Уравнение на конична повърхнина от втори ред. Конични повърхнини. Изграждане на конични сечения

Съдържанието на статията

КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ,плоски криви, които се получават при пресичане на прав кръгов конус с равнина, която не минава през неговия връх (фиг. 1). От гледна точка аналитична геометрия конично сечениепредставлява геометричното място на точките, удовлетворяващи уравнение от втори ред. С изключение на изродените случаи, обсъдени в последния раздел, коничните сечения са елипси, хиперболи или параболи.

Коничните сечения често се срещат в природата и техниката. Например орбитите на планетите, въртящи се около Слънцето, имат формата на елипси. Кръгът е специален случай на елипса, в която голямата ос е равна на малката. Параболичното огледало има свойството, че всички падащи лъчи, успоредни на неговата ос, се събират в една точка (фокус). Това се използва в повечето рефлекторни телескопи, които използват параболични огледала, както и в радарни антени и специални микрофони с параболични рефлектори. Сноп от успоредни лъчи излиза от източник на светлина, поставен във фокуса на параболичен рефлектор. Ето защо параболичните огледала се използват в мощни прожектори и фарове на автомобили. Хиперболата е графика на много важни физически зависимости, като закона на Бойл (свързващ налягането и обема на идеален газ) и закона на Ом, който определя електричествокато функция на съпротивлението при постоянно напрежение.

РАННА ИСТОРИЯ

Предполага се, че откривателят на коничните сечения е Менехмус (4 век пр.н.е.), ученик на Платон и учител на Александър Велики. Menaechmus използва парабола и равностранна хипербола, за да реши проблема с удвояването на куб.

Трактати за конични сечения, написани от Аристей и Евклид в края на 4 век. пр. н. е., са изгубени, но материали от тях са включени в известни Конични сеченияАполоний от Перга (ок. 260–170 г. пр. н. е.), които са оцелели и до днес. Аполоний изостави изискването секущата на образуващата на конуса да е перпендикулярна и чрез промяна на ъгъла на нейния наклон получи всички конични сечения от един кръгъл конус, прав или наклонен. На Аполоний дължим и съвременните имена на криви - елипса, парабола и хипербола.

В своите конструкции Аполоний използва двулистов кръгъл конус (както на фиг. 1), така че за първи път става ясно, че хиперболата е крива с два клона. От времето на Аполоний коничните сечения се разделят на три вида в зависимост от наклона на секателната равнина спрямо образуващата на конуса. Елипса (фиг. 1, А) се образува, когато сечещата равнина пресича всички образуващи на конуса в точките на една от неговите кухини; парабола (фиг. 1, b) – когато сечащата равнина е успоредна на една от допирателните равнини на конуса; хипербола (фиг. 1, V) – когато сечащата равнина пресича двете кухини на конуса.

КОНСТРУКЦИЯ НА КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

Изучавайки коничните сечения като пресечни точки на равнини и конуси, древногръцките математици ги разглеждат и като траектории на точки в равнина. Установено е, че елипсата може да се дефинира като геометрично място на точките, сумата от разстоянията от които до две дадени точки е постоянна; парабола - като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка и дадена права линия; хипербола - като геометрично място на точките, разликата в разстоянията от която до две дадени точки е постоянна.

Тези дефиниции на конични сечения като равнинни криви също предполагат метод за конструирането им с помощта на опъната струна.

Елипса.

Ако краищата на нишка с дадена дължина са фиксирани в точки Е 1 и Е 2 (фиг. 2), то кривата, описана от върха на молив, плъзгащ се по плътно опъната нишка, има формата на елипса. Точки Е 1 и Е 2 се наричат фокуси на елипсата, а сегментите V 1 V 2 и v 1 v 2 между пресечните точки на елипсата с координатните оси - голямата и малката ос. Ако точки Е 1 и Е 2 съвпадат, тогава елипсата се превръща в кръг.

Хипербола.

При построяването на хипербола точката П, върхът на молив, е фиксиран върху конец, който се плъзга свободно по колчета, монтирани на точки Е 1 и Е 2, както е показано на фиг. 3, А. Разстоянията са избрани така, че отсечката PF 2 е по-дълъг от сегмента PF 1 с фиксирана сума, по-малка от разстоянието Е 1 Е 2. В този случай единият край на конеца минава под колчето Е 1 и двата края на конеца минават върху колчето Е 2. (Върхът на молива не трябва да се плъзга по конеца, така че трябва да се закрепи, като се направи малка примка на конеца и се прокара през него.) Един клон на хиперболата ( PV 1 Q) рисуваме, като се уверяваме, че конецът остава опънат през цялото време и издърпваме двата края на конеца надолу през върха Е 2 и когато точка Пще бъде под сегмента Е 1 Е 2, като държите конеца в двата края и внимателно го ецвате (т.е. освобождавате). Второто разклонение на хиперболата ( Пў V 2 Qў ) рисуваме, като предварително сме разменили ролите на колчетата Е 1 и Е 2 .

Клоните на хиперболата се приближават до две прави линии, които се пресичат между клоните. Тези линии, наречени асимптоти на хиперболата, са конструирани, както е показано на фиг. 3, b. Ъглови коефициентитези линии са равни ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), където v 1 v 2 – отсечка от ъглополовящата на ъгъла между асимптотите, перпендикулярна на отсечката Е 1 Е 2 ; линейна отсечка v 1 v 2 се нарича спрегната ос на хиперболата, а сегментът V 1 V 2 – напречната му ос. По този начин асимптотите са диагоналите на правоъгълник със страни, минаващи през четири точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 успоредни на осите. За да построите този правоъгълник, трябва да посочите местоположението на точките v 1 и v 2. Те са на еднакво разстояние, равни

от точката на пресичане на осите О. Тази формула предполага конструкцията правоъгълен триъгълникс крака Ов 1 и V 2 Ои хипотенуза Е 2 О.

