на вероятността на непрекъсната случайна променлива X се нарича функция f(x) - първата производна на функцията на разпределение F(x): f(x) = F"(x). Следователно функцията на разпределение е антипроизводна на плътността на разпространение.

π/2. Намерете плътността на разпределение f(x). 0 при x π/2." title="Пример. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X 0 при x 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Намерете плътността на разпределение f(x ).0 при x π/2." class="link_thumb"> 18 !}Пример. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X 0 при x 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Намерете плътността на разпределение f(x). 0 при x π/2. π/2. Намерете плътността на разпределение f(x). 0 при x π/2."> π/2. Намерете плътността на разпределение f(x). 0 при x π/2."> π/2. Намерете плътността на разпределение f(x). 0 при x π/2." title="Пример. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X 0 при x 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Намерете плътността на разпределение f(x ).0 при x π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Пример. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X 0 при x 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Намерете плътността на разпределение f(x). 0 при x π/2."> !}

Свойства на плътността на разпределение Плътността на разпределение е неотрицателна функция: f(x) 0. Графиката на плътността на разпределението се нарича крива на разпределението. Неправилният интеграл на плътността на разпределение в диапазона от - до е равен на 1. f(x )dx = 1. -

Вероятностно значение на плътността на разпределението Функцията f(x) определя плътността на вероятностното разпределение за всяка точка x. За достатъчно малки x. F(x + x) - F(x) f(x)x. защото разликата F(x + x) - F(x) определя (вижте по-горе) вероятността X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (x; x + x), тогава тази вероятност следователно е приблизително равна на произведението на плътност на вероятността в t по дължината на интервала x.

Формула на Бернули (специална теорема за повторение на експерименти)

Пример 23

Има три лотарийни билета. Вероятността за печалба за всеки билет е една и съща и е равна на Р.Вероятност билетът да не спечели q = 1 – p– като вероятност от противоположното събитие. Определете вероятността от три билета точно два да спечелят.

Означаваме желаната вероятност с .

Събитието, което ни интересува, ще се случи, ако първият И вторият билет спечели И третият не спечели ИЛИ първият билет не спечели И вторият И третият спечели ИЛИ вторият билет не спечели И първият И третият спечели . Вероятността за всяка от тези опции може да се намери с помощта на формулата за умножение, а отговорът се изчислява с помощта на формулата за добавяне за несъвместими събития:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

Анализирайки решението на проблема, откриваме, че той е решен в следния ред:

Компилиран различни опциинастъпването на интересното събитие;

Броят на тези опции се брои;

Определя се вероятността за настъпване на събитие чрез прилагане на всяка опция;

Необходимата вероятност се намира чрез умножаване на вероятността за настъпване на събитие според една от опциите по общия брой опции.

Всъщност проблемът беше решен с помощта на т.нар Формула на Бернули. Нека го напишем в общ вид.

Нека серия от нексперименти (тестове). Експериментите се провеждат многократно, независимо един от друг и при едни и същи условия, така че вероятността за настъпване на събитие Ане се променя от опит на опит и е равен на Р. Нека обозначим вероятността събитието да не се случи Ав един експеримент - q = 1-p. Изисква се да се определи вероятността, че в серия от нпреживявания събитие Аще се случи отново кпъти – нека обозначим това събитие като IN.

Събитие INможе да се осъществи по различни начини (варианти). Например така:

или така:

Важното е, че във всеки вариант броят на събитията на събитието Аравно на ни броя на повторенията на събитието равно на n–k, въпреки че ще се появят и няма да се появят в различни вариантив различни последователности.

За да определите броя на тези опции, можете да използвате формулата комбинаторика- брой комбинации от нелементи от к.

Комбинации - това са комбинации от кобекти (елементи), избрани от определен набор в нобекти, които съдържат еднакъв брой обекти, но се различават един от друг поне по един от тях.

Брой комбинации от нелементи от козначен като може да се намери по формулата: = . (15)

Важно свойство за определяне на броя на комбинациите е следното:

В разглежданата задача елементите, които се различават един от друг, са номерата на експериментите. Общият брой опции е .

Вероятност за възникване на събитие A nпъти за всяка опция е едно и също и може да се намери с помощта на формулата за умножаване на вероятностите въз основа на фразата „Събитие А е настъпило кникога не се е случвало n–kведнъж": p k q n - k

Сумирайки тези еднакви вероятности пъти, получаваме формула, наречена Формула на Бернули:

=p k q n - k . (16)

Трябва да се помни, че p е вероятност за възникване събитието, което ни интересува в опита, и q – вероятност за неявяване това събитие в опита.

