Kolegij predavanja iz tehničke mehanike. Tehnička mehanika. Bilješke s predavanja Teorijska mehanika predavanja 2 kolegij

Predavanja iz teorijske mehanike

Dinamika točaka

Predavanje 1

    Osnovni pojmovi dinamike

U poglavlju Dinamika proučava se kretanje tijela pod djelovanjem sila koje se na njih primjenjuju. Stoga, pored onih pojmova koji su uvedeni u odjeljku Kinematika, ovdje je potrebno koristiti nove koncepte koji odražavaju specifičnosti utjecaja sila na razna tijela i reakcija tijela na te utjecaje. Razmotrimo glavne od ovih koncepata.

a) snaga

Sila je kvantitativni rezultat utjecaja drugih tijela na određeno tijelo. Sila je vektorska veličina (slika 1).



Točka A početka vektora sile F pozvao točka primjene sile. Zove se pravac MN na kojem se nalazi vektor sile linija sile. Duljina vektora sile, mjerena na određenoj skali, naziva se brojčana vrijednost ili modul vektora sile. Modul sile se označava kao ili . Djelovanje sile na tijelo očituje se ili u njegovoj deformaciji, ako tijelo miruje, ili u davanju ubrzanja kada se tijelo kreće. Na tim manifestacijama sile temelji se uređaj različitih instrumenata (mjera sile ili dinamometara) za mjerenje sila.

b) sustav sila

Razmatrani skup sila se formira sustav sila. Svaki sustav koji se sastoji od n sila može se zapisati u sljedećem obliku:

c) slobodno tijelo

Tijelo koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru, a da ne doživi izravnu (mehaničku) interakciju s drugim tijelima naziva se besplatno ili izolirani. Utjecaj jednog ili drugog sustava sila na tijelo može se razjasniti samo ako je ovo tijelo slobodno.

d) rezultantna sila

Ako bilo koja sila ima isti učinak na slobodno tijelo kao neki sustav sila, tada se ta sila naziva rezultanta ovog sustava sila. Ovo je napisano kako slijedi:

,

što znači ekvivalencija utjecaj na isto slobodno tijelo rezultante i nekog sustava n sila.

Prijeđimo sada na razmatranje složenijih pojmova vezanih uz kvantitativno određivanje rotacijskih učinaka sila.

e) moment sile u odnosu na točku (centar)

Ako se tijelo pod utjecajem sile može rotirati oko neke fiksna točka O (slika 2), tada se za kvantitativnu ocjenu ovog rotacijskog učinka uvodi fizička veličina, tzv. moment sile oko točke (centra).

Zove se ravnina koja prolazi kroz zadanu fiksnu točku i liniju djelovanja sile ravnina sile. Na slici 2 to je ravnina OAV.

Moment sile u odnosu na točku (središte) je vektorska veličina jednaka vektorskom proizvodu radijus vektora točke primjene sile vektorom sile:

( 1)

Prema pravilu vektorskog množenja dvaju vektora, njihov vektorski umnožak je vektor okomit na ravninu položaja vektora faktora (u ovom slučaju ravninu trokuta OAB), usmjeren u smjeru iz kojeg je najkraći zaokret od prvi faktor vektor u drugi faktor vektor vidljivo na satu (slika 2). Ovim redoslijedom vektora faktora križnog proizvoda (1) rotacija tijela pod djelovanjem sile bit će vidljiva prema satu (slika 2) Budući da je vektor okomit na ravninu sile , njegov položaj u prostoru određuje položaj ravnine sile Brojčana vrijednost vektora momenta sile u odnosu na središte jednaka je dvostrukoj površini OAV i može se odrediti formulom:

, (2)

gdje veličinah, jednaka najkraćoj udaljenosti od zadane točke O do linije djelovanja sile, naziva se krakom sile.

Ako položaj ravnine djelovanja sile u prostoru nije bitan za karakterizaciju rotacijskog djelovanja sile, onda u ovom slučaju, za karakterizaciju rotacijskog djelovanja sile, umjesto vektora momenta sile, algebarski moment sile:

(3)

Algebarski moment sile u odnosu na zadano središte jednak je umnošku modula sile i njenog ramena, uzetog sa predznakom plus ili minus. U tom slučaju pozitivan moment odgovara rotaciji tijela pod djelovanjem zadane sile prema satu, a negativni moment odgovara rotaciji tijela u smjeru sata. Iz formula (1), (2) i (3) slijedi da moment sile u odnosu na točku jednak je nuli samo ako je krak ove silehnula. Takva sila ne može rotirati tijelo oko određene točke.

f) Moment sile oko osi

Ako se tijelo pod utjecajem sile može rotirati oko neke fiksna osovina(na primjer, rotacija okvira vrata ili prozora u šarkama kada su otvoreni ili zatvoreni), tada se uvodi fizička veličina za kvantificiranje ovog rotacijskog efekta, koji se naziva moment sile oko date osi.

z

b Fxy

Slika 3 prikazuje dijagram u skladu s kojim se određuje moment sile oko z-osi:

Kut  čine dva okomita smjera z i na ravnine trokuta O ab i OAV, respektivno. Budući da  O ab je projekcija OAV na xy ravninu, tada prema teoremu o stereometriji o projekciji ravne figure na zadanu ravninu imamo:

gdje znak plus odgovara pozitivnoj vrijednosti cos, tj. oštri uglovi, a znak minus odgovara negativnoj vrijednosti cos, tj. tupim kutovima , zbog smjera vektora . Zauzvrat, SO ab=1/2abh, gdje h ab . Vrijednost segmenta ab jednaka je projekciji sile na xy ravninu, tj. . ab = F xy .

Na temelju prethodno navedenog, kao i jednakosti (4) i (5), određujemo moment sile oko z-osi na sljedeći način:

Jednakost (6) nam omogućuje da formuliramo sljedeću definiciju momenta sile oko bilo koje osi: Moment sile oko dane osi jednak je projekciji na ovu os vektora momenta te sile u odnosu na bilo koju točku ovu os i definira se kao umnožak projekcije sile na ravninu okomitu na zadanu os, uzetu sa predznakom plus ili minus na ramenu ove projekcije u odnosu na točku presjeka osi s ravninom projekcije. U ovom slučaju, predznak trenutka smatra se pozitivnim ako je, gledajući iz pozitivnog smjera osi, rotacija tijela oko ove osi vidljiva na satu. Inače, moment sile oko osi uzima se kao negativan. Budući da je ovu definiciju momenta sile u odnosu na os prilično teško zapamtiti, preporuča se zapamtiti formulu (6) i sl. 3, koja objašnjava ovu formulu.

Iz formule (6) proizlazi da moment sile oko osi je nula ako paralelna je s osi (u ovom slučaju njezina projekcija na ravninu okomitu na os jednaka je nuli), ili linija djelovanja sile siječe os (tada krak projekcije h=0). To u potpunosti odgovara fizičkom značenju momenta sile oko osi kao kvantitativne karakteristike rotacijskog djelovanja sile na tijelo s osi rotacije.

g) tjelesna težina

Odavno je zapaženo da pod utjecajem sile tijelo postupno povećava brzinu i nastavlja se kretati ako se sila ukloni. To svojstvo tijela, da se odupiru promjeni svog gibanja, zvalo se tromosti ili tromosti tijela. Kvantitativna mjera tromosti tijela je njegova masa. Osim, masa tijela je kvantitativna mjera djelovanja gravitacijskih sila na dano tijelošto je masa tijela veća, to veća sila gravitacije djeluje na tijelo. Kao što će biti prikazano u nastavku, uh Ove dvije definicije tjelesne težine su povezane.

Drugi koncepti i definicije dinamike bit će raspravljeni kasnije u odjeljcima gdje se prvi put pojavljuju.

2. Veze i reakcije veza

Ranije u odjeljku 1 točka (c) dan je koncept slobodnog tijela, kao tijela koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru, a da nije u izravnom kontaktu s drugim tijelima. Većina stvarnih tijela koja nas okružuju u izravnom je kontaktu s drugim tijelima i ne mogu se kretati u jednom ili drugom smjeru. Tako se, na primjer, tijela koja se nalaze na površini stola mogu kretati u bilo kojem smjeru, osim u smjeru okomitom na površinu stola prema dolje. Vrata sa šarkama mogu se okretati, ali se ne mogu kretati naprijed itd. Tijela koja se ne mogu kretati u prostoru u jednom ili drugom smjeru nazivaju se nije besplatno.

Sve što ograničava kretanje danog tijela u prostoru naziva se vezama. To mogu biti neka druga tijela koja sprječavaju kretanje ovog tijela u nekim smjerovima ( fizičke veze); šire gledano, to mogu biti neki uvjeti nametnuti kretanju tijela, ograničavajući to kretanje. Dakle, možete postaviti uvjet da se kretanje materijalne točke dogodi duž zadane krivulje. U ovom slučaju, veza je određena matematički u obliku jednadžbe ( jednadžba veze). U nastavku će se detaljnije razmotriti pitanje o vrstama poveznica.

Većina veza nametnutih tijelima su praktički fizičke veze. Stoga se postavlja pitanje interakcije datog tijela i povezanosti nametnute tom tijelu. Na ovo pitanje odgovara aksiom o međudjelovanju tijela: Dva tijela djeluju jedno na drugo silama jednakim po veličini, suprotnog smjera i smještene na istoj pravoj liniji. Te se sile nazivaju interakcijske sile. Interakcione sile se primjenjuju na različita tijela koja djeluju. Tako, na primjer, tijekom interakcije zadanog tijela i veze, jedna od interakcijskih sila primjenjuje se sa strane tijela na spoj, a druga sila interakcije primjenjuje se sa strane veze na dano tijelo. . Ova posljednja moć se zove sila reakcije veze ili jednostavno, reakcija veze.