Ако асимптотите на хипербола са взаимно перпендикулярни, тогава хиперболата се нарича равностранна. Две хиперболи, които имат общи асимптоти, но с пренаредени напречни и спрегнати оси, се наричат взаимно спрегнати.

Парабола.

Фокусите на елипсата и хиперболата са били известни на Аполоний, но фокусът на параболата очевидно е установен за първи път от Пап (2-ра половина на 3-ти век), който дефинира тази крива като геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка (фокус) и дадена права линия, която се нарича директор. Конструкцията на парабола с помощта на опъната нишка, базирана на дефиницията на Pappus, е предложена от Исидор от Милет (6 век). Поставете линийката така, че ръбът й да съвпада с директрисата LLў (фиг. 4) и приложете крака към този ръб A.C.триъгълник за рисуване ABC. Закрепваме единия край на конеца с дължина ABна върха бтриъгълник, а другият във фокуса на параболата Е. Като използвате върха на молив, за да опънете конеца, натиснете върха в различна точка Пкъм свободния крак ABтриъгълник за рисуване. Докато триъгълникът се движи по линийката, точката Пще опише дъгата на парабола с фокус Еи директорката LLў , тъй като общата дължина на нишката е AB, парче конец е в съседство със свободния крак на триъгълника и следователно останалото парче конец PFтрябва да е равна на останалата част от крака AB, т.е. PA. Пресечна точка Vпарабола с ос се нарича върха на параболата, през която минава правата ЕИ V, – оста на параболата. Ако през фокуса е начертана права линия, перпендикулярна на оста, тогава сегментът от тази права линия, отрязан от параболата, се нарича фокален параметър. За елипса и хипербола фокусният параметър се определя по подобен начин.

СВОЙСТВА НА КОНИЧНИТЕ СЕЧЕНИЯ

Дефиниции на Pappus.

Установяването на фокуса на парабола даде на Pappus идеята да даде алтернативна дефиниция на коничните сечения като цяло. Позволявам Ее дадена точка (фокус), и Л– дадена права линия (директриса), която не преминава Е, И Д ФИ Д Л– разстояние от движещата се точка Пда се съсредоточи Еи директорки Лсъответно. Тогава, както показа Папус, коничните сечения се определят като геометрично място на точките П, за които отношението Д Ф/Д Ле неотрицателна константа. Това съотношение се нарича ексцентричност дконично сечение. При д e > 1 – хипербола; при д= 1 – парабола. Ако Ележи на Л, тогава геометричните места имат формата на прави линии (реални или въображаеми), които са изродени конични сечения.

Поразителната симетрия на елипсата и хиперболата предполага, че всяка от тези криви има две директриси и два фокуса и това обстоятелство навежда Кеплер през 1604 г. на идеята, че параболата също има втори фокус и втора директриса - точка в безкрайност и права . По същия начин кръгът може да се разглежда като елипса, чиито фокуси съвпадат с центъра, а директрисите са в безкрайност. Ексцентричност дв този случай е равно на нула.

Дизайн на Dandelen.

Фокусите и директрисите на конично сечение могат да бъдат ясно демонстрирани чрез използване на сфери, вписани в конус и наречени сфери на Данделин (топки) в чест на белгийския математик и инженер Дж. Данделин (1794–1847), който предлага следната конструкция. Нека конично сечение е образувано от пресичането на определена равнина стрс двукухинен прав кръгъл конус с връх в точка О. Нека впишем две сфери в този конус С 1 и С 2, които докосват равнината стрпо точки Е 1 и Е 2 съответно. Ако коничното сечение е елипса (фиг. 5, А), тогава и двете сфери са в една и съща кухина: едната сфера е разположена над равнината стр, а другият е под него. Всяка образуваща на конуса докосва двете сфери, а геометричното място на точките на контакт изглежда като две окръжности ° С 1 и ° С 2 разположени в успоредни равнини стр 1 и стр 2. Позволявам П– произволна точка от конично сечение. Нека начертаем прави линии PF 1 , PF 2 и удължете правата линия П.О.. Тези линии са допирателни към сферите в точки Е 1 , Е 2 и Р 1 , Р 2. Тъй като всички допирателни, прекарани към сферата от една точка, са равни, тогава PF 1 = PR 1 и PF 2 = PR 2. следователно PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = Р 1 Р 2. Още от самолета стр 1 и стр 2 успоредни, отсечка Р 1 Р 2 има постоянна дължина. По този начин стойността PR 1 + PR 2 е еднакъв за всички точки П, и точка Ппринадлежи на геометричното място на точките, за които сумата от разстоянията от Ппреди Е 1 и Е 2 е константа. Следователно, точките Е 1 и Е 2 – фокуси на елипсовидно сечение. Освен това може да се покаже, че правите линии, по които равнината стрпресича равнини стр 1 и стр 2 , са директрисите на построената елипса. Ако стрпресича двете кухини на конуса (фиг. 5, b), тогава две сфери на Данделин лежат от една и съща страна на равнината стр, по една сфера във всяка кухина на конуса. В този случай разликата между PF 1 и PF 2 е константа, а геометричното място на точките Пима формата на хипербола с фокуси Е 1 и Е 2 и прави линии - пресечни линии стрс стр 1 и стр 2 – като директорки. Ако коничното сечение е парабола, както е показано на фиг. 5, V, тогава в конуса може да бъде вписана само една сфера на Данделин.

Други имоти.