Формулата на Бернули (Якоб Бернули я изследва в книгата си "Изкуството на предположенията") също се нарича частен теорема за повторение на опитите. Това означава, че всеки следващ експеримент се провежда при същите условия като всички предишни, т.е. вероятността за настъпване на събитие не се променя от експеримент на експеримент и остава еднаква Р.

Заедно с частни има обща теоремаотносно повторението на експериментите (вероятността събитие да се променя от експеримент на експеримент), чието разглеждане е извън обхвата на този курс.

Пример 24

В работилницата има 10 електродвигателя, като вероятността всеки от тях да бъде изключен е 0,1. Двигателите са свързани към мрежата независимо един от друг. Определете вероятността три електрически двигателя да бъдат изключени наведнъж.

Решение. Условието на задачата съответства на схемата на повторните тестове на Й. Бернули. Решаваме проблема, като използваме специална теорема за повтарящи се експерименти, като вземем предвид, че има три изключени двигателя (вероятността за изключено състояние е 0,1) и 7 включени (вероятността за включено състояние е 0,9):

=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.

Случайни величини и техните закони на разпределение

Заедно с случайни събитияДруга важна концепция в теорията на вероятностите е концепцията за „случайна променлива“ (RV).

величина е количествена характеристика на резултата от експеримент.

Всички величини са разделени на две големи групи: неслучайни и случайни.

Неслучаен (детерминиран) - това са величини, които в резултат на опита придобиват предварително определена, известна стойност. Например часът на изгрев и залез, датата на новата година, броят на пръстите на ръцете на новороденото, броят на изпитите и контролните в един семестър.

Случаен (стохастичен)- това са величини, за които не се знае предварително каква стойност ще приемат в резултат на експеримента.

Случайните променливи от своя страна могат да бъдат дискретни или непрекъснати.

Отделенса онези SV, които в опит приемат една от много възможни стойности и тези стойности, ако желаете, могат да бъдат изброени или номерирани, т.е. това множество е крайно. Най-често (макар и не непременно) това са цели числа, неотрицателни стойности. Например, Ооценка на студента от изпита; броят на космите на главата, броят на работниците в цеха ED.

Непрекъснато те наричат ​​такива SV, които в опит приемат една от възможните стойности и броят на тези стойности, дори в много малък интервал, е безкрайно голям. С други думи, наборът от възможни стойности на непрекъснат SV е неизброим. Например нивото на напрежение в мрежата, продължителността на работа на електропровода преди повреда, височината и теглото на човек, теглото на писалка.

Имена на случайни величини обикновено се обозначава с главни букви латиница - X,Y; А стойности , кои случайни променливи вземат в експеримента, – малка буква - x, y.

Различните стойности на една и съща случайна променлива не се наблюдават еднакво често. Например мъжете носят номер 42 много по-често от номер 46; Мрежовото напрежение е много по-често в диапазона 215-225 V, отколкото в диапазона 225-235 V.

Връзката между стойностите на случайна променлива и вероятностите за тяхното възникване се установява от закон за разпределение на случайна променлива. Казват, че SV се разпределя (подчинява) според един или друг закон за разпределение. Има няколко форми за определяне на закона за разпределение:

· под формата на таблица (табличен);

· под формата на чертеж (графично);

формула (аналитично).

Методи за уточняване на законите на разпределение на случайни величини

Всички методи за уточняване на закономерностите на разпространение на SW могат условно да бъдат разделени на теоретични и статистически. Теоретични закониразпределенията отразяват истинските закони, съществуващи в природата. За установяването им, съгласно закона за големите числа, е необходимо да се обработи почти безкрайно количество информация. На практика такива закони се установяват на базата на ограничено количество статистически данни и се формализират от един или друг статистическиначини. Статистиката често се нарича експериментален (емпиричен)). Всеки теоретичен метод за определяне на закона за разпределение (DLR) има статистически аналогии (STL). Нека разгледаме тези методи.

ТЗР-1. Разпределителна серия SV

Серията на разпределение е таблица, в която, от една страна, са посочени стойностите на случайна променлива, а от друга - техните вероятности (Таблица 2). В серията за разпределение стойностите на SV са подредени по подреден начин - докато се увеличават.