Pri rješavanju praktičnih zadataka dinamike potrebno je znati pronaći smjer reakcija različite vrste veze. Opće pravilo za određivanje smjera reakcije veze ponekad može pomoći u tome: Reakcija veze je uvijek usmjerena suprotno od smjera u kojem ta veza sprječava kretanje danog tijela. Ako se ovaj smjer može definitivno odrediti, tada će reakcija veze biti određena smjerom. Inače, smjer reakcije veze je neodređen i može se pronaći samo iz odgovarajućih jednadžbi gibanja ili ravnoteže tijela. Detaljnije treba proučiti pitanje vrsta veza i smjera njihovih reakcija prema udžbeniku: S.M. Targ Kratki tečaj teorijske mehanike "Viša škola", M., 1986. Pogl.1, §3.

U odjeljku 1, točka (c), rečeno je da se učinak bilo kojeg sustava sila može u potpunosti odrediti samo ako se ovaj sustav sila primijeni na slobodno tijelo. Budući da većina tijela, zapravo, nije slobodna, onda se radi proučavanja kretanja tih tijela postavlja pitanje kako ta tijela učiniti slobodnima. Na ovo pitanje je odgovoreno aksiom povezanosti predavanja na filozofija kod kuće. Predavanja bili... socijalna psihologija i etnopsihologije. 3. Teorijski rezultati u socijaldarvinizmu bili su...

  • teorijski Mehanika

    Vodič >> Fizika

    Sažetak predavanja na predmet TEORIJSKI MEHANIKA Za studente specijalnosti: 260501,65 ... - redoviti Sažetak predavanja sastavljeno na temelju: Butorin L.V., Busygina E.B. teorijski Mehanika. Edukativni i praktični vodič...

    • Pogled: ovaj članak je pročitan 32852 puta

    Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski

    Kratka recenzija

    Cijeli materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika


    • Statika
      • Osnovni pojmovi statike
      • Vrste sila
      • Aksiomi statike
      • Veze i njihove reakcije
      • Sustav konvergentnih sila
        • Metode određivanja rezultantnog sustava sila koje se konvergiraju
        • Uvjeti ravnoteže za sustav konvergirajućih sila
      • Moment sile oko centra kao vektor
        • Algebarska vrijednost momenta sile
        • Svojstva momenta sile oko centra (točke)
      • Teorija parova sila
        • Zbrajanje dviju paralelnih sila u istom smjeru
        • Zbrajanje dviju paralelnih sila usmjerenih u suprotnim smjerovima
        • Parovi snage
        • Teoremi o par sila
        • Uvjeti za ravnotežu sustava parova sila
      • Ruka poluge
      • Proizvoljni ravninski sustav sila
        • Slučajevi svođenja ravnog sustava sila na jednostavniji oblik
        • Uvjeti analitičke ravnoteže
      • Centar paralelnih snaga. Centar gravitacije
        • Centar paralelnih snaga
        • Težište krutog tijela i njegove koordinate
        • Težište volumena, ravnina i linija
        • Metode za određivanje položaja težišta
    • Osnove trkača za snagu
      • Problemi i metode otpornosti materijala
      • Klasifikacija opterećenja
      • Klasifikacija konstrukcijskih elemenata
      • Deformacije šipke
      • Glavne hipoteze i principi
      • Unutarnje sile. Metoda presjeka
      • napon
      • Napetost i kompresija
      • Mehaničke karakteristike materijala
      • Dopuštena naprezanja
      • Tvrdoća materijala
      • Dijagrami uzdužnih sila i naprezanja
      • Shift
      • Geometrijske karakteristike presjeka
      • Torzija
      • savijati se
        • Diferencijalne ovisnosti u savijanju
        • Čvrstoća na savijanje
        • normalna naprezanja. Proračun čvrstoće
        • Smična naprezanja pri savijanju
        • Ukočenost na savijanje
      • Elementi opće teorije naponskog stanja
      • Teorije snage
      • Savijanje s uvijanjem
    • Kinematika
      • Kinematika točke
        • Putanja točke
        • Metode za određivanje kretanja točke
        • Brzina točke
        • točkasto ubrzanje
      • Kinematika krutog tijela
        • Translacijsko gibanje krutog tijela
        • Rotacijsko gibanje krutog tijela
        • Kinematika zupčastih mehanizama
        • Ravnoparalelno gibanje krutog tijela
      • Složeno kretanje točke
    • Dinamika
      • Osnovni zakoni dinamike
      • Dinamika točaka
      • Dinamika krutog tijela
        • Klasifikacija sila koje djeluju na mehanički sustav
        • Diferencijalne jednadžbe gibanja mehaničkog sustava
      • Opći teoremi dinamike
        • Teorem o gibanju središta mase mehaničkog sustava
        • Teorem o promjeni količine gibanja
        • Teorem o promjeni kutnog momenta
        • Teorem promjene kinetičke energije
    • Sile koje djeluju u strojevima
      • Sile u zahvatu cilindričnog zupčanika
      • Trenje u mehanizmima i strojevima
        • Trenje klizanja
        • trenje kotrljanja
      • Učinkovitost
    • Dijelovi strojeva
      • Mehanički prijenosnici
        • Vrste mehaničkih zupčanika
        • Osnovni i izvedeni parametri mehaničkih zupčanika
        • zupčanici
        • Zupčanici s fleksibilnim karikama
      • Osovine
        • Svrha i klasifikacija
        • Proračun dizajna
        • Provjerite izračun osovina
      • Ležajevi
        • Klizni ležajevi
        • Kotrljajni ležajevi
      • Spajanje dijelova stroja
    • Standardizacija normi, zamjenjivost
      • Tolerancije i slijetanja
      • Jedinstveni sustav tolerancija i slijetanja (ESDP)
      • Odstupanje oblika i položaja

    Format: pdf

    Veličina: 4MB

    ruski jezik

    Primjer proračuna cilindričnog zupčanika
    Primjer proračuna cilindričnog zupčanika. Proveden je izbor materijala, proračun dopuštenih naprezanja, proračun kontaktne i savijajuće čvrstoće.


    Primjer rješavanja problema savijanja grede
    U primjeru su ucrtani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran I-greda. U zadatku je analizirana konstrukcija dijagrama korištenjem diferencijalnih ovisnosti, provedena je komparativna analiza različitih presjeka greda.


    Primjer rješavanja problema torzije osovine
    Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine za zadani promjer, materijal i dopuštena naprezanja. Tijekom rješavanja grade se dijagrami momenta, posmičnih naprezanja i kutova zavoja. Vlastita težina osovine se ne uzima u obzir


    Primjer rješavanja problema napetosti-kompresije šipke
    Zadatak je ispitati čvrstoću čelične šipke pri zadanim dopuštenim naprezanjima. Tijekom rješavanja grade se dijagrami uzdužnih sila, normalnih naprezanja i pomaka. Vlastita težina šipke se ne uzima u obzir


    Primjena teorema o očuvanju kinetičke energije
    Primjer rješavanja problema primjene teorema o očuvanju kinetičke energije mehaničkog sustava



    Određivanje brzine i akceleracije točke prema zadanim jednadžbama gibanja
    Primjer rješavanja zadatka određivanja brzine i ubrzanja točke po zadane jednadžbe pokreti


    Određivanje brzina i akceleracija točaka krutog tijela tijekom ravninsko-paralelnog gibanja
    Primjer rješavanja problema određivanja brzina i ubrzanja točaka krutog tijela tijekom ravnoparalelnog gibanja


    Određivanje sila u planarnim rešetkama
    Primjer rješavanja problema određivanja sila u šipkama ravne rešetke Ritterovom metodom i metodom rezanja čvorova

    Teorijska mehanika je grana mehanike koja postavlja osnovne zakone mehaničko kretanje i mehanička interakcija materijalnih tijela.

    Teorijska mehanika je znanost u kojoj se proučavaju gibanja tijela tijekom vremena (mehanička kretanja). Služi kao osnova za druge dijelove mehanike (teorija elastičnosti, otpora materijala, teorija plastičnosti, teorija mehanizama i strojeva, hidroaerodinamika) i mnoge tehničke discipline.

    mehaničko kretanje- ovo je promjena tijekom vremena u relativnom položaju materijalnih tijela u prostoru.

    Mehanička interakcija- to je takva interakcija, uslijed koje se mijenja mehanički pokret ili se mijenja relativni položaj dijelova tijela.

    Statika krutog tijela

    Statika- Ovo je grana teorijske mehanike, koja se bavi problemima ravnoteže čvrstih tijela i pretvorbe jednog sustava sila u drugi, njemu ekvivalentan.