Свойствата на коничните сечения са наистина неизчерпаеми и всяко от тях може да се приеме за определящо. Важно място в Математическа среща Pappa (приблизително 300), ГеометрияДекарт (1637) и НаченкиНютон (1687) е зает с проблема за геометричното местоположение на точките спрямо четири прави линии. Ако на една равнина са дадени четири прави Л 1 , Л 2 , Л 3 и Л 4 (две от които може да са еднакви) и точка Пе такова, че произведението на разстоянията от Ппреди Л 1 и Л 2 е пропорционална на произведението на разстоянията от Ппреди Л 3 и Л 4, след това геометричното място на точките Пе конично сечение. Погрешно вярвайки, че Аполоний и Пап не са в състояние да решат проблема за геометричното място на точките спрямо четири прави линии, Декарт създава аналитична геометрия, за да получи решение и да го обобщи.

АНАЛИТИЧЕН ПОДХОД

Алгебрична класификация.

В алгебрични термини коничните сечения могат да бъдат определени като равнинни криви, чиито координати в Декартова системакоординати удовлетворяват уравнението от втора степен. С други думи, уравнението на всички конични сечения може да бъде написано в общ изгледкак

където не всички коефициенти А, бИ ° Сса равни на нула. Използвайки паралелно преместване и въртене на осите, уравнение (1) може да бъде намалено до формата

брадва 2 + от 2 + ° С = 0

px 2 + qy = 0.

Първото уравнение се получава от уравнение (1) с б 2 № A.C., второто – при б 2 = A.C.. Коничните сечения, чиито уравнения се свеждат до първата форма, се наричат централни. Конични сечения, дадени от уравнения от втори тип с р No 0 се наричат нецентрални. В тези две категории има девет различни видовеконични сечения в зависимост от знаците на коефициентите.

2831), ако коеф а, bИ ° Симат същия знак, то няма реални точки, чиито координати биха удовлетворили уравнението. Такова конично сечение се нарича въображаема елипса (или въображаем кръг, ако а = b).

2) Ако аИ bимат същия знак и ° С– срещуположно, тогава коничното сечение е елипса (фиг. 1, А); при а = b– кръг (фиг. 6, b).

3) Ако аИ bимат различни знаци, тогава коничното сечение е хипербола (фиг. 1, V).

4) Ако аИ bимат различни знаци и ° С= 0, тогава коничното сечение се състои от две пресичащи се линии (фиг. 6, А).

5) Ако аИ bимат същия знак и ° С= 0, тогава има само една реална точка на кривата, която удовлетворява уравнението, а коничното сечение е две въображаеми пресичащи се прави. В този случай също говорим за елипса, свита до точка или ако а = b, свита до точка от окръжността (фиг. 6, b).

6) Ако едно от двете а, или bе равно на нула, а останалите коефициенти имат различни знаци, тогава коничното сечение се състои от две успоредни прави.

7) Ако едно от двете а, или bе равно на нула, а останалите коефициенти имат същия знак, тогава няма нито една реална точка, която да удовлетворява уравнението. В този случай те казват, че коничното сечение се състои от две въображаеми успоредни прави.

8) Ако ° С= 0 и едно от двете а, или bсъщо е равно на нула, тогава коничното сечение се състои от две реални съвпадащи прави. (Уравнението не определя никакво конично сечение при а = b= 0, тъй като в този случай оригиналното уравнение (1) не е от втора степен.)

9) Уравнения от втори тип определят параболи, ако стрИ рса различни от нула. Ако стр№ 0, а р= 0, получаваме кривата от стъпка 8. Ако стр= 0, тогава уравнението не определя никакво конично сечение, тъй като първоначалното уравнение (1) не е от втора степен.

Извеждане на уравнения на конични сечения.

Всяко конично сечение може да се определи и като крива, по която равнина пресича квадратна повърхност, т.е. с повърхност, дадена от уравнение от втора степен f (х, г, z) = 0. Очевидно коничните сечения са разпознати за първи път в тази форма и техните имена ( виж отдолу) се дължат на факта, че са получени чрез пресичане на равнина с конус z 2 = х 2 + г 2. Позволявам ABCD– основата на прав кръгъл конус (фиг. 7) с прав ъгъл на върха V. Нека самолетът FDCпресича образуващата VBв точката Е, основа – по права линия CDа повърхността на конуса - по кривата DFPC, Където П– всяка точка от кривата. Нека начертаем средата на сегмента CD- точка д– прав Е.Ф.и диаметър AB. През точката Пначертайте равнина, успоредна на основата на конуса, пресичаща конуса в кръг Р.П.С.и директно Е.Ф.в точката Q. Тогава QFИ QPможе да се приеме, съответно, като абсцисата хи ордината гточки П. Получената крива ще бъде парабола.

Конструкцията, показана на фиг. 7 може да се използва за извеждане на общи уравнения за конични сечения. Квадратът на дължината на перпендикулярен сегмент, възстановен от всяка точка на диаметъра до пресечната точка с окръжността, винаги е равно на произведениетодължини на сегменти с диаметър. Ето защо

г 2 = RQз QS.

За парабола, сегмент RQима постоянна дължина (тъй като във всяка позиция на точката Птя е равна на сегмента А.Е.), и дължината на сегмента QSпропорционален х(от съотношението QS/Е.Б. = QF/F.E.). Следва, че

Където а– постоянен коеф. Номер аизразява дължината на фокусния параметър на параболата.