Общата вероятност на тези стойности, равна на единица, се разделя между всички възможни стойности на SV. Следователно сумата от всички вероятности на серията на разпределение е равна на единица: = 1

Таблица 2. Серия на разпределение на SV

„Мога да призная напълно, че красивата героиня, бягаща за живота си, може да се окаже на криволичеща и опасна планинска пътека. По-малко вероятно, но все пак възможно, мостът над бездната щеше да се срути точно когато тя стъпи върху него. Изключително малко вероятно е в последния момент тя да грабне стръкче трева и да увисне над бездната, но дори и с тази възможност мога да се съглася. Много е трудно, но все пак можете да повярвате, че красив каубой ще мине точно по това време и ще помогне на нещастната жена. Но в този момент там да присъства оператор с камера, готов да заснеме всички тези вълнуващи събития на филм, няма да повярвам!“

Нилс Бор за каубойските уестърни

Една от централните концепции на теорията на вероятностите е концепцията за случайна променлива:

Случайна стойност- това е величина, която в резултат на тестване ще приеме една и само една възможна стойност, предварително неизвестна и зависеща от случайни причини, които не могат да бъдат взети предвид предварително.

Случайните величини ще означаваме с букви от латинската азбука х, Y, З

Случайна променлива е:

отделен

непрекъснато

смесени (дискретни-
непрекъснато)

Пример:зарове. Изтегленото число е случайна променлива, която може да приеме една от възможните стойности - 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с еднаква вероятност*.

Пример:височина на ученика - височината на ученика може да приеме всяка от следните стойности: числов интервал 1 m до 2,5 m са безкрайни.

Закон за разпределение на дискретна случайна величина

За да посочите дискретна случайна променлива, не е достатъчно да посочите всички нейни възможни стойности;

Закон за разпределение на дискретна случайна величинанаричаме съответствието между възможните стойности на случайна променлива и вероятностите за тяхното възникване.

Законът за разпределение може да бъде зададен таблично, аналитично (под формата на формула) или графично (под формата на многоъгълник на разпределение).

Помислете за случайната променлива х, който приема стойностите х 1, х 2, х 3 . x nс известна вероятност p i , Където аз= 1.. n. Сума от вероятности p i е равно на 1.

Таблица на съответствието между стойностите на случайна променлива и техните вероятности във формата

Наречен близо до разпределението на дискретна случайна променливаили просто близка дистрибуция. Тази таблица е най-удобната форма за определяне на дискретна случайна променлива.

Графичното представяне на тази таблица се нарича разпределителен полигон.Възможните стойности на дискретна случайна променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните вероятности са нанесени по ординатната ос.

Числени характеристики на дискретни случайни величини

Законът за разпределение напълно характеризира дискретна случайна променлива. Въпреки това, когато е невъзможно да се определи законът за разпределение или това не се изисква, можете да се ограничите до намирането на стойности, наречени числени характеристики на случайна променлива:

• Очаквана стойност,
• дисперсия,
• Стандартно отклонение

Тези стойности определят някаква средна стойност, около която се групират стойностите на случайната променлива, и степента, в която те са разпръснати около тази средна стойност.

Очакване Мдискретна случайна променлива е средната стойност на случайната променлива, равна на сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и техните вероятности.

Свойства на математическото очакване:

За да се опишат много практически важни свойства на случайна променлива, е необходимо да се знае не само нейното математическо очакване, но и отклонението на възможните й стойности от средната стойност.

Дисперсия на случайна променлива- мярка за разпространението на случайна променлива, равна на математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване.

Като се имат предвид свойствата на математическото очакване, лесно е да се покаже това

Изглежда естествено да се разглежда не квадратът на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване, а просто отклонението. въпреки това очаквана стойносттова отклонение е нула. Това се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, други са отрицателни и в резултат на взаимното им премахване се получава нула. Може да се приеме математическото очакване на модула на отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване като мярка за разсейване, но като правило действията, свързани с абсолютни стойности, водят до тромави изчисления.

Дисперсионни свойства:

1. Дисперсията на константата е нула.
2. Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат.
3. Ако х И г независими случайни променливи, тогава дисперсията на сумата от тези величини е равна на сумата от техните дисперсии.

Стандартно отклонениеслучайна променлива (понякога терминът „ стандартно отклонение на случайна променлива ") е число, равно на

Следователно стандартното отклонение, подобно на дисперсията, е мярка за дисперсията на разпределението, но се измерва, за разлика от дисперсията, в същите единици, които се използват за измерване на стойностите на случайна променлива.

Повторение на тестове. Формула на Бернули.

Вероятността произволно хвърлена монета да падне с герба нагоре е 1/2. Така че, знаейки вероятността от събитие, можем да предвидим, че когато хвърлим монета сто пъти, гербът ще се появи 50 пъти? Не е задължително да е точно 50. Но определено е нещо около това.