      Osnovni pojmovi i zakoni statike
    • Apsolutno čvrsta (čvrsto tijelo, tijelo) je materijalno tijelo, udaljenost između bilo koje točke u kojem se ne mijenja.
    • Materijalna točka je tijelo čije se dimenzije, prema uvjetima problema, mogu zanemariti.
    • labavo tijelo je tijelo, na čije se kretanje ne nameću ograničenja.
    • Neslobodno (vezano) tijelo je tijelo čije je kretanje ograničeno.
    • Veze- to su tijela koja sprječavaju kretanje predmeta koji se razmatra (tijela ili sustava tijela).
    • Komunikacijska reakcija je sila koja karakterizira djelovanje veze na kruto tijelo. Ako silu kojom kruto tijelo djeluje na vezu smatramo djelovanjem, tada je reakcija veze protudjelovanje. U ovom slučaju sila - djelovanje se primjenjuje na spoj, a reakcija veze primjenjuje se na čvrsto tijelo.
    • mehanički sustav je skup međusobno povezanih tijela ili materijalnih točaka.
    • Čvrsto može se smatrati mehaničkim sustavom čiji se položaji i udaljenost između točaka ne mijenjaju.
    • Sila je vektorska veličina koja karakterizira mehaničko djelovanje jednog materijalnog tijela na drugo.
      Silu kao vektor karakterizira točka primjene, smjer djelovanja i apsolutna vrijednost. Jedinica mjere za modul sile je Newton.
    • linija sile je ravna linija duž koje je usmjeren vektor sile.
    • Koncentrirana snaga je sila primijenjena u jednoj točki.
    • Raspodijeljene sile (raspodijeljeno opterećenje)- to su sile koje djeluju na sve točke volumena, površine ili duljine tijela.
      Raspodijeljeno opterećenje zadano je silom koja djeluje po jedinici volumena (površina, duljina).
      Dimenzija raspoređenog opterećenja je N / m 3 (N / m 2, N / m).
    • Vanjska sila je sila koja djeluje iz tijela koje ne pripada razmatranom mehaničkom sustavu.
    • unutarnja snaga je sila koja djeluje na materijalnu točku mehaničkog sustava iz druge materijalne točke koja pripada sustavu koji se razmatra.
    • Sustav sile je ukupnost sila koje djeluju na mehanički sustav.
    • Ravni sustav sila je sustav sila čije linije djelovanja leže u istoj ravnini.
    • Prostorni sustav snaga je sustav sila čije linije djelovanja ne leže u istoj ravnini.
    • Sustav konvergentnih sila je sustav sila čije se linije djelovanja sijeku u jednoj točki.
    • Samovoljni sustav sila je sustav sila čije se linije djelovanja ne sijeku u jednoj točki.
    • Ekvivalentni sustavi sila- to su sustavi sila čija zamjena jedne za druge ne mijenja mehaničko stanje tijela.
      Prihvaćena oznaka: .
    • Ravnoteža Stanje u kojem tijelo miruje ili se giba jednoliko pravocrtno pod djelovanjem sila.
    • Uravnotežen sustav snaga- to je sustav sila koji, kada se primijeni na slobodno čvrsto tijelo, ne mijenja svoje mehaničko stanje (ne izbalansira ga).
      .
    • rezultantna sila je sila čije je djelovanje na tijelo ekvivalentno djelovanju sustava sila.
      .
    • Trenutak snage je vrijednost koja karakterizira sposobnost rotacije sile.
    • Moćni par je sustav dviju paralelnih jednakih po apsolutnoj vrijednosti suprotno usmjerenih sila.
      Prihvaćena oznaka: .
      Pod djelovanjem nekoliko sila, tijelo će izvršiti rotacijsko gibanje.
    • Projekcija sile na os- ovo je segment zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu os.
      Projekcija je pozitivna ako se smjer segmenta poklapa s pozitivnim smjerom osi.
    • Projekcija sile na ravninu je vektor na ravnini zatvorenoj između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu ravninu.
    • Zakon 1 (zakon inercije). Izolirana materijalna točka miruje ili se giba jednoliko i pravocrtno.
      Jednoliko i pravocrtno gibanje materijalne točke je gibanje po inerciji. Stanje ravnoteže materijalne točke i krutog tijela shvaća se ne samo kao stanje mirovanja, već i kao kretanje po inerciji. Za kruto tijelo postoje različite vrste inercijskog gibanja, na primjer, jednoliko okretanje krutog tijela oko fiksne osi.
    • Zakon 2. Kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila samo ako su te sile jednake po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž zajedničke crte djelovanja.
      Ove dvije sile nazivaju se uravnoteženim.
      Općenito, za sile se kaže da su uravnotežene ako kruto tijelo na koje se te sile primjenjuju miruje.
    • Zakon 3. Bez narušavanja stanja (riječ "stanje" ovdje znači stanje gibanja ili mirovanja) krutog tijela, može se dodati i odbaciti sile ravnoteže.
      Posljedica. Bez narušavanja stanja krutog tijela, sila se može prenijeti duž njegove linije djelovanja na bilo koju točku tijela.
      Dva sustava sila nazivaju se ekvivalentnima ako se jedan od njih može zamijeniti drugim bez narušavanja stanja krutog tijela.
    • Zakon 4. Rezultanta dviju sila primijenjenih u jednoj točki primjenjuje se u istoj točki, jednaka je po apsolutnoj vrijednosti dijagonali paralelograma izgrađenog na tim silama i usmjerena je duž ove
      dijagonale.
      Modul rezultante je:
    • Zakon 5 (zakon jednakosti djelovanja i reakcije). Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž jedne ravne crte.
      Treba imati na umu da akcijski- sila primijenjena na tijelo B, i oporba- sila primijenjena na tijelo ALI, nisu uravnoteženi, budući da su vezani za različita tijela.
    • Zakon 6 (zakon otvrdnjavanja). Ravnoteža nečvrstog tijela se ne narušava kada se skrutne.
      Ne treba zaboraviti da su uvjeti ravnoteže, koji su nužni i dovoljni za kruto tijelo, nužni, ali nedostatni za odgovarajuće nekruto tijelo.
    • Zakon 7 (zakon oslobađanja od obveznica). Neslobodna krutina može se smatrati slobodnim ako je psihički oslobođena veza, zamjenjujući djelovanje veza odgovarajućim reakcijama veza.
      Veze i njihove reakcije
    • Glatka površina ograničava kretanje duž normale na površinu potpore. Reakcija je usmjerena okomito na površinu.
    • Zglobni pokretni oslonac ograničava kretanje tijela duž normale na referentnu ravninu. Reakcija je usmjerena duž normale na površinu potpore.
    • Zglobni fiksni oslonac suprotstavlja se svakom kretanju u ravnini okomitoj na os rotacije.
    • Zglobna bestežinska šipka suprotstavlja se kretanju tijela duž linije štapa. Reakcija će biti usmjerena duž linije štapa.
    • Slijepi prekid suprotstavlja se svakom kretanju i rotaciji u ravnini. Njegovo djelovanje može se zamijeniti silom predstavljenom u obliku dvije komponente i parom sila s momentom.

    Kinematika

    Kinematika- dio teorijske mehanike, koji razmatra opća geometrijska svojstva mehaničkog gibanja, kao procesa koji se odvija u prostoru i vremenu. Pokretni objekti smatraju se geometrijskim točkama ili geometrijskim tijelima.

      Osnovni pojmovi kinematike
    • Zakon gibanja točke (tijela) je ovisnost položaja točke (tijela) u prostoru o vremenu.
    • Putanja točke je mjesto položaja točke u prostoru tijekom njezina kretanja.
    • Brzina točke (tijela). je karakteristika promjene u vremenu položaja točke (tijela) u prostoru.
    • Točkasto (tjelesno) ubrzanje- ovo je karakteristika promjene u vremenu brzine točke (tijela).
      Određivanje kinematičkih karakteristika točke
    • Putanja točke
      U vektorskom referentnom sustavu putanja se opisuje izrazom: .
      U koordinatnom referentnom sustavu putanja je određena prema zakonu gibanja točke i opisana je izrazima z = f(x,y) u svemiru, ili y = f(x)- u avionu.
      U prirodnom referentnom sustavu putanja je unaprijed određena.
    • Određivanje brzine točke u vektorskom koordinatnom sustavu
      Kod zadavanja kretanja točke u vektorskom koordinatnom sustavu, omjer kretanja i vremenskog intervala naziva se prosječna vrijednost brzine u tom vremenskom intervalu: .
      Uzimajući vremenski interval kao beskonačno malu vrijednost, dobivamo vrijednost brzine u danom trenutku (trenutna vrijednost brzine): .
      Vektor prosječne brzine usmjeren je duž vektora u smjeru kretanja točke, vektor trenutne brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke.
      Zaključak: brzina točke je vektorska veličina jednaka derivaciji zakona gibanja s obzirom na vrijeme.
      Svojstvo derivata: vremenski derivat bilo koje vrijednosti određuje brzinu promjene ove vrijednosti.
    • Određivanje brzine točke u koordinatnom referentnom sustavu
      Brzina promjene koordinata točke:
      .
      Modul pune brzine točke s pravokutnim koordinatnim sustavom bit će jednak:
      .
      Smjer vektora brzine određen je kosinusima kutova upravljanja:
      ,
      gdje su kutovi između vektora brzine i koordinatnih osi.
    • Određivanje brzine točke u prirodnom referentnom sustavu
      Brzina točke u prirodnom referentnom sustavu definirana je kao derivacija zakona gibanja točke: .
      Prema prethodnim zaključcima, vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke i u osi je određen samo jednom projekcijom.
      Kinematika krutog tijela
    • U kinematici krutih tijela rješavaju se dva glavna problema:
      1) zadatak kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tijela u cjelini;
      2) određivanje kinematičkih karakteristika točaka tijela.
    • Translacijsko gibanje krutog tijela
      Translacijsko gibanje je gibanje u kojem ravna crta povučena kroz dvije točke tijela ostaje paralelna svom izvornom položaju.
      Teorema: u translacijskom gibanju sve točke tijela kreću se po istim putanjama i u svakom trenutku imaju istu brzinu i ubrzanje u apsolutnoj vrijednosti i smjeru.
      Zaključak: translacijsko gibanje krutog tijela određeno je gibanjem bilo koje njegove točke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog gibanja svodi na kinematiku točke.
    • Rotacijsko gibanje krutog tijela oko fiksne osi
      Rotacijsko gibanje krutog tijela oko fiksne osi je gibanje krutog tijela u kojem dvije točke koje pripadaju tijelu ostaju nepomične tijekom cijelog vremena kretanja.
      Položaj tijela određen je kutom rotacije. Mjerna jedinica za kut je radijani. (Radijan je središnji kut kružnice čija je duljina luka jednaka polumjeru, puni kut kružnice sadrži 2π radijan.)
      Zakon rotacijskog gibanja tijela oko fiksne osi.
      kutna brzina i kutno ubrzanje tijela su definirana metodom diferencijacije:
      — kutna brzina, rad/s;
      — kutno ubrzanje, rad/s².
      Ako tijelo presiječemo ravninom okomitom na os, izaberemo točku na osi rotacije S i proizvoljna točka M, zatim točka Mće opisati oko točke S krug radijusa R. Tijekom dt postoji elementarna rotacija kroz kut , dok je točka M kretat će se duž putanje na udaljenosti .
      Modul linearne brzine:
      .
      točkasto ubrzanje M s poznatom putanjom određena je njegovim komponentama:
      ,
      gdje .
      Kao rezultat, dobivamo formule
      tangencijalno ubrzanje: ;
      normalno ubrzanje: .

    Dinamika

    Dinamika- Ovo je grana teorijske mehanike, koja proučava mehanička kretanja materijalnih tijela, ovisno o uzrocima koji ih uzrokuju.