Ако ъгълът при върха на конуса е остър, тогава сегментът RQне е равен на сегмента А.Е.; но съотношението г 2 = RQз QSе еквивалентно на уравнение от формата

Където аИ b– константи, или след изместване на осите към уравнението

което е уравнението на елипса. Пресечни точки на елипсата с оста х (х = аИ х = –а) и точките на пресичане на елипсата с оста г (г = bИ г = –b) определят съответно голямата и малката ос. Ако ъгълът при върха на конуса е тъп, тогава кривата на пресичане на конуса и равнината има формата на хипербола и уравнението има следната форма:

или след прехвърляне на осите,

В този случай точките на пресичане с оста х, дадено от отношението х 2 = а 2, определете напречната ос и точките на пресичане с оста г, дадено от отношението г 2 = –b 2, определете конюгираната ос. Ако е постоянно аИ bв уравнение (4а) са равни, тогава хиперболата се нарича равностранна. Чрез въртене на осите уравнението му се свежда до формата

xy = к.

Сега от уравнения (3), (2) и (4) можем да разберем значението на имената, дадени от Аполоний на трите основни конични сечения. Термините "елипса", "парабола" и "хипербола" идват от гръцки думи, означаващи "недостатъчен", "равен" и "превъзходен". От уравнения (3), (2) и (4) става ясно, че за елипсата г 2 b 2 / а) х, за парабола г 2 = (а) хи за хипербола г 2 > (2b 2 /а) х. Във всеки случай стойността, оградена в скоби, е равна на фокалния параметър на кривата.

Самият Аполоний разглежда само три общ типконични сечения (типове 2, 3 и 9, изброени по-горе), но неговият подход позволява обобщение за разглеждане на всички реални криви от втори ред. Ако режещата равнина е избрана успоредна на кръглата основа на конуса, тогава напречното сечение ще доведе до кръг. Ако сечещата равнина има само една обща точка с конуса, неговия връх, тогава ще се получи сечение от тип 5; ако съдържа връх и допирателна към конуса, тогава получаваме сечение от тип 8 (фиг. 6, b); ако режещата равнина съдържа две образуващи на конуса, тогава сечението създава крива от тип 4 (фиг. 6, А); когато върхът се пренесе в безкрайност, конусът се превръща в цилиндър и ако равнината съдържа две образуващи, тогава се получава сечение от тип 6.

Ако погледнете кръг от кос ъгъл, той изглежда като елипса. Връзката между кръг и елипса, известна на Архимед, става очевидна, ако кръгът х 2 + Y 2 = а 2 с помощта на заместване х = х, Y = (а/b) гтрансформира в елипсата, дадена от уравнение (3а). Преобразуване х = х, Y = (ai/b) г, Където аз 2 = –1, ни позволява да напишем уравнението на окръжност във формата (4a). Това показва, че една хипербола може да се разглежда като елипса с въображаема второстепенна ос или, обратното, една елипса може да се разглежда като хипербола с въображаема спрегната ос.

Връзка между ординатите на окръжност х 2 + г 2 = а 2 и елипса ( х 2 /а 2) + (г 2 /b 2) = 1 директно води до формулата на Архимед А = p abза областта на елипсата. Кеплер знаеше приблизителната формула стр(а + b) за периметъра на елипса, близка до окръжност, но точният израз е получен едва през 18 век. след въвеждането на елиптичните интеграли. Както показа Архимед, площта на параболичния сегмент е четири трети от площта на вписан триъгълник, но дължината на дъгата на парабола може да бъде изчислена едва след 17 век. Изобретено е диференциалното смятане.

ПРОЕКТИВЕН ПОДХОД

Проективната геометрия е тясно свързана с изграждането на перспектива. Ако начертаете кръг върху прозрачен лист хартия и го поставите под източник на светлина, тогава този кръг ще се проектира върху равнината отдолу. Освен това, ако източникът на светлина е разположен точно над центъра на кръга, а равнината и прозрачният лист са успоредни, тогава проекцията също ще бъде кръг (фиг. 8). Позицията на светлинния източник се нарича точка на изчезване. Обозначава се с буквата V. Ако Vне се намира над центъра на кръга или ако равнината не е успоредна на листа хартия, тогава проекцията на кръга има формата на елипса. При още по-голям наклон на равнината голямата ос на елипсата (проекцията на окръжността) се удължава и елипсата постепенно се превръща в парабола; върху равнина, успоредна на права линия В.П., проекцията има формата на парабола; с още по-голям наклон проекцията приема формата на един от клоновете на хиперболата.

Всяка точка от оригиналния кръг съответства на определена точка от проекцията. Ако проекцията има формата на парабола или хипербола, тогава те казват, че точката, съответстваща на точката П, е в безкрайност или безкрайно отдалечен.

Както видяхме, с подходящ избор на точки на изчезване, една окръжност може да се проектира в елипси с различни размери и с различни ексцентритети, а дължините на големите оси не са пряко свързани с диаметъра на проектираната окръжност. Следователно проективната геометрия не се занимава с разстояния или дължини сама по себе си; нейната задача е да изследва съотношението на дължините, което се запазва по време на проекцията. Тази връзка може да се намери с помощта на следната конструкция. През произволна точка Правнина, начертайте две допирателни към всяка окръжност и свържете допирателните точки с права линия стр. Нека друга права минава през точката П, пресича окръжността в точки ° С 1 и ° С 2 и прав стр- в точката Q(фиг. 9). В планиметрията е доказано, че настолен компютър 1 /настолен компютър 2 = –QC 1 /QC 2. (Знакът минус възниква поради факта, че посоката на сегмента QC 1 е противоположен на посоките на други сегменти.) С други думи, точки ПИ Qразделете сегмента ° С 1 ° С 2 външно и вътрешно в същото отношение; те също така казват, че хармоничното съотношение на четири сегмента е равно на - 1. Ако кръгът се проектира в конично сечение и същата нотация се запази за съответните точки, тогава хармоничното съотношение ( настолен компютър 1)(QC 2)/(настолен компютър 2)(QC 1) ще остане равно на - 1. Точка Пнаречен линеен стълб стрспрямо коничното сечение и правата линия стр– полярна точка Пспрямо коничното сечение.