Якоб Бернули (1654-1705) строго доказва вероятността едно събитие Аще дойде точно кпъти по време на независим нтестове е равно на





Където стр— вероятност за настъпване на събитие А, р— вероятността от възникване на противоположното събитие.

flash-library.narod.ru

Метод за определяне на дискретни случайни променливи 736

ОЩЕ МАТЕРИАЛИ ПО ТЕМАТА:

Да предположим, че се интересуваме от дискретна случайна променлива х. За да го опишем напълно, е достатъчно да посочим всичките му възможни значения х 1 , х 2 , . x n(Тук н— дадено цяло число) и вероятности Р X= x i>= p i, Където аз = 1, 2, . н, с които се приемат тези стойности. Обикновено всички тези стойности се записват в таблична форма (Таблица 3.1).

Таблицата се нарича закон за разпределение на дискретна случайна променлива (сравнете го с вариационните серии на дискретна статистическа характеристика, за да видите връзката между статистиката и теорията на вероятностите).

Тъй като за всяко изпълнение на даден набор от условия случайната променлива хможе да вземе само една стойност от много възможни стойности, тогава тези стойности представляват пълна група от несъвместими събития. Тогава, въз основа на следствие 2 от правилото за добавяне на вероятности, условието трябва да бъде изпълнено. Нарича се нормализиращо състояние.

Графично законът за разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде представен като начупена линия - многоъгълник (фиг. 3.2) (тук отново е уместно да си припомним вариационни серии).



Ориз. 3.2. Графично изображениеразпределителен закон
дискретна случайна променлива

Ако наборът от възможни стойности на дискретна случайна променлива е безкраен, но изброим, тогава законът за разпределение ще приеме формата (Таблица 3.2):

Лекция 1_06: Теория на вероятностите. Случайни променливи

При действителното използване на теорията на вероятностите никога не се разглежда пространството на елементарните събития. Тази концепция е необходима за теоретични обосновки на вероятностни схеми. Най-често разглежданите са произволни схеми, при които събитието е появата на число. За такива схеми се въвежда концепцията за случайна променлива. Нашата лекция ще бъде посветена на това понятие. Ще разгледаме случайните променливи, методите за тяхното определяне (т.нар. закони за разпределение), числените характеристики на случайните променливи, както и най-често срещаните закони за разпределение.

Случайна променлива е преобразуване на набор от елементарни събития в набор от реални (или цели) числа

Приема се следната схема: в резултат на случаен експеримент се избира едно от елементарните събития, от него се изчислява стойността на функцията и тази стойност се наблюдава. Споменатото картографиране определя вероятностите за възникване на определени стойности на случайна променлива.

Например, нека наборът от елементарни събития се състои от хвърляне на зар два пъти, което дава 36 елементарни резултата. Нека функцията ξ се дефинира като сбор от стойностите, хвърлени на зара. Очевидно такава случайна променлива може да приема стойности от 2 до 12. В този случай стойността 2 съответства на едно елементарно събитие и, да речем, стойността 9 - четири: (3.6), (4.5), (5.4) и (6.3).

Обикновено не се наблюдават и изучават елементарни събития, много от които са напълно непознати за нас, а случайни променливи. За да зададете тяхното вероятностно поведение, трябва да зададете вероятностите случайната променлива да приеме една или друга стойност. Можем да дефинираме примера за случайна променлива, който разгледахме, както следва:

Опитайте се сами да създадете таблица на вероятностите за сумата от точки от три хвърлени зара.

Определянето на вероятностите, с които една случайна променлива приема своите стойности, се нарича нейният закон за разпределение.

Функция на разпределение на случайна променлива

Един от най-важните начини за определяне на закон за разпределение е да се определи функция на разпределение.

Функцията на разпределение на случайна променлива ξ е функцията

На снимката се вижда
функция на разпределение на случайната променлива, разглеждана като пример.

За по-голяма яснота зоната под функционалната графика е оцветена в сиво. Ясно се вижда, че тази функция е монотонно ненамаляваща и частично постоянна. Има скокове в точки, съответстващи на стойности, чиято вероятност е положителна.

Такава функция на разпределение често се нарича интеграл. Когато е непрекъсната и има производна, тази производна често се нарича плътност на разпределение. Ако функцията на разпределение, както в нашия пример, е частично постоянна, тогава ролята на плътност може да се играе от набор от скокове.

Задаването на произволна функция на разпределение е трудна задача. За да се опростят нещата, се използват два подхода.

Първо, често можете да се ограничите до някои много прости числени характеристики на случайна променлива.

Второ, има често срещани класове вероятностни разпределения и често, въз основа на някои „моделни“ съображения, е възможно да се разбере към кой клас принадлежи дадено разпределение. В този случай е достатъчно само да зададете параметрите на това разпределение.