      Osnovni pojmovi dinamike
    • inercija- ovo je svojstvo materijalnih tijela da održavaju stanje mirovanja ili uniforme pravolinijsko gibanje sve dok vanjske sile ne promijene ovo stanje.
    • Težina je kvantitativna mjera tromosti tijela. Jedinica mase je kilogram (kg).
    • Materijalna točka je tijelo s masom, čije se dimenzije zanemaruju u rješavanju ovog problema.
    • Središte mase mehaničkog sustava je geometrijska točka čije su koordinate određene formulama:

      gdje m k , x k , y k , z k- masa i koordinate k- ta točka mehaničkog sustava, m je masa sustava.
      U jednoličnom polju gravitacije položaj težišta poklapa se s položajem težišta.
    • Moment tromosti materijalnog tijela oko osi je kvantitativna mjera inercije tijekom rotacijskog gibanja.
      Trenutak tromosti materijalne točke oko osi jednak je umnošku mase točke i kvadrata udaljenosti točke od osi:
      .
      Trenutak tromosti sustava (tijela) oko osi jednak je aritmetičkom zbroju momenata tromosti svih točaka:
    • Sila tromosti materijalne točke vektorska je veličina jednaka apsolutnoj vrijednosti umnošku mase točke i modula akceleracije i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja:
    • Sila tromosti materijalnog tijela je vektorska veličina jednaka po apsolutnoj vrijednosti umnošku mase tijela i modula akceleracije središta mase tijela i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja središta mase: ,
      gdje je akceleracija centra mase tijela.
    • Impuls elementarne sile je vektorska veličina jednaka umnošku vektora sile na beskonačno mali vremenski interval dt:
      .
      Ukupni impuls sile za Δt jednak je integralu elementarnih impulsa:
      .
    • Elementarni rad sile je skalar dA, jednako skalaru

    1 slajd

    Tečaj predavanja iz teorijske mehanike Dinamika (I dio) Bondarenko A.N. Moskva - 2007 Elektronika tečaj napisano na temelju predavanja autora za studente koji studiraju na specijalnostima SZhD, PGS i SDM na NIIZhT i MIIT (1974.-2006.). Edukativni materijal odgovara kalendarskim planovima u obimu od tri semestra. Da biste u potpunosti implementirali efekte animacije tijekom prezentacije, morate koristiti preglednik Power Point koji nije niži od onog ugrađenog u Microsoft Office operativnog sustava Windows-XP Professional. Komentari i sugestije možete poslati na e-mail: [e-mail zaštićen]. Moskva Državno sveučilišteŽeljeznice (MIIT) Zavod za teorijsku mehaniku Znanstveno-tehnički centar prometnih tehnologija

    2 slajd

    Sadržaj Predavanje 1. Uvod u dinamiku. Zakoni i aksiomi dinamike materijalne točke. Osnovna jednadžba dinamike. Diferencijalne i prirodne jednadžbe gibanja. Dva glavna zadatka dinamike. Primjeri rješavanja izravnog problema dinamike Predavanje 2. Rješavanje inverznog problema dinamike. Opće upute za rješavanje inverznog problema dinamike. Primjeri rješavanja inverznog problema dinamike. Gibanje tijela bačenog pod kutom prema horizontu, bez uzimanja u obzir otpora zraka. Predavanje 3. Pravocrtne oscilacije materijalne točke. Uvjet za nastanak oscilacija. Klasifikacija vibracija. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora. prigušene vibracije. Dekrement oscilacije. Predavanje 4. Prisilne oscilacije materijalne točke. Rezonancija. Utjecaj otpora gibanju tijekom prisilnih vibracija. Predavanje 5. Relativno gibanje materijalne točke. Sile inercije. Posebni slučajevi kretanja za različite vrste prijenosnih pokreta. Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu i kretanje tijela. Predavanje 6. Dinamika mehaničkog sustava. mehanički sustav. Vanjske i unutarnje sile. Središte mase sustava. Teorem o gibanju središta mase. Zakoni o očuvanju. Primjer rješavanja problema korištenja teorema o kretanju središta mase. Predavanje 7. Impuls sile. Količina kretanja. Teorem o promjeni količine gibanja. Zakoni o očuvanju. Eulerov teorem. Primjer rješavanja zadatka o korištenju teorema o promjeni količine gibanja. moment zamaha. Teorem o promjeni kutnog momenta Predavanje 8. Zakoni održanja. Elementi teorije momenata tromosti. Kinetički moment krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela. Primjer rješavanja problema korištenja teorema o promjeni kutnog momenta sustava. Osnovna teorija žiroskopa. Preporučena literatura 1. Yablonsky A.A. Kolegij teorijske mehanike. 2. dio. M.: postdiplomske studije. 1977. 368 str. 2. Meshchersky I.V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M.: Znanost. 1986. 416 str. 3. Zbirka zadataka za seminarske radove /Ur. A.A. Yablonski. M.: Viša škola. 1985. 366 str. 4. Bondarenko A.N. “Teorijska mehanika u primjerima i zadacima. Dinamika” ( elektronički priručnik www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

    3 slajd

    Predavanje 1 Dinamika je dio teorijske mehanike koji proučava mehaničko gibanje s najopćenitijeg stajališta. Kretanje se razmatra u vezi sa silama koje djeluju na predmet. Dio se sastoji od tri dijela: Dinamika materijalne točke Dinamika mehaničkog sustava Analitička mehanika ■ Dinamika točke – proučava kretanje materijalne točke, uzimajući u obzir sile koje uzrokuju to kretanje. Glavni objekt je materijalna točka - materijalno tijelo s masom čije se dimenzije mogu zanemariti. Osnovne pretpostavke: - postoji apsolutni prostor (ima čisto geometrijska svojstva koja ne ovise o materiji i njenom kretanju. - postoji apsolutno vrijeme (ne ovisi o materiji i njenom kretanju). Iz ovoga slijedi: - postoji apsolutno nepomičan referentni okvir. - vrijeme ne ovisi o kretanju referentnog okvira - mase pokretnih točaka ne ovise o kretanju referentnog okvira. Ove se pretpostavke koriste u klasičnoj mehanici koju su stvorili Galileo i Newton Još uvijek ima prilično širok opseg, budući da mehanički sustavi koji se razmatraju u primijenjenim znanostima nemaju tako velike mase i brzine kretanja, za što je potrebno uzeti u obzir njihov utjecaj na geometriju prostora, vremena, gibanja, kao npr. se radi u relativističkoj mehanici (teorija relativnosti) ■ Osnovni zakoni dinamike - prvi otkrio Galileo i formulirao Newton čine osnovu svih metoda za opisivanje i analizu kretanja mehaničkih sustava i njihove dinamičke interakcije djelovanje pod utjecajem raznih sila. ■ Zakon inercije (Galileo-Newtonov zakon) - Izolirana materijalna točka tijela zadržava stanje mirovanja ili jednoliko pravocrtno gibanje sve dok ga primijenjene sile ne prisile da promijeni ovo stanje. To podrazumijeva ekvivalentnost stanja mirovanja i gibanja po inerciji (Galilejev zakon relativnosti). Referentni okvir, u odnosu na koji je zakon inercije ispunjen, naziva se inercijskim. Svojstvo materijalne točke da nastoji zadržati brzinu svog kretanja (svoje kinematičko stanje) nepromijenjenom naziva se inercija. ■ Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja (Osnovna jednadžba dinamike - Newtonov II zakon) - Ubrzanje koje se materijalnoj točki daje silom izravno je proporcionalno sili i obrnuto proporcionalno masi ove točke: ili Ovdje je m masa točke (mjera tromosti), mjerena u kg, brojčano jednaka težini podijeljenoj s ubrzanjem slobodan pad: F je djelujuća sila, mjerena u N (1 N daje točku mase 1 kg ubrzanje od 1 m / s2, 1 N = 1 / 9,81 kg-s). ■ Dinamika mehaničkog sustava - proučava kretanje skupa materijalnih točaka i krutih tijela, u kombinaciji opći zakoni interakcije, uzimajući u obzir sile koje uzrokuju ovo kretanje. ■ Analitička mehanika – proučava gibanje neslobodnih mehaničkih sustava koristeći opće analitičke metode. 1

    4 slajd

    Predavanje 1 (nastavak - 1.2) Diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke: - diferencijalna jednadžba gibanja točke u vektorskom obliku. - diferencijalne jednadžbe gibanja točke u koordinatnom obliku. Taj se rezultat može dobiti formalnom projekcijom vektorske diferencijalne jednadžbe (1). Nakon grupiranja, vektorska relacija se razlaže u tri skalarne jednadžbe: U koordinatnom obliku: Koristimo odnos radijus-vektora s koordinatama i vektora sile s projekcijama: diferencijalna jednadžba gibanja na prirodnim (pokretnim) koordinatnim osi: ili: - prirodne jednadžbe gibanja točke. ■ Osnovna jednadžba dinamike: - odgovara vektorskom načinu zadavanja kretanja točke. ■ Zakon neovisnosti djelovanja sila - Ubrzanje materijalne točke pod djelovanjem više sila jednako je geometrijskom zbroju ubrzanja točke od djelovanja svake od sila posebno: ili Zakon vrijedi za bilo koje kinematičko stanje tijela. Sile interakcije koje se primjenjuju na različite točke (tijela) nisu uravnotežene. ■ Zakon jednakosti djelovanja i reakcije (Newtonov III zakon) - Svaka radnja odgovara jednakoj i suprotno usmjerenoj reakciji: 2