Когато точката Псе доближава до конично сечение, полярната се стреми да заеме позицията на допирателна; ако точка Плежи върху конично сечение, тогава полярата му съвпада с допирателната към коничното сечение в точката П. Ако точката Псе намира вътре в коничното сечение, тогава неговата полярна може да бъде конструирана по следния начин. Нека начертаем през точката Пвсяка права линия, пресичаща конично сечение в две точки; начертайте допирателни към коничното сечение в точките на пресичане; да предположим, че тези допирателни се пресичат в точка П 1 . Нека начертаем през точката Пдруга права линия, която пресича коничното сечение в две други точки; нека приемем, че допирателните към коничното сечение в тези нови точки се пресичат в точката П 2 (фиг. 10). Права, минаваща през точки П 1 и П 2 , и има желаната полярна стр. Ако точката Пприближава към центъра Оцентрално конично сечение, след това полярно стротдалечавайки се от О. Когато точката Псъвпада с О, тогава неговата полярна става безкрайно отдалечена, или идеална, направо в равнината.

СПЕЦИАЛНИ СГРАДИ

От особен интерес за астрономите е следната проста конструкция на точки на елипса с помощта на компас и линийка. Нека произволна права минава през точка О(фиг. 11, А), се пресича в точки QИ Рдве концентрични окръжности с център в точка Ои радиуси bИ а, Където bа. Нека начертаем през точката Qхоризонтална линия и през Р– вертикална линия и обозначават тяхната пресечна точка П Ппри въртене по права линия OQRоколо точката Още има елипса. Ъгъл fмежду правата линия OQRи голямата ос се нарича ексцентричен ъгъл, а конструираната елипса е удобно специфицирана чрез параметрични уравнения х = а cos f, г = bгрях f. Като изключим параметъра f, получаваме уравнение (3а).

За хипербола конструкцията е до голяма степен подобна. Произволна права линия, минаваща през точка О, пресича една от двете окръжности в точка Р(фиг. 11, b). Към основния въпрос Редин кръг и до крайната точка Схоризонтален диаметър на друг кръг, начертайте пресичащи се допирателни операционна системав точката TИ ИЛИ- в точката Q. Нека вертикална линия минава през точка T, и хоризонтална линия, минаваща през точката Q, пресичат се в точка П. След това геометричното място на точките Ппри завъртане на сегмент ИЛИнаоколо Още бъде хипербола, дадена от параметрични уравнения х = асек f, г = b tg f, Където f– ексцентричен ъгъл. Тези уравнения са получени от френския математик А. Лежандр (1752–1833). Чрез изключване на параметъра f, получаваме уравнение (4а).

Една елипса, както отбелязва Н. Коперник (1473–1543), може да бъде конструирана с помощта на епициклично движение. Ако кръг се търкаля, без да се плъзга по вътрешността на друг кръг с два пъти диаметър, тогава всяка точка П, която не лежи на по-малката окръжност, но е неподвижна спрямо нея, ще опише елипса. Ако точката Пе на по-малък кръг, тогава траекторията на тази точка е изроден случай на елипса - диаметърът на по-големия кръг. Още по-проста конструкция на елипсата е предложена от Прокъл през 5 век. Ако краищата АИ блинейна отсечка ABс дадена дължина се плъзга по две фиксирани пресичащи се прави линии (например по координатни оси), след това всяка вътрешна точка Псегментът ще описва елипса; холандският математик F. van Schooten (1615-1660) показа, че всяка точка в равнината на пресичащи се линии, фиксирана спрямо плъзгащ се сегмент, също ще опише елипса.

Б. Паскал (1623–1662) на 16-годишна възраст формулира известната сега теорема на Паскал, която гласи: трите пресечни точки на противоположните страни на шестоъгълник, вписан във всяко конично сечение, лежат на една и съща права линия. Паскал извежда повече от 400 следствия от тази теорема.

Конична повърхност е повърхност, образувана от прави линии - образуващи конус - преминаващи през тях тази точка- върха на конуса - и пресичаща тази линия - водачът на конуса. Нека водачът на конуса има уравненията

и върхът на конуса има координати Каноничните уравнения на генераторите на конуса като прави, минаващи през точката ) и през точката на водача ще бъдат;

Елиминирайки x, y и z от четирите уравнения (3) и (4), получаваме желаното уравнение на коничната повърхност. Това уравнение има много проста собственост: той е хомогенен (т.е. всички негови членове са от едно и също измерение) по отношение на разликите. Всъщност нека първо приемем, че върхът на конуса е в началото. Нека X, Y и Z са координатите на всяка точка от конуса; следователно те удовлетворяват уравнението на конуса. След замяната на X, Y и Z в уравнението на конуса съответно с XX, XY, XZ, където X е произволен фактор, уравнението трябва да бъде изпълнено, тъй като XX, XY и XZ са координатите на точката на линия, минаваща през началото на координатите до точката, т.е. образуваща конус. Следователно уравнението на конуса няма да се промени, ако умножим всички текущи координати по едно и също число X. От това следва, че това уравнение трябва да бъде хомогенно по отношение на текущите координати.