Сега ще разгледаме тези подходи.

Характеристики на случайните величини

Нека е дадена случайна променлива ξ, приемаща краен брой стойности а 1 , а 2 , . а кс вероятности
стр 1 , стр 2 , . стр к. Математическото очакване на тази случайна променлива е сумата дξ = Σ азОколо 1: к стр аз а аз .

Как се определя математическото очакване за по-общ случай трябва да се обсъди отделно: използват се интеграли, но вече сте научили, че интегралът се определя чрез интегрални суми, а за случайни променливи можете да въведете дискретни случайни променливи, близки до тях, чиито математически очаквания ще играят ролята на интегрални суми за математическото очакване на оригиналната случайна променлива.

Математическото очакване, както се вижда от тази формула, може да се тълкува като център на тежестта на нарастването на масата стр аз, концентрирани в точки а аз. Естествено, неговите свойства са добре познати на нас като свойства на центъра на тежестта:

4. а, т.е., ако к= 1, тогава дξ = а,
5. ако η = ° Сξ, където ° С- тогава постоянно дη = ° Сдξ ,
6. за всякакви ξ и η важи д(ξ + η) = дξ + дη .

Дисперсията на случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на тази случайна променлива от нейното математическо очакване.

Това определение първоначално предизвиква тих ужас. Всъщност това е много удобно словесно описание на формулата. Думите математическо очакване означават, че трябва да пишем
дξ = д (.)
площад изяснява
дξ = д (.) 2
отклоненията вече се отнасят за израза в скоби
дξ = д (. − .) 2
случайна променлива от нейното математическо очакване завършва писането на формулата
дξ = д (ξ − дξ) 2

Дисперсията може да се тълкува като инерционния момент на същия набор от маси спрямо неговия център на тежестта. Неговите свойства също са ни познати:

7. ако случайна променлива с вероятност 1 приеме стойността а, Че дξ = 0,
8. ако η = ° Сξ, където ° С- тогава постоянно дη = ° С 2 дξ .
9. Бих искал да има равенство д(ξ + η) = дξ + дη, но е вярно само за случай на независими случайни променливи.

Случайните променливи ξ и η се наричат ​​независими, ако има такива аИ bсъбитията са независими

Лесно е да се провери, че ако сумираме ннезависими и еднакво разпределени случайни величини с математическо очакване аи дисперсия b, то за тяхната сума математическото очакване и дисперсията са съответно равни n aИ n b, а за средноаритметичната – респ аИ б/н .

Това означава, че ако искаме да оценим число, което е математическото очакване на случайна променлива, можем да организираме случаен тест - наблюдавайте тази случайна променлива много пъти и изчислете средното аритметично. Неговата дисперсия около истинската стойност ще намалее с увеличаване на броя на наблюденията: ако я измерите сто пъти, тя ще намалее десет пъти (тъй като не самата дисперсия е важна, а нейният корен). Този факт е в основата на важен изчислителен метод за статистическо моделиране.

Имайте предвид, че по аналогия със случайните събития можем да разграничим взаимно независими и независими по двойки случайни променливи. За споменатото свойство на дисперсиите е достатъчно случайните променливи да са независими по двойки. Има и други използвани характеристики, но тези са най-важните. Сега ще разгледаме някои важни видове разпределения и всеки път ще посочваме тяхното математическо очакване.

Видове разпределения

Равномерно разпределение

Случайната променлива се разпределя равномерно в интервала [ а,b] , Където а, ако неговата функция на разпределение
Е(х) е равно на 0 при х, 1 at х > bи се променя линейно от 0 до 1 at а .

(а + b)/2, а дисперсията е ( b − а) 2 /12 .

Фигурата показва графика на тази функция на разпределение за а= 0 и b = 1 .

Този закон на разпределение е много важен за нас, тъй като всички стандартни компютърни сензори на случайни променливи (псевдослучайни числа) моделират точно такива случайни променливи и от тях се създават нужните ни случайни променливи.

Експоненциално разпределение

Случайна променлива се разпределя експоненциално или експоненциално, ако е неотрицателна и Е(х) = 1 − exp(−λ х), където λ е положителна константа.

Математическото очакване на такава случайна променлива е λ − 1, а дисперсията е λ − 2.

Фигурата показва графика на тази функция на разпределение за λ = 3.

Често срещаме този закон за разпределение в приложения, особено в радиотехниката и комуникациите. По-специално, често се приема, че времето за разговор на двама абонати се разпределя по експоненциален закон.