    5 slajd

    Dva glavna problema dinamike: 1. Izravni problem: Zadano je gibanje (jednadžbe gibanja, putanja). Potrebno je odrediti sile pod čijim djelovanjem dolazi do određenog kretanja. 2. Inverzni zadatak: Zadane su sile pod čijim djelovanjem dolazi do gibanja. Potrebno je pronaći parametre gibanja (jednadžbe gibanja, putanju kretanja). Oba problema rješavaju se osnovnom jednadžbom dinamike i njezinom projekcijom na koordinatne osi. Ako se razmatra gibanje neslobodne točke, tada se, kao u statici, koristi princip oslobađanja od veza. Kao rezultat reakcije, veze su uključene u sastav sila koje djeluju na materijalnu točku. Rješenje prvog problema povezano je s operacijama diferencijacije. Rješenje inverznog problema zahtijeva integraciju odgovarajućih diferencijalnih jednadžbi, a to je mnogo teže od diferencijacije. Inverzni problem je teži od izravnog problema. Rješenje izravnog problema dinamike - pogledajmo primjere: Primjer 1. Kabina s težinom G dizala podiže se sajlom s ubrzanjem a . Odredite napetost kabela. 1. Odaberite objekt (kabina dizala se kreće naprijed i može se smatrati materijalnom točkom). 2. Odbacimo spoj (kabel) i zamijenimo ga reakcijom R. 3. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: Odredimo reakciju sajle: Odredimo napetost kabela: Uz ravnomjerno kretanje kabine ay = 0 i napetost kabela jednaka je težini: T = G. Kada se sajla lomi T = 0 i ubrzanje kabine je jednako akceleraciji slobodnog pada: ay = -g. 3 4. Projiciramo osnovnu jednadžbu dinamike na os y: y Primjer 2. Točka mase m giba se duž horizontalne plohe (ravnina Oxy) prema jednadžbama: x = a coskt, y = b coskt. Odrediti silu koja djeluje na točku. 1. Odaberite objekt (materijalnu točku). 2. Odbacimo vezu (ravninu) i zamijenimo je reakcijom N. 3. Sustavu sila dodamo nepoznatu silu F. 4. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Projiciramo osnovnu jednadžbu dinamike na osi x,y: Odredite projekcije sila: Modul sile: Kosinus smjera: Dakle, veličina sile je proporcionalna udaljenosti točke do središta koordinata i usmjerena je prema središtu duž linije koja povezuje točku sa središtem. Putanja kretanja točke je elipsa sa središtem u ishodištu: O r Predavanje 1 (nastavak - 1.3)

    6 slajd

    Predavanje 1 (nastavak 1.4) Primjer 3: Teret težine G ovješen je na sajlu duljine l i giba se po kružnoj stazi u vodoravnoj ravnini određenom brzinom. Kut odstupanja kabela od vertikale jednak je. Odredite napetost sajle i brzinu opterećenja. 1. Odaberite objekt (teret). 2. Odbacite spoj (uže) i zamijenite ga reakcijom R. 3. Sastavite glavnu jednadžbu dinamike: Iz treće jednadžbe odredite reakciju kabela: Odredite napetost kabela: Zamijenite vrijednost reakcije užeta, normalno ubrzanje u drugu jednadžbu i odredite brzinu tereta: 4. Projektirajte dinamiku osovine glavne jednadžbe,n,b: Primjer 4: Automobil težine G kreće se po konveksnom mostu (radijus zakrivljenosti je R ) brzinom V. Odredi pritisak automobila na most. 1. Odabiremo objekt (automobil, zanemarujemo dimenzije i smatramo ga točkom). 2. Odbacimo vezu (hrapavu površinu) i zamijenimo je reakcijama N i silom trenja Ffr. 3. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 4. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na os n: Odavde određujemo normalnu reakciju: Određujemo pritisak automobila na most: Odavde možemo odrediti brzinu odgovara nultom pritisku na mostu (Q = 0): 4

    7 slajd

    Predavanje 2 Nakon zamjene pronađenih vrijednosti konstanti dobivamo: Dakle, pod djelovanjem istog sustava sila materijalna točka može izvršiti čitavu klasu kretanja određenih početnim uvjetima. Početne koordinate uzimaju u obzir početni položaj točke. Početna brzina, dana projekcijama, uzima u obzir utjecaj na njezino kretanje duž razmatranog odsjeka putanje sila koje su djelovale na točku prije dolaska u ovu dionicu, t.j. početno kinematičko stanje. Rješenje inverznog problema dinamike - U općem slučaju kretanja točke, sile koje djeluju na točku su varijable koje ovise o vremenu, koordinatama i brzini. Gibanje točke opisuje se sustavom od tri diferencijalne jednadžbe drugog reda: Nakon integracije svake od njih, postojat će šest konstanti C1, C2,…., C6: Vrijednosti konstanti C1, C2,… ., C6 nalaze se iz šest početnih uvjeta pri t = 0: Primjer 1 rješenja inverznog problema: Slobodna materijalna točka mase m giba se pod djelovanjem sile F koja je konstantna po veličini i veličini. . U početnom trenutku brzina točke bila je v0 i podudarala se u smjeru sa silom. Odrediti jednadžbu gibanja točke. 1. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Snižavamo red derivacije: 2. Biramo kartezijanski referentni sustav, usmjeravajući os x duž smjera sile i projiciramo glavnu jednadžbu dinamike na ovu os: ili x y z 4. Odvojite varijable: 5. Izračunajte integrale iz oba dijela jednadžbe : 6. Predstavite projekciju brzine kao vremensku derivaciju koordinate: 8. Izračunajte integrale oba dijela jednadžbe: 7. Odvojite varijable: 9. Za određivanje vrijednosti konstanti C1 i C2 koristimo početne uvjete t = 0, vx = v0 , x = x0: Kao rezultat, dobivamo jednadžbu jednoliko promjenjivog gibanja (duž x os): 5

    8 slajd

    Opće upute za rješavanje izravnih i inverznih zadataka. Postupak rješavanja: 1. Sastavljanje diferencijalne jednadžbe gibanja: 1.1. Odaberite koordinatni sustav - pravokutni (fiksni) s nepoznatom putanjom kretanja, prirodni (pokretni) s poznatom putanjom, na primjer, kružnica ili ravna linija. U potonjem slučaju može se koristiti jedna pravocrtna koordinata. Referentnu točku treba kombinirati s početnim položajem točke (pri t = 0) ili s ravnotežnim položajem točke, ako postoji, na primjer, kada točka fluktuira. 6 1.2. Nacrtajte točku na poziciji koja odgovara proizvoljnom trenutku u vremenu (za t > 0) tako da koordinate budu pozitivne (s > 0, x > 0). Također pretpostavljamo da je projekcija brzine u ovom položaju također pozitivna. U slučaju oscilacija, projekcija brzine mijenja predznak, na primjer, kada se vraća u ravnotežni položaj. Ovdje treba pretpostaviti da se u razmatranom trenutku točka odmiče od ravnotežnog položaja. Primjena ove preporuke bitna je u budućnosti pri radu sa silama otpora koje ovise o brzini. 1.3. Oslobodite materijalnu točku od veza, zamijenite njihovo djelovanje reakcijama, dodajte aktivne sile. 1.4. Zapišite osnovni zakon dinamike u vektorskom obliku, projicirajte na odabrane osi, izrazite zadane ili reaktivne sile u terminima vremena, koordinata ili varijabli brzine, ako ovise o njima. 2. Rješenje diferencijalnih jednadžbi: 2.1. Smanjite derivaciju ako se jednadžba ne svede na kanonski (standardni) oblik. na primjer: ili 2.2. Odvojene varijable, na primjer: ili 2.4. Izračunajte neodređene integrale na lijevoj i desnoj strani jednadžbe, na primjer: 2.3. Ako u jednadžbi postoje tri varijable, promijenite varijable, na primjer: i zatim odvojite varijable. Komentar. Umjesto kalkulacije neodređeni integrali moguće je izračunati određene integrale s promjenjivom gornjom granicom. Donje granice predstavljaju početne vrijednosti varijabli (početne uvjete). Tada nema potrebe zasebno pronaći konstantu, koja se automatski uključuje u rješenje, na primjer: Koristeći početne uvjete, na primjer, t = 0 , vx = vx0, odrediti konstantu integracije: 2.5. Izrazite brzinu u smislu vremenske derivacije koordinate, na primjer, i ponovite korake 2.2 -2.4 Napomena. Ako se jednadžba svede na kanonski oblik koji ima standardno rješenje, tada se koristi ovo gotovo rješenje. Konstante integracije se još uvijek nalaze iz početnih uvjeta. Vidi npr. oscilacije (predavanje 4, str. 8). Predavanje 2 (nastavak 2.2)

    9 slajd

    Predavanje 2 (nastavak 2.3) Primjer 2 rješavanja inverznog problema: Sila ovisi o vremenu. Teret težine P počinje se kretati duž glatke horizontalne površine pod djelovanjem sile F čija je veličina proporcionalna vremenu (F = kt). Odrediti put koji je prešao teret u vremenu t. 3. Sastavite osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Smanjite redoslijed derivacije: 4. Projektirajte osnovnu jednadžbu dinamike na os x: ili 7 6. Odvojite varijable: 7. Izračunajte integrale oba dijela jednadžba: 9. Predstavite projekciju brzine kao derivaciju koordinate s obzirom na vrijeme: 10. Izračunajte integrale oba dijela jednadžbe: 9. Odvojite varijable: 8. Odredite vrijednost konstante C1 iz početni uvjet t = 0, vx = v0=0: Kao rezultat dobivamo jednadžbu gibanja (duž osi x), koja daje vrijednost prijeđene udaljenosti za vrijeme t: 1. Odaberite referentni sustav ( Kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Predmet gibanja uzimamo kao materijalnu točku (tijelo se kreće naprijed), oslobađamo ga od veze (referentne ravnine) i zamjenjujemo reakcijom (normalna reakcija glatke površina): 11. Odrediti vrijednost konstante C2 iz početnog uvjeta t = 0, x = x0=0: Primjer inverznog zadatka 3: Sila ovisi o koordinati. Materijalna točka mase m izbačena je prema gore sa Zemljine površine brzinom v0. Sila gravitacije Zemlje obrnuto je proporcionalna kvadratu udaljenosti od točke do težišta (centra Zemlje). Odrediti ovisnost brzine o udaljenosti y do središta Zemlje. 1. Odabiremo referentni sustav (kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na os y: ili Koeficijent proporcionalnosti može može se pronaći pomoću težine točke na površini Zemlje: R Stoga diferencijal jednadžba izgleda ovako: ili 4. Smanji redoslijed derivacije: 5. Promijeni varijablu: 6. Odvoji varijable: 7. Izračunaj integrali obje strane jednadžbe: 8. Zamijenite granice: Kao rezultat, dobivamo izraz za brzinu kao funkciju koordinate y: Maksimalna visina leta može se naći izjednačavanjem brzine s nulom: Maksimalna visina leta kada se nazivnik okrene na nulu: Odavde, pri postavljanju polumjera Zemlje i ubrzanja slobodnog pada, dobiva se II kozmička brzina:

    10 slajd

    Predavanje 2 (nastavak 2.4) Primjer 2 rješavanja inverznog zadatka: Sila ovisi o brzini. Brod mase m imao je brzinu v0. Otpor vode kretanju broda proporcionalan je brzini. Odredite vrijeme koje je potrebno da se brzina broda prepolovi nakon gašenja motora, kao i udaljenost koju je brod prešao do potpunog zaustavljanja. 8 1. Odabiremo referentni sustav (kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Uzimamo objekt gibanja kao materijalnu točku (brod se kreće naprijed), oslobađamo ga od veza (vode) i zamjenjujemo s reakcijom (sila uzgona - Arhimedova sila), a također i sila otpora kretanju. 3. Dodajte aktivnu silu (gravitaciju). 4. Sastavljamo glavnu jednadžbu dinamike: 5. Glavnu jednadžbu dinamike projiciramo na os x: ili 6. Spuštamo red derivacije: 7. Odvajamo varijable: 8. Računamo integrale iz oba dijelove jednadžbe: 9. Zamjenjujemo granice: Dobiva se izraz koji povezuje brzinu i vrijeme t, iz kojeg se može odrediti vrijeme kretanja: Vrijeme kretanja tijekom kojeg će brzina pasti za polovicu: To je zanimljivo je primijetiti da kada se brzina približi nuli, vrijeme kretanja teži beskonačnosti, t.j. konačna brzina ne može biti nula. Zašto ne "perpetual motion"? Međutim, u ovom slučaju, prijeđena udaljenost do zaustavljanja je konačna vrijednost. Da bismo odredili prijeđenu udaljenost, okrenemo se izrazu dobivenom nakon snižavanja reda derivacije i izvršimo promjenu varijable: Nakon integracije i zamjene granica, dobivamo: Prijeđenu udaljenost do zaustavljanja: ■ Gibanje točke bačene na kut prema horizontu u jednoličnom gravitacijskom polju bez uzimanja u obzir otpora zraka Eliminirajući vrijeme iz jednadžbi gibanja, dobivamo jednadžbu putanje: Vrijeme leta određuje se izjednačavanjem koordinate y s nulom: Domet leta određuje se zamjenom vrijeme za let:

    11 slajd

    Predavanje 3 Pravolinijske oscilacije materijalne točke - Oscilatorno kretanje materijalne točke događa se pod uvjetom da postoji sila vraćanja koja teži vratiti točku u ravnotežni položaj za svako odstupanje od tog položaja. 9 Postoji povratna sila, ravnotežni položaj je stabilan. Nema povratne sile, ravnotežni položaj je nestabilan. Nema povratne sile, ravnotežni položaj je indiferentan Uvijek je usmjerena prema ravnotežnom položaju, vrijednost je izravno proporcionalna linearnom istezanju (skraćenju) opruge, jednaka odstupanju tijela od ravnotežnog položaja: c je koeficijent krutosti opruge, brojčano jednak sili pod kojoj opruga mijenja svoju duljinu za jedan, mjereno u N/m u sustavu SI. x y O Vrste vibracija materijalne točke: 1. Slobodne vibracije (bez uzimanja u obzir otpora medija). 2. Slobodne oscilacije uzimajući u obzir otpor medija (prigušene oscilacije). 3. Prisilne vibracije. 4. Prisilne oscilacije uzimajući u obzir otpor medija. ■ Slobodne oscilacije – nastaju pod djelovanjem samo povratne sile. Zapišimo osnovni zakon dinamike: Odaberimo koordinatni sustav sa središtem u ravnotežnom položaju (točka O) i projiciramo jednadžbu na os x: Dovedemo rezultirajuću jednadžbu u standardni (kanonski) oblik: Ova jednadžba je homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda, čiji je oblik rješenja određen korijenima karakteristike jednadžbe dobivene univerzalnom zamjenom: Korijeni karakteristične jednadžbe su imaginarni i jednaki: Opće rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik: Brzina točke: Početni uvjeti: Definirajte konstante: Dakle, jednadžba slobodnih vibracija ima oblik: Jednadžba se može prikazati jednočlanim izrazom: gdje je a amplituda, - početna faza. Nove konstante a i - povezane su sa konstantama C1 i C2 relacijama: Definirajte a i: Razlog nastanka slobodnih oscilacija je početni pomak x0 i/ili početna brzina v0.

    12 slajd

    10 Predavanje 3 (nastavak 3.2) Prigušene oscilacije materijalne točke - Oscilatorno kretanje materijalne točke događa se uz prisutnost povratne sile i sile otpora kretanju. Ovisnost sile otpora kretanju o pomaku ili brzini određena je fizičkom prirodom medija ili veze koja ometa kretanje. Najjednostavnija ovisnost je linearna ovisnost na brzinu (viskozni otpor): - koeficijent viskoznosti x y O Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na os: Dovodimo jednadžbu u standardni oblik: gdje Karakteristična jednadžba ima korijene: Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima različit oblik ovisno o vrijednostima korijena: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - slučaj velike viskozne otpornosti: - pravi korijeni, različiti. ili - ove funkcije su aperiodične: 3. n = k: - korijeni su realni, višestruki. ove funkcije su također aperiodične:

    13 slajd

    Predavanje 3 (nastavak 3.3) Klasifikacija rješenja slobodnih oscilacija. Opružne veze. ekvivalentna tvrdoća. y y 11 Dif. Jednadžbeni lik. Korijeni jednadžbe char. jednadžba Rješavanje diferencijalne jednadžbe Graf nk n=k

    14 slajd

    Predavanje 4 Prisilne vibracije materijalne točke - Uz povratnu silu djeluje i sila koja se povremeno mijenja, koja se naziva sila smetnji. Uznemirujuća sila može imati drugačiju prirodu. Na primjer, u određenom slučaju, inercijski učinak neuravnotežene mase m1 rotacionog rotora uzrokuje harmonično promjenjive projekcije sile: Glavna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na os: Dovedite jednadžbu na standard oblik: 12 Rješenje ove nehomogene diferencijalne jednadžbe sastoji se od dva dijela x = x1 + x2: x1 je opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, a x2 je posebno rješenje nehomogene jednadžbe: Odabiremo posebno rješenje u obliku desna strana: Rezultirajuća jednakost mora biti zadovoljena za bilo koji t . Tada: ili Dakle, uz istodobno djelovanje povratne i remećejuće sile, materijalna točka vrši složeno oscilatorno gibanje, koje je rezultat zbrajanja (superpozicije) slobodnih (x1) i prisilnih (x2) vibracija. Ako str< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (prisilne oscilacije visoke frekvencije), tada je faza oscilacija suprotna fazi sile koja remeti:

    15 slajd

    Predavanje 4 (nastavak 4.2) 13 Dinamički koeficijent - omjer amplitude prisilne vibracije na statičko odstupanje točke pod djelovanjem konstantne sile H = const: Amplituda prisilnih oscilacija: Statičko odstupanje se može naći iz jednadžbe ravnoteže: Ovdje: Dakle: Dakle, na p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (visoka frekvencija prisilnih titranja) dinamički koeficijent: Rezonancija – nastaje kada se frekvencija prisilnih titranja poklopi s frekvencijom vlastitih oscilacija (p = k). To se najčešće događa pri pokretanju i zaustavljanju rotacije loše uravnoteženih rotora postavljenih na elastične ovjese. Diferencijalna jednadžba oscilacija jednakih frekvencija: Ne može se uzeti određeno rješenje u obliku desne strane, jer dobit će se linearno ovisno rješenje (vidi opće rješenje). Opće rješenje: Zamjena u diferencijalnoj jednadžbi: Uzmimo određeno rješenje u obliku i izračunajmo derivacije: Tako se dobiva rješenje: ili Prisilne oscilacije u rezonanciji imaju amplitudu koja se neograničeno povećava proporcionalno vremenu. Utjecaj otpora gibanju tijekom prisilnih vibracija. Diferencijalna jednadžba u prisutnosti viskoznog otpora ima oblik: Opće rješenje se bira iz tablice (predavanje 3, str. 11) ovisno o omjeru n i k (vidi). Uzimamo određeno rješenje u obliku i izračunavamo derivacije: Zamjena u diferencijalnoj jednadžbi: Izjednačavanje koeficijenata na istom trigonometrijske funkcije dobivamo sustav jednadžbi: Dizanjem obje jednadžbe na stepen i njihovim zbrajanjem dobivamo amplitudu prisilnih oscilacija: Dijeljenjem druge jednadžbe s prvom dobivamo fazni pomak prisilnih oscilacija: Dakle, jednadžba gibanja za prisilne oscilacije, uzimajući u obzir otpor kretanju, na primjer, na n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

    16 slajd

    Predavanje 5 Relativno gibanje materijalne točke - Pretpostavimo da se pokretni (neinercijski) koordinatni sustav Oxyz giba po nekom zakonu u odnosu na fiksni (inercijski) koordinatni sustav O1x1y1z1. Gibanje materijalne točke M (x, y, z) u odnosu na pokretni sustav Oxyz je relativno, u odnosu na nepomični sustav O1x1y1z1 je apsolutno. Gibanje mobilnog sustava Oxyz u odnosu na fiksni sustav O1x1y1z1 je prijenosno gibanje. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Osnovna jednadžba dinamike: Apsolutna akceleracija točke: Zamijeni apsolutna akceleracija točke u glavnu jednadžbu dinamike: Prenesimo članove s translacijskim i Coriolisovim ubrzanjem na desnu stranu: preneseni pojmovi imaju dimenziju sila i smatraju se odgovarajućim inercijskim silama, jednakim: Tada se relativno gibanje točke može smatrati apsolutnim ako se djelujućim silama dodaju translacijske i Coriolisove sile inercije: U projekcijama na osi gibljivog koordinatnog sustava imamo: rotacija je jednolika, tada je εe = 0: 2. Translacijsko krivuljasto gibanje: Ako je gibanje pravocrtno, tada = : Ako je gibanje pravocrtno i jednoliko, tada je sustav kretanja inercijalan i relativni gibanje se može smatrati apsolutnim: Nikakve mehaničke pojave ne mogu otkriti pravocrtno jednoliko kretanje(načelo relativnosti klasične mehanike). Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela – Pretpostavimo da je tijelo u ravnoteži na površini Zemlje na proizvoljnoj geografskoj širini φ (paralele). Zemlja rotira oko svoje osi od zapada prema istoku kutnom brzinom: polumjer Zemlje je oko 6370 km. S R je ukupna reakcija neglatke površine. G - sila privlačenja Zemlje prema centru. F - centrifugalna sila inercije. Uvjet relativne ravnoteže: Rezultanta sila privlačenja i inercije je sila gravitacije (težina): Veličina sile gravitacije (težine) na površini Zemlje je P = mg. Centrifugalna sila inercije je mali djelić sile gravitacije: Odstupanje sile gravitacije od smjera sile privlačenja je također malo: Dakle, utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela izuzetno je mali. i ne uzima se u obzir u praktičnim proračunima. Maksimalna vrijednost inercijalne sile (pri φ = 0 - na ekvatoru) iznosi samo 0,00343 vrijednosti gravitacije