Ако върхът на конуса лежи в точка, ще прехвърлим началото на координатите към върха и според доказаното трансформираното уравнение на конуса ще бъде хомогенно по отношение на новите координати, т.е. да се

Пример. Напишете уравнение за конус с връх в началото и посока

Каноничните уравнения на генераторите, минаващи през върха (0, 0, C) на конуса и точката на водача, ще бъдат:

Нека елиминираме x, y и от четирите дадени уравнения. Заменяйки чрез c, ние определяме и y от последните две уравнения.

С тази разлика, че вместо „плоски“ графики, ще разгледаме най-често срещаните пространствени повърхности и ще се научим как компетентно да ги изграждаме на ръка. Прекарах доста време в избора на софтуерни инструменти за създаване на триизмерни чертежи и намерих няколко добри приложения, но въпреки цялата лекота на използване, тези програми не решават добре важен практически проблем. Факт е, че в обозримо историческо бъдеще учениците все още ще бъдат въоръжени с линийка и молив и дори да имат висококачествена „машинна“ рисунка, мнозина няма да могат да я прехвърлят правилно върху карирана хартия. Ето защо в ръководството е обърнато специално внимание на техниката на ръчно конструиране, а значителна част от илюстрациите на страницата са ръчно изработен продукт.

Как този референтен материал се различава от аналозите?

Имайки приличен практически опит, знам много добре с кои повърхности най-често трябва да се справям в реални приложения висша математика, и се надявам, че тази статия ще ви помогне бързо да попълните багажа си със съответните знания и приложни умения, които трябва да са достатъчни в 90-95% от случаите.

Какво трябва да можете да правите в момента?

Най-основното:

Първо, трябва да можете изграждайте правилнопространствена декартова координатна система (вижте началото на статията Графики и свойства на функциите) .

Какво ще спечелите след като прочетете тази статия?

Бутилка След като усвоите материалите на урока, ще се научите бързо да определяте вида на повърхността по нейната функция и/или уравнение, да си представяте как е разположена в пространството и, разбира се, да правите чертежи. Добре е, ако не получите всичко в главата си след първото четене - винаги можете да се върнете към всеки абзац по-късно, ако е необходимо.

Информацията е по силите на всеки - за да я овладеете не са необходими никакви супер знания, специален артистичен талант или пространствено зрение.

Започнете!

На практика обикновено се дава пространствената повърхност функция на две променливиили уравнение от формата (константата от дясната страна най-често е равна на нула или единица). Първото обозначение е по-типично за математическия анализ, второто - за аналитична геометрия. Уравнението е по същество имплицитно даденофункция на 2 променливи, която в типичните случаи може лесно да се сведе до формата . Нека ви напомня за най-простия пример c:

–уравнение на равнинатамил .

– равнинна функция в изрично .

Да започнем с него:

Общи уравнения на равнини

Типичните опции за подреждане на равнини в правоъгълна координатна система са разгледани подробно в самото начало на статията. Уравнение на равнината. Нека обаче отново се спрем на уравненията, които са от голямо значение за практиката.

На първо място, трябва напълно автоматично да разпознаете уравненията на равнините, които са успоредни на координатните равнини. Фрагменти от равнини стандартно се изобразяват като правоъгълници, които в последните два случая приличат на успоредници. По подразбиране можете да изберете всякакви размери (разбира се, в разумни граници), но е желателно точката, в която координатната ос „пробива“ равнината, да е центърът на симетрия:

Строго погледнато, координатните оси трябва да бъдат изобразени с пунктирани линии на някои места, но за да избегнем объркване, ще пренебрегнем този нюанс.

– (лява рисунка)неравенството определя най-отдалеченото от нас полупространство, като изключим самата равнина;

– (среден чертеж)неравенството определя дясното полупространство, включително равнината;

– (десен чертеж)двойното неравенство дефинира „слой“, разположен между равнините, включително и двете равнини.

За самозагряване:

Пример 1

Начертайте тяло, ограничено от равнини
Създайте система от неравенства, които определят дадено тяло.

Стар познат трябва да изплува изпод повода на молива ви. кубоид . Не забравяйте, че невидимите ръбове и лица трябва да бъдат начертани с пунктирана линия. Завърши рисуването в края на урока.

Моля те, НЕ ПРЕНЕБРЕБВАЙТЕ Цели на обучението, дори да изглеждат твърде прости. В противен случай може да се случи така, че сте пропуснали едно, пропуснали сте две и след това сте прекарали цял час в изпробване на триизмерна рисунка в някои реален пример. Освен това механичната работа ще ви помогне да научите материала много по-ефективно и да развиете интелигентността си! Неслучайно детска градинаИ начално училищеДецата се зареждат с рисуване, моделиране, конструктори и други задачи за фината моторика на пръстите. Съжалявам за отклонението, но не позволявайте двата ми тетрадки да изчезнат психология на развитието =)

Условно ще наречем следващата група равнини „пряка пропорционалност“ - това са равнини, преминаващи през координатните оси:

2) уравнение от формата задава равнина, минаваща през оста ;

3) уравнение от формата задава равнина, минаваща през оста.

Въпреки че формалният знак е очевиден (коя променлива липсва в уравнението – равнината минава през тази ос), винаги е полезно да разберете същността на случващите се събития:

Пример 2

Конструирайте равнина

Кой е най-добрият начин за изграждане? Предлагам следния алгоритъм:

Първо, нека пренапишем уравнението във формата , от което ясно се вижда, че „y“ може да вземе всякаквизначения. Нека фиксираме стойността, тоест ще разгледаме координатната равнина. Набор от уравнения пространствена линия, лежаща в дадена координатна равнина. Нека изобразим тази линия на чертежа. Правата минава през началото на координатите, така че за да се построи е достатъчно да се намери една точка. Позволявам . Отделете точка и начертайте права линия.