Нормална дистрибуция

Това е най-популярното от стандартните вероятностни разпределения и на пръв поглед може да изглежда странно, че такава сложна формула е най-често срещаната.

Случайна променлива се разпределя нормално или гаусово, ако (вдясно е портрет на К. Ф. Гаус (1777-1855))



Тази функция зависи от параметрите аи σ. Математическото очакване на такава случайна променлива е равно на а, а дисперсията е σ 2.



Графиката показва стандартна функция с а= 0 и σ = 1.

Причината за честото появяване на този закон в приложенията е, че при добавяне на случайни променливи много често разпределението на тяхната сума, разглеждана като случайна величина, се доближава до нормалното.

Няма да се появи в нашите задачи, но би било неприлично да не го споменаваме.

Разпределение на Бернули

Това най-просто дискретно разпределение е кръстено на швейцарския математик Якоб Бернули Стари (1654-1705) (има и по-млад, който работи в Санкт Петербург).

Случайна променлива е разпределена на Бернули, ако приема само две стойности. Обикновено тези стойности са 1, вероятността за което е стр ,
и 0, вероятността за което е р = 1 − стр.

Математическото очакване на такава случайна променлива е равно на стр, а дисперсията е pq .

Разбира се, можете сами да създадете такъв график.

Законът на Бернули е много удобен за всякакви моделни конструкции, той е само малко по-сложен от неговия частен случай - хвърляне на монета, където стр = 1/2 .

Биномиално разпределение

Случайна променлива ξ, равна на сумата ннезависими идентични случайни променливи на Бернули има биномиално разпределение. За нея

Математическото очакване на такава случайна променлива е равно на н.п., а дисперсията е npq .

Биномиално разпределение с нарастващ брой членове нстава много подобно на нормално разпределение.

Трябва само да нормализирате по подходящ начин случайната променлива: извадете математическото очакване и разделете на корена на дисперсията, т.е. вземете предвид вместо ξ
η = (ξ — н.п.)(npq) − 1/2 .

Ако с растеж нвероятност стрнамалява и по такъв начин, че продуктът да се поддържа или стабилизира н.п., получаваме друго класическо разпределение, което сега ще опишем.

Поасоново разпределение

Това разпределение е предложено от френския математик Симеон Поасон (1781-1840), почетен член на Петербургската академия на науките.

Случайната променлива ξ има Поасоново разпределение, ако

Математическото очакване на такава случайна променлива е λ, а дисперсията също е λ.



Разпределението на Поасон е типично за схемата на редките събития - в която много случайни променливи се сумират с разпределение на Бернули и много ниска вероятност за положителен резултат за всяка.

Например, беше отбелязано, че броят на писмата, пуснати в пощенска кутия с ненадписан плик, има разпределение на Поасон.

Упражнения

Случайната променлива приема стойности 0 с вероятност 0,3, 2 с вероятност 0,2, 4 с вероятност 0,5. Намерете неговото математическо очакване и дисперсия.

Две случайни променливи имат математическо очакване 0 и дисперсия 1. В какви граници може да варира дисперсията на тяхната сума? Конструирайте пример с най-голямото и най-ниска стойностдисперсия на сумата.

Изпитни въпроси

Случайни величини и техните функции на разпределение.

Очакване и дисперсия. Техните свойства.

www.math.spbu.ru

Образователен блог - всичко за учене

Повтарящи се експерименти

При практическо приложениеТеорията на вероятностите често среща проблеми, при които един и същ експеримент или подобни експерименти се повтарят многократно. В резултат на всеки експеримент някое събитие А може да се появи или да не се появи и ние не се интересуваме от резултата на всеки отделен експеримент, а от общия брой появявания на събитие А в резултат на серия от експерименти. IN подобни задачиизисква се да може да се определи вероятността за произволен брой случаи на събитие в резултат на поредица от експерименти. Те могат да бъдат решени съвсем просто в случай, че експериментите са независими.

Няколко експеримента се наричат ​​независими, ако вероятността за един или друг резултат от всеки експеримент не зависи от резултатите от другите експерименти.

Независими експерименти могат да се провеждат при същите или различни условия. В първия случай вероятността за събитие А във всички експерименти е една и съща P i (A) = const. Във втория случай вероятността за събитие A се променя от опит към опит P i (A) = var. Първият случай се отнася до конкретна теорема, а вторият случай до обща теорема за повторението на експериментите.

Формулиране на конкретна теорема за повторение на експерименти:
Ако се извършат n независими експеримента, във всеки от които събитие А се появява с вероятност p, тогава вероятността събитие А да се появи точно m пъти се изразява с формулата:

където q = 1 - p, C n m - броят на всички комбинации, т.е. броят начини, по които е възможно да се избере m от n експеримента, в които се е случило събитие А.