    17 slajd

    Predavanje 5 (nastavak 5.2) 15 Utjecaj Zemljine rotacije na kretanje tijela u Zemljinom gravitacijskom polju - Pretpostavimo da tijelo padne na Zemlju s određene visine H iznad Zemljine površine na geografskoj širini φ . Odaberimo pokretni referentni okvir, kruto povezan sa Zemljom, usmjeravajući osi x, y tangencijalno na paralelu i na meridijan: Relativna jednadžba gibanja: Ovdje je malenost centrifugalne sile inercije u usporedbi sa silom gravitacije jednaka uzeti u obzir. Dakle, sila gravitacije se poistovjećuje sa silom gravitacije. Osim toga, pretpostavljamo da je gravitacija usmjerena okomito na Zemljinu površinu zbog malog otklona, ​​kao što je gore objašnjeno. Coriolisovo ubrzanje je jednako i usmjereno je paralelno s y-osi prema zapadu. Coriolisova sila inercije usmjerena je u suprotnom smjeru. Projiciramo jednadžbu relativnog gibanja na os: Rješenje prve jednadžbe daje: Početni uvjeti: Rješenje treće jednadžbe daje: Početni uvjeti: Treća jednadžba ima oblik: Početni uvjeti: Njeno rješenje daje: Rezultirajuće rješenje pokazuje da tijelo prilikom pada skreće prema istoku. Izračunajmo vrijednost ovog odstupanja, na primjer, pri padu s visine od 100 m. Vrijeme pada nalazimo iz rješenja druge jednadžbe: Dakle, utjecaj Zemljine rotacije na kretanje tijela izuzetno je mali. za praktične visine i brzine i ne uzima se u obzir u tehničkim proračunima. Rješenje druge jednadžbe također podrazumijeva postojanje brzine duž y-osi, koja bi također trebala uzrokovati i uzrokovati odgovarajuće ubrzanje i Coriolisovu inercijsku silu. Utjecaj ove brzine i s njom povezane sile tromosti na promjenu gibanja bit će čak i manji od razmatrane Coriolisove sile tromosti povezane s okomitom brzinom.

    18 slajd

    Predavanje 6 Dinamika mehaničkog sustava. Sustav materijalnih točaka ili mehanički sustav - Skup materijalnih točaka ili onih materijalnih točaka ujedinjenih općim zakonima interakcije (položaj ili kretanje svake od točaka ili tijela ovisi o položaju i kretanju svih ostalih) sustav slobodnih točaka - čije kretanje nije ograničeno nikakvim vezama (na primjer, planetarni sustav, u kojem se planeti smatraju materijalnim točkama). Sustav neslobodnih točaka ili neslobodni mehanički sustav – kretanje materijalnih točaka ili tijela ograničeno je ograničenjima koja su nametnuta sustavu (na primjer, mehanizam, stroj itd.). 16 Sile koje djeluju na sustav. Uz dosadašnju klasifikaciju sila (aktivne i reaktivne sile), uvodi se nova klasifikacija sila: 1. Vanjske sile (e) - djeluju na točke i tijela sustava iz točaka ili tijela koja nisu dio ovog sustav. 2. Unutarnje sile (i) - sile interakcije između materijalnih točaka ili tijela uključenih u dati sustav. Ista sila može biti i vanjska i unutarnja sila. Sve ovisi o tome koji se mehanički sustav razmatra. Na primjer: U sustavu Sunca, Zemlje i Mjeseca sve su gravitacijske sile između njih unutarnje. Kada se razmatra sustav Zemlje i Mjeseca, gravitacijske sile koje se primjenjuju sa strane Sunca su vanjske: C Z L Na temelju zakona djelovanja i reakcije, svaka unutarnja sila Fk odgovara drugoj unutarnjoj sili Fk', jednakoj po apsolutnoj vrijednosti i suprotnoj u smjer. Iz ovoga proizlaze dva izvanredna svojstva unutarnjih sila: Glavni vektor svih unutarnjih sila sustava jednak je nuli: Glavni moment svih unutarnjih sila sustava u odnosu na bilo koje središte jednak je nuli: Ili u projekcijama na koordinatu osi: Napomena. Iako su ove jednadžbe slične jednadžbama ravnoteže, nisu, budući da se unutarnje sile primjenjuju na različite točke ili tijela sustava i mogu uzrokovati da se te točke (tijela) pomiču jedna u odnosu na drugu. Iz ovih jednadžbi proizlazi da unutarnje sile ne utječu na gibanje sustava koji se promatra kao cjelina. Središte mase sustava materijalnih točaka. Za opisivanje gibanja sustava u cjelini uvodi se geometrijska točka, nazvana središte mase, čiji je radijus-vektor određen izrazom, gdje je M masa cijelog sustava: Ili u projekcijama na koordinatu osi: Formule za središte mase slične su onima za težište. Međutim, pojam centra mase je općenitiji, budući da nije povezan sa silama gravitacije ili silama gravitacije.

    19 slajd

    Predavanje 6 (nastavak 6.2) 17 Teorem o gibanju središta mase sustava - Razmotrimo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku točku osnovnu jednadžbu dinamike: ili Zbrojimo ove jednadžbe po svim točkama: Na lijevoj strani jednadžbe uvest ćemo mase pod znakom derivacije i zamijeniti zbroj derivacija derivacijom od zbroja: Iz definicije središta mase: Zamijenite u rezultirajuću jednadžbu: dobivamo ili: Umnožak mase sustava i akceleracije njegove središnje mase jednak je glavnom vektoru vanjskih sila. U projekcijama na koordinatne osi: Središte mase sustava giba se kao materijalna točka s masom jednakom masi cijelog sustava, na koju se primjenjuju sve vanjske sile koje djeluju na sustav. Posljedice iz teorema o gibanju središta mase sustava (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava nula, Re = 0, tada je brzina centra mase je konstantna, vC = const (središte mase giba se jednoliko pravolinijsko - zakon održanja gibanja središta mase). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na os x jednaka nuli, Rxe = 0, tada je brzina središta mase duž x osi konstantna, vCx = const (središte mase giba se jednoliko duž osi). Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. Primjer: Dvije osobe mase m1 i m2 nalaze se u čamcu mase m3. U početnom trenutku čamac s ljudima mirovao je. Odredi pomak čamca ako se osoba mase m2 pomaknula do pramca čamca na udaljenosti a. 3. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava jednak nuli, Re = 0, a u početnom trenutku brzina centra mase je nula, vC = 0, tada je vektor radijusa od središte mase ostaje konstantno, rC = const (središte mase miruje je zakon održanja položaja središta mase). 4. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na os x jednaka nuli, Rxe = 0, a u početnom trenutku brzina centra mase duž ove osi je nula , vCx = 0, tada koordinata središta mase duž osi x ostaje konstantna, xC = const (središte mase se ne pomiče duž ove osi). Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. 1. Predmet gibanja (čamac s ljudima): 2. Odbacujemo veze (voda): 3. vezu zamjenjujemo reakcijom: 4. Zbrajamo aktivne sile: 5. Zapiši teorem o središtu mase: Projicirajte na os x: O Odredite koliko daleko trebate prijeći do osobe mase m1, tako da čamac ostane na mjestu: Čamac će se pomaknuti za udaljenost l u suprotnom smjeru.

    20 slajd

    Predavanje 7 Impuls sile je mjera mehaničke interakcije koja karakterizira prijenos mehaničkog gibanja od sila koje djeluju na točku u određenom vremenskom razdoblju: 18 U projekcijama na koordinatne osi: U slučaju stalne sile: U projekcijama na koordinatne osi: na točku sile u istom vremenskom intervalu: Pomnožite s dt: Integrirajte u zadanom vremenskom intervalu: Količina pomaka točke je mjera mehaničkog kretanja određenog vektorom, jednak proizvodu masa točke na njezinom vektoru brzine: Teorem o promjeni količine gibanja sustava - Razmotrimo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Napišimo za svaku točku osnovnu jednadžbu dinamike: ili Količina gibanja sustava materijalnih točaka - geometrijski zbroj količina gibanja materijalnih točaka: Po definiciji središta mase: Vektor količine gibanja sustava jednak je umnošku mase cijelog sustava i vektora brzine središta mase sustava. Zatim: U projekcijama na koordinatne osi: Vremenska derivacija vektora zamaha sustava jednaka je glavnom vektoru vanjskih sila sustava. Zbrojimo ove jednadžbe po svim točkama: Na lijevoj strani jednadžbe uvodimo mase pod znakom derivacije i zamjenjujemo zbroj derivacija derivacijom zbroja: Iz definicije količine gibanja sustava: U projekcijama na koordinatne osi:

    21 slajd

    Eulerov teorem - Primjena teorema o promjeni količine gibanja sustava na kretanje kontinuiranog medija (vode). 1. Za objekt kretanja odabiremo volumen vode koji se nalazi u krivuljastom kanalu turbine: 2. Odbacujemo spojeve i zamjenjujemo njihovo djelovanje reakcijama (Rpov - rezultanta površinskih sila) 3. Dodajemo aktivne sile (Rb - rezultanta tjelesnih sila): 4. Zapišite teorem o promjeni količine gibanja sustava: Količina gibanja vode u trenucima t0 i t1 predstavit će se kao zbroji: Promjena količine gibanja vode u vremenskom intervalu : Promjena količine gibanja vode u beskonačno malom vremenskom intervalu dt: , gdje je F1 F2 Uzimajući umnožak gustoće, površine poprečnog presjeka i brzine po sekundi mase, dobivamo: Zamjena diferencijala količine gibanja sustava u teorem promjene , dobivamo: Posljedice iz teorema o promjeni količine gibanja sustava (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava jednak nuli, Re = 0, tada kvantitet vektorskog gibanja je konstantan, Q = const je zakon održanja količine gibanja sustava). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na os x jednaka nuli, Rxe = 0, tada je projekcija količine gibanja sustava na os x konstantna, Qx = konst. Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. Predavanje 7 (nastavak 7.2) Primjer: Granata mase M, koja je letjela brzinom v, eksplodirala je na dva dijela. Brzina jednog od ulomaka mase m1 porasla je u smjeru gibanja na vrijednost v1. Odredite brzinu drugog fragmenta. 1. Predmet kretanja (granata): 2. Objekt je slobodan sustav, nema veza i njihovih reakcija. 3. Dodajte aktivne sile: 4. Zapišite teorem o promjeni količine gibanja: Projektirajte na os: β Podijelite varijable i integrirajte: Desni integral je gotovo nula, jer vrijeme eksplozije t

    22 slajd

    Predavanje 7 (nastavak 7.3) 20 Kutni moment točke ili kinetički moment gibanja u odnosu na određeno središte je mjera mehaničkog gibanja, određena vektorom jednakim vektorskom umnošku vektora radijusa materijalne točke i vektor njegovog zamaha: Kinetički moment sustava materijalnih točaka u odnosu na određeno središte je geometrijski zbroj momenata broja gibanja svih materijalnih točaka u odnosu na isto središte: U projekcijama na os: U projekcijama na os: Teorem o promjeni momenta zamaha sustava - Razmotrimo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku točku osnovnu jednadžbu dinamike: ili Zbrojimo ove jednadžbe za sve točke: Zamijenimo zbroj derivacija derivacijom zbroja: Izraz u zagradi je moment količine gibanja sustava. Odavde: Vektorski pomnožimo svaku od jednakosti s radijus vektorom s lijeve strane: Pogledajmo je li moguće uzeti predznak derivacije izvan vektorski proizvod: Tako smo dobili: Derivat vektora zamaha sustava u odnosu na određeno središte u vremenu jednak je glavnom momentu vanjskih sila sustava u odnosu na isto središte. U projekcijama na koordinatne osi: Derivat momenta gibanja sustava u odnosu na neku os u vremenu jednak je glavnom momentu vanjskih sila sustava u odnosu na istu os.

    23 slajd

    Predavanje 8 21 ■ Posljedice iz teorema o promjeni kutne količine gibanja sustava (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu vektor glavnog momenta vanjskih sila sustava u odnosu na određeno središte jednak. na nulu, MOe = 0, tada je vektor kutne količine gibanja sustava u odnosu na isto središte konstantan, KO = const je zakon održanja količine gibanja sustava). 2. Ako je u vremenskom intervalu glavni moment vanjskih sila sustava u odnosu na os x jednak nuli, Mxe = 0, tada je kutni moment sustava u odnosu na os x konstantan, Kx = const. Slične tvrdnje vrijede za y i z osi. 2. Moment tromosti krutog tijela oko osi: Moment tromosti materijalne točke oko osi jednak je umnošku mase točke i kvadrata udaljenosti točke od osi. Moment tromosti krutog tijela oko osi jednak je zbroju umnožak mase svake točke i kvadrata udaljenosti ove točke od osi. ■ Elementi teorije momenata tromosti - Kod rotacijskog gibanja krutog tijela mjera tromosti (otpora promjeni gibanja) je moment tromosti oko osi rotacije. Razmotrite osnovne koncepte definicije i metode za izračunavanje momenata tromosti. 1. Moment tromosti materijalne točke oko osi: U prijelazu iz diskretne male mase u beskonačno malu masu točke, granica takvog zbroja određena je integralom: aksijalni moment tromosti krutog tijela. . Osim aksijalnog momenta tromosti krutog tijela, postoje i druge vrste momenata tromosti: centrifugalni moment tromosti krutog tijela. polarni moment tromosti krutog tijela. 3. Teorem o momentima tromosti krutog tijela oko paralelnih osi - formula za prijelaz na paralelne osi: Moment tromosti oko referentne osi Statički momenti tromosti oko referentnih osi Masa tijela Udaljenost između osi z1 i z2 Dakle : trenuci su nula:

    24 slajd

    Predavanje 8 (nastavak 8.2) 22 Moment tromosti jednolične šipke konstantnog presjeka oko osi: x z L Odabrati elementarni volumen dV = Adx na udaljenosti x: x dx Elementarna masa: Izračunati moment tromosti oko središnje osi (prolazeći kroz težište), dovoljno je promijeniti položaj osi i postaviti granice integracije (-L/2, L/2). Ovdje demonstriramo formulu za prijelaz na paralelne osi: zS 5. Moment tromosti homogenog čvrstog cilindra oko osi simetrije: H dr r Izdvojimo elementarni volumen dV = 2πrdrH (tanki cilindar polumjera r) : Elementarna masa: Ovdje koristimo formulu volumena cilindra V=πR2H. Za izračunavanje momenta tromosti šupljeg (debelog) cilindra dovoljno je postaviti granice integracije od R1 do R2 (R2> R1): 6. Moment inercije tankog cilindra oko osi simetrije (t

    25 slajd

    Predavanje 8 (nastavak 8.3) 23 ■ Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela oko osi: Napišimo teorem o promjeni kutnog momenta krutog tijela koje rotira oko fiksne osi: Moment rotacije krutog tijela je: Moment vanjskih sila oko osi rotacije jednaka je momentu (reakcije i sila ne stvaraju gravitacijske momente): Zamjenjujemo kinetički moment i moment u teorem Primjer: Dvije osobe iste težine G1 = G2 vise na bačenom užetu nad čvrstim blokom težine G3 = G1/4. U nekom trenutku, jedan od njih se počeo penjati po užetu relativnom brzinom u. Odredite brzinu podizanja svake osobe. 1. Odaberite objekt kretanja (blok s ljudima): 2. Odbacite spojeve (noseći uređaj bloka): 3. Zamijenite vezu s reakcijama (ležaj): 4. Dodajte aktivne sile (gravitaciju): 5. Zapišite teorem o promjeni kinetičkog momenta sustava s obzirom na os rotacije bloka: R Budući da je moment vanjskih sila jednak nuli, kinetički moment mora ostati konstantan: U početnom trenutku vremena t = 0, postoji bio je ravnotežan i Kz0 = 0. Nakon početka gibanja jedne osobe u odnosu na uže, cijeli se sustav počeo kretati, ali sustav kinetičkog momenta mora ostati nula: Kz = 0. Kutni moment sustava je zbroj kutnih momenata ljudi i bloka: Ovdje je v2 brzina druge osobe, jednak brzini kabel, Primjer: Odrediti period malih slobodnih titranja homogene šipke mase M i duljine l, obješene na jednom kraju o fiksnu os rotacije. Ili: U slučaju malih oscilacija sinφ φ: Period titranja: Moment inercije šipke:

    26 slajd

    Predavanje 8 (nastavak 8.4 - dodatni materijal) 24 ■ Elementarna teorija žiroskopa: Žiroskop je kruto tijelo koje rotira oko osi materijalne simetrije, čija je jedna od točaka nepomična. Slobodni žiroskop je fiksiran na način da mu središte mase ostaje nepomično, a os rotacije prolazi kroz središte mase i može zauzeti bilo koji položaj u prostoru, t.j. os rotacije mijenja svoj položaj kao i os vlastite rotacije tijela tijekom sfernog gibanja. Glavna pretpostavka aproksimativne (elementarne) teorije žiroskopa je da se vektor zamaha (kinetički moment) rotora smatra usmjerenim duž vlastite osi rotacije. Dakle, unatoč činjenici da u općem slučaju rotor sudjeluje u tri rotacije, u obzir se uzima samo kutna brzina vlastite rotacije ω = dφ/dt. Razlog tome je što se u modernoj tehnologiji rotor žiroskopa rotira kutnom brzinom reda 5000-8000 rad/s (oko 50000-80000 o/min), dok druga dva kutne brzine povezana s precesijom i nutacijom vlastite osi rotacije desetke tisuća puta manja od ove brzine. Glavno svojstvo slobodnog žiroskopa je da os rotora zadržava isti smjer u prostoru u odnosu na inercijski (zvjezdani) referentni sustav (demonstriran Foucaultovim njihalom, koji drži ravninu ljuljanja nepromijenjenom u odnosu na zvijezde, 1852.). To proizlazi iz zakona održanja kinetičkog momenta u odnosu na središte mase rotora, pod uvjetom da se zanemari trenje u ležajevima osi ovjesa rotora, vanjskog i unutarnjeg okvira: Djelovanje sile na os slobodnog žiroskop. U slučaju primjene sile na os rotora, moment vanjskih sila u odnosu na središte mase nije jednak nuli: ω ω S sila, a prema vektoru momenta te sile, t.j. neće se rotirati oko x-osi (unutarnji ovjes), već oko y-osi (vanjski ovjes). Po prestanku sile, os rotora će ostati u istom položaju, što odgovara posljednjem vremenu djelovanja sile, jer od ovog trenutka, moment vanjskih sila ponovno postaje jednak nuli. U slučaju kratkotrajnog djelovanja sile (udara), os žiroskopa praktički ne mijenja svoj položaj. Dakle, brza rotacija rotora daje žiroskopu mogućnost suprotstavljanja slučajnim utjecajima koji nastoje promijeniti položaj osi rotacije rotora, a uz stalno djelovanje sile održava položaj ravnine okomite na operativna snaga, koji sadrži osovinu rotora. Ova svojstva se koriste u inercijski sustavi navigacija.