Сега се връщаме към уравнението на равнината. Тъй като "Y" приема всякаквистойности, тогава правата линия, построена в равнината, непрекъснато се „възпроизвежда“ наляво и надясно. Точно така се образува нашата равнина, минаваща през оста. За да завършим чертежа, поставяме две успоредни линии отляво и отдясно на правата линия и „затваряме“ символичния паралелограм с напречни хоризонтални сегменти:

Тъй като условието не налага допълнителни ограничения, фрагмент от самолета може да бъде изобразен в малко по-малки или малко по-големи размери.

Нека повторим още веднъж значението на пространството линейно неравенствоНапример . Как да определим полупространството, което дефинира? Нека вземем малко точка не принадлежащи къмравнина, например, точка от най-близкото до нас полупространство и заместваме нейните координати в неравенството:

получено истинско неравенство, което означава, че неравенството определя долното (спрямо равнината) полупространство, докато самата равнина не е включена в решението.

Пример 3

Конструирайте самолети
А) ;
б) .

Това са задачи за самостоятелно изграждане, в случай на затруднения използвайте подобни разсъждения. Кратки инструкции и рисунки в края на урока.

На практика особено често се срещат равнини, успоредни на оста. Специалният случай, когато равнината преминава през оста, току-що беше обсъден в параграф „be“, а сега ще анализираме по-общ проблем:

Пример 4

Конструирайте равнина

Решение: променливата „z“ не е изрично включена в уравнението, което означава, че равнината е успоредна на приложената ос. Нека използваме същата техника като в предишните примери.

Нека пренапишем уравнението на равнината във формата от което става ясно, че “зет” може да вземе всякаквизначения. Нека го поправим и начертаем правилна „плоска“ права линия в „родната“ равнина. За да го конструирате, е удобно да вземете референтни точки.

Тъй като "Z" приема всичкостойности, тогава конструираната права линия непрекъснато се „умножава“ нагоре и надолу, като по този начин образува желаната равнина . Ние внимателно съставяме успоредник с разумен размер:

Готов.

Уравнение на равнина в отсечки

Най-важният приложен сорт. Ако всичкокоефициенти общо уравнение на равнината ненулев, то може да бъде представено във формата което се нарича уравнение на равнината в сегменти. Очевидно е, че равнината пресича координатните оси в точки , а голямото предимство на такова уравнение е лекотата на конструиране на чертеж:

Пример 5

Конструирайте равнина

Решение: Първо, нека създадем уравнение на равнината в сегменти. Нека хвърлим свободния член надясно и разделим двете страни на 12:

Не, тук няма правописна грешка и всички неща се случват в космоса! Ние изследваме предложената повърхност, използвайки същия метод, който наскоро беше използван за самолети. Нека пренапишем уравнението във формата , от което следва, че “зет” взема всякаквизначения. Нека фиксираме и построим елипса в равнината. Тъй като "zet" приема всичкостойности, тогава конструираната елипса непрекъснато се „възпроизвежда“ нагоре и надолу. Лесно е да се разбере, че повърхността безкраен:

Тази повърхност се нарича елиптичен цилиндър. Извиква се елипса (на произволна височина). ръководствоцилиндър, а успоредните прави, минаващи през всяка точка на елипсата, се наричат формиранецилиндър (който буквално го образува). Оста е ос на симетрияповърхност (но не част от нея!).

Координатите на всяка точка, принадлежаща на дадена повърхност, задължително удовлетворяват уравнението .

Пространственинеравенството определя „вътрешността“ на безкрайната „тръба“, включително самата цилиндрична повърхност, и съответно обратното неравенство определя множеството от точки извън цилиндъра.

В практическите задачи най-популярният частен случай е когато ръководствоцилиндърът е кръг:

Пример 8

Изградете повърхност дадено от уравнението

Невъзможно е да се изобрази безкрайна „тръба“, така че изкуството обикновено се ограничава до „подрязване“.

Първо е удобно да се изгради кръг с радиус в равнината, а след това още няколко кръга отгоре и отдолу. Получените кръгове ( водачицилиндър) внимателно свържете с четири успоредни прави линии ( формиранецилиндър):

Не забравяйте да използвате пунктирани линии за линии, които са невидими за нас.

Координатите на всяка точка, принадлежаща на даден цилиндър, удовлетворяват уравнението . Координатите на всяка точка, разположена строго вътре в „тръбата“, удовлетворяват неравенството , и неравенството определя набор от точки на външната част. За по-добро разбиране препоръчвам да разгледате няколко конкретни точки в пространството и да видите сами.

Пример 9

Построете повърхнина и намерете нейната проекция върху равнината

Нека пренапишем уравнението във формата от което следва, че "х" взема всякаквизначения. Нека фиксираме и изобразим в равнината кръг– с център в началото, единичен радиус. Тъй като "x" непрекъснато приема всичкостойности, тогава конструираният кръг генерира кръгъл цилиндър с ос на симетрия. Начертайте друг кръг ( ръководствоцилиндър) и внимателно ги свържете с прави линии ( формиранецилиндър). На някои места имаше припокривания, но какво да се прави, такъв наклон:

Този път се ограничих до парче от цилиндър в пролуката и това не е случайно. На практика често е необходимо да се изобрази само малък фрагмент от повърхността.

Тук, между другото, има 6 генератора - две допълнителни прави линии "покриват" повърхността от горния ляв и долния десен ъгъл.