Формула на общата теорема:

където z е произволен параметър.

И като цяло, и в частния случай:

Случайни величини и закони на тяхното разпределение
Случайна променлива е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, неизвестна предварително каква.

Има два вида случайни променливи:
непрекъснато;
прекъснат (дискретен).

Нека се съгласим по-нататък случайните променливи да се обозначават с главни букви, а възможните им стойности със съответните малки букви.
Пример:
X е броят на ударите с три изстрела:
x 1 = 0;
х 2 = 1;
х 3 = 2;
х 4 = 3.

Нека разгледаме прекъсната случайна променлива X с възможни стойности x 1, x 2, ..., x n. Всяка от тези стойности е възможна, но не е сигурна и стойността X може да приеме всяка от тях с известна вероятност
X= x 1;
X= x 2;
X= x 3;
X= x 4.

∑P m,n = 1, тъй като несъвместимите събития образуват пълна група. Тази обща вероятност по някакъв начин се разпределя между отделните стойности. Случайната променлива ще бъде напълно описана от вероятностна гледна точка, ако е дадено това разпределение, т.е. то показва точно каква вероятност има всяко събитие. Това установява така наречения закон за разпределение на случайна променлива.

Закон за разпределение на случайна величинае всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности.

Законът за разпределение на прекъсната случайна променлива X може да бъде даден в следните форми:
табличен;
аналитичен;
графика.

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на прекъсната случайна променлива X е таблица.

Случайни променливи. Дискретна случайна променлива.
Очаквана стойност

Втори раздел на теория на вероятноститепосветен случайни променливи , които невидимо ни съпътстваха буквално във всяка статия по темата. И дойде моментът ясно да формулираме какво е това:

Случаен Наречен размер, които в резултат на теста ще вземе един и единственчислена стойност, която зависи от случайни фактори и е непредсказуема предварително.

Случайните променливи обикновено са обозначавампрез * , а значенията им се изписват със съответните малки букви с индекси, например .

* Понякога се използват и гръцки букви

Попаднахме на пример на първи урок по теория на вероятностите, където всъщност разгледахме следната случайна променлива:

– броя точки, които ще се появят след хвърляне на зара.

В резултат на този тест той ще изпадне един и единственлинията коя точно не може да се предвиди (не разглеждаме трикове); в този случай случайната променлива може да приеме една от следните стойности:

– броят на момчетата на 10 новородени.

Абсолютно ясно е, че този брой не е известен предварително и следващите десет родени деца може да включват:

Или момчета - един и единственот изброените опции.

И за да поддържате форма, малко физическо възпитание:

– дълъг скок (в някои единици).

Дори майстор на спорта не може да го предвиди :)

Вашите хипотези обаче?

Възможно най-скоро набор от реални числабезкрайно, тогава случайната променлива може да вземе безкрайно многостойности от определен интервал. И това е фундаменталната му разлика от предишните примери.

По този начин, Препоръчително е случайните променливи да се разделят на 2 големи групи:

1) Дискретни (прекъсващ)случайна променлива – приема индивидуални, изолирани стойности. Броят на тези стойности Със сигурностили безкраен, но изброим.

...има ли неясни термини? Ние спешно повтаряме основи на алгебрата!

2) Непрекъсната случайна променлива – приема всичкочислени стойности от някакъв краен или безкраен интервал.

Забележка : В учебна литературапопулярните съкращения DSV и NSV

Първо, нека анализираме дискретната случайна променлива, след това - непрекъснато.

Закон за разпределение на дискретна случайна величина

- Това кореспонденциямежду възможните стойности на това количество и техните вероятности. Най-често законът е написан в таблица:

Терминът се среща доста често ред разпространение, но в някои ситуации звучи двусмислено и затова ще се придържам към "закона".

И сега много важен момент: тъй като случайната променлива Задължителноще приеме една от ценностите, тогава се формират съответните събития пълна групаи сумата от вероятностите за тяхното възникване е равна на единица:

или, ако е написано съкратено:

Така, например, законът за разпределение на вероятността на точките, хвърлени на зара, има следната форма:

Може да останете с впечатлението, че дискретна случайна променлива може да приема само „добри“ цели числа. Нека разсеем илюзията - те могат да бъдат всякакви:

Някои игри имат следния печеливш закон за разпределение:

…сигурно отдавна сте мечтали за такива задачи 🙂 Ще ви издам една тайна – аз също. Особено след приключване на работата по теория на полето.

Решение: тъй като една случайна променлива може да приеме само една от трите стойности, се формират съответните събития пълна група, което означава, че сумата от техните вероятности е равна на едно:

Разобличаване на „партизанина”:

– по този начин вероятността да спечелите конвенционални единици е 0,4.

Контрол: това е, което трябваше да се уверим.

Отговор:

Не е необичайно, когато трябва сами да съставите закон за разпределение. За това те използват класическо определение на вероятността, теореми за умножение/събиране за вероятности за събитияи други чипове тервера:

Кутията съдържа 50 лотарийни билета, сред които 12 са печеливши, като 2 от тях печелят по 1000 рубли, а останалите - по 100 рубли. Съставете закон за разпределение на случайна величина - размера на печалбата, ако един билет е изтеглен на случаен принцип от кутията.

Решение: както забелязахте, стойностите на случайна променлива обикновено се поставят в във възходящ ред. Затова започваме с най-малките печалби, а именно рубли.

Общо има 50 такива билета - 12 = 38, а съгл класическа дефиниция:
– вероятността произволно изтеглен билет да бъде губещ.

В други случаи всичко е просто. Вероятността да спечелите рубли е:

И за :

Проверка: – и това е особено приятен момент от такива задачи!

Отговор: желания закон за разпределение на печалбите:

Следната задача трябва да решите сами:

Вероятността стрелецът да уцели целта е . Начертайте закон за разпределение на случайна променлива - брой попадения след 2 изстрела.

...Знаех си, че ти липсва :) Да си припомним теореми за умножение и събиране. Решението и отговорът са в края на урока.

Законът за разпределение напълно описва случайна променлива, но на практика може да бъде полезно (а понякога и по-полезно) да знаете само част от нея числови характеристики .

Очакване на дискретна случайна променлива

Какво е вероятностното значение на получения резултат? Ако хвърлите заровете достатъчно пъти, тогава средна стойностПадналите точки ще бъдат близо до 3,5 - и колкото повече тестове извършвате, толкова по-близо. Всъщност вече говорих подробно за този ефект в урока за статистическа вероятност.

Сега нека си припомним нашата хипотетична игра:

Възниква въпросът: изгодно ли е изобщо да играете тази игра? ...кой има впечатления? Така че не можете да го кажете „на ръце“! Но на този въпрос може лесно да се отговори чрез изчисляване на математическото очакване, по същество - среднопретеглена стойностпо вероятност за печалба:

По този начин, математическото очакване на тази игра губещ.

Не вярвайте на впечатленията си - вярвайте на числата!

Да, тук можете да спечелите 10 или дори 20-30 пъти подред, но в дългосрочен план ни очаква неизбежна гибел. И не бих ви посъветвал да играете такива игри :) Е, може би само за забавление.

От всичко по-горе следва, че математическото очакване вече не е СЛУЧАЙНА стойност.

Творческа задача за самостоятелно изследване:

Г-н X играе европейска рулетка по следната система: той постоянно залага 100 рубли на „червено“. Съставете закон за разпределение на случайна променлива - нейните печалби. Изчислете математическото очакване на печалбите и го закръглете до най-близката копейка. Колко средно аритметичноИграчът губи ли за всеки сто, който е заложил?

справка : Европейската рулетка съдържа 18 червени, 18 черни и 1 зелен сектор („нула“). Ако се появи „червено“, на играча се плаща двоен залог, в противен случай той отива към приходите на казиното

Има много други системи за рулетка, за които можете да създадете свои собствени вероятностни таблици. Но това е случаят, когато не се нуждаем от закони и таблици за разпределение, защото е установено със сигурност, че математическото очакване на играча ще бъде абсолютно същото. Единственото нещо, което се променя от система на система е дисперсия, с които ще научим във 2-ра част на урока.

Но първо ще бъде полезно да опънете пръстите си върху клавишите на калкулатора:

Случайната променлива се определя от нейния закон за разпределение на вероятностите:

Намерете дали е известно, че . Извършете проверка.

След това да преминем към учене дисперсия на дискретна случайна променливаи ако е възможно,

Какво включва медицинският преглед (по ред 302н) При провеждане на медицински преглед по ред № 302н всеки е длъжен да премине: клинично изследване на урината; […]

Държавна програма за подпомагане на доброволното преселване на сънародници, живеещи в чужбина, в Руската федерация. Инструкции стъпка по стъпка за участниците в Държавната […]

Нека да разберем какъв трябва да бъде размерът на минималната пенсия за лице с увреждания от група 2 Сега държавата предоставя помощ на социално уязвимите слоеве от населението по различни начини. Специална грижа [...]