Сега нека да разгледаме проекцията на цилиндър върху равнина. Много читатели разбират какво е проекция, но въпреки това нека проведем още едно петминутно физическо упражнение. Моля, застанете и наведете глава над рисунката, така че точката на оста да сочи перпендикулярно на челото ви. Това, което изглежда един цилиндър от този ъгъл, е неговата проекция върху равнина. Но изглежда като безкрайна ивица, затворена между прави линии, включително самите прави линии. Тази проекция е точно така домейнфункции (горен “улей” на цилиндъра), (долен “улей”).

Между другото, нека изясним ситуацията с проекциите върху други координатни равнини. Нека слънчевите лъчи огряват цилиндъра от върха и по оста. Сянката (проекцията) на цилиндър върху равнина е подобна безкрайна ивица - част от равнината, ограничена от прави линии (- всякакви), включително самите прави линии.

Но проекцията върху равнината е малко по-различна. Ако погледнете цилиндъра от върха на оста, тогава той ще бъде проектиран в кръг с единичен радиус , с което започнахме строителството.

Пример 10

Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатни равнини

Това е задача за независимо решение. Ако условието не е много ясно, повдигнете двете страни на квадрат и анализирайте резултата; разберете коя част от цилиндъра е определена от функцията. Използвайте многократно използваната по-горе строителна техника. Бързо решение, рисунка и коментари в края на урока.

Елиптични и други цилиндрични повърхности могат да бъдат изместени спрямо координатните оси, например:

(по познати мотиви на статията за Редове от 2-ри ред) – цилиндър с единичен радиус с линия на симетрия, минаваща през точка, успоредна на оста. На практика обаче такива цилиндри се срещат доста рядко и е абсолютно невероятно да срещнете цилиндрична повърхност, която е „наклонена“ спрямо координатните оси.

Параболични цилиндри

Както подсказва името, ръководствотакъв цилиндър е парабола.

Пример 11

Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатни равнини.

Не можах да устоя на този пример =)

Решение: Да вървим по утъпкания път. Нека пренапишем уравнението във формата, от която следва, че "zet" може да приеме всякаква стойност. Нека фиксираме и построим обикновена парабола на равнината, като предварително маркираме тривиалните референтни точки. Тъй като "Z" приема всичкостойности, тогава конструираната парабола непрекъснато се „възпроизвежда“ нагоре и надолу до безкрайност. Полагаме същата парабола, да речем, на височина (в равнината) и внимателно ги свързваме с успоредни прави линии ( оформяне на цилиндъра):

Напомням ви полезна техника: ако първоначално не сте сигурни в качеството на рисунката, тогава е по-добре първо да нарисувате линиите много тънко с молив. След това оценяваме качеството на скицата, откриваме областите, където повърхността е скрита от очите ни, и едва след това прилагаме натиск върху стилуса.

Проекции.

1) Проекцията на цилиндър върху равнина е парабола. Трябва да се отбележи, че в този случай не може да се говори за област на дефиниране на функция на две променливи– поради причината, че уравнението на цилиндъра не се свежда до функционална форма.

2) Проекцията на цилиндър върху равнина е полуравнина, включително оста

3) И накрая, проекцията на цилиндъра върху равнината е цялата равнина.

Пример 12

Конструирайте параболични цилиндри:

а) ограничете се до фрагмент от повърхността в близкото полупространство;

б) в интервала

В случай на трудности не бързаме и разсъждаваме по аналогия с предишни примери; за щастие технологията е старателно разработена. Не е критично, ако повърхностите се окажат малко тромави - важно е правилно да се покаже основната картина. Аз самият не се притеснявам много от красотата на линиите; ако получа приемлива рисунка с оценка C, обикновено не я преправям. Между другото, примерният разтвор използва друга техника за подобряване на качеството на чертежа ;-)

Хиперболични цилиндри

Ръководстватакива цилиндри са хиперболи. Този тип повърхност, според моите наблюдения, е много по-рядко срещан от предишните типове, така че ще се огранича до един схематичен чертеж на хиперболичен цилиндър:

Принципът на разсъждение тук е абсолютно същият - обичайният училищна хиперболаот равнината непрекъснато се „умножава“ нагоре и надолу до безкрайност.

Разглежданите цилиндри спадат към т.нар Повърхности от 2-ри ред, а сега ще продължим да се запознаваме с други представители на тази група:

Елипсоид. Сфера и топка

Каноничното уравнение на елипсоид в правоъгълна координатна система има формата , където са положителни числа ( полуоскиелипсоид), което в общия случай различен. Елипсоидът се нарича повърхност, така тяло, ограничена от дадена повърхност. Тялото, както мнозина предполагат, се определя от неравенството и координатите на всяка вътрешна точка (както и всяка повърхностна точка) задължително удовлетворяват това неравенство. Дизайнът е симетричен по отношение на координатните оси и координатните равнини:

Произходът на термина „елипсоид“ също е очевиден: ако повърхността е „разрязана“ от координатни равнини, тогава сеченията ще доведат до три различни (в общия случай)

Повърхности от втори ред- това са повърхнини, които са определени в правоъгълна координатна система алгебрични уравнениявтора специалност.

1. Елипсоид.

Елипсоидът е повърхност, която в определена правоъгълна координатна система се определя от уравнението:

Уравнение (1) се нарича канонично уравнение на елипсоид.

Нека установим геометричната форма на елипсоида. За да направите това, разгледайте секциите на този елипсоид с равнини, успоредни на равнината Окси.Всяка от тези равнини се определя от уравнение на формата z=h, Където ч– произволно число, а правата, която се получава в сечението, се определя от две уравнения

(2)

Нека проучим уравнения (2) за различни стойности ч .

> ° С(c>0), тогава уравнения (2) определят въображаема елипса, т.е. точките на пресичане на равнината z=hне съществува с този елипсоид. , Че и линия (2) се изражда в точки (0; 0; + ° С) и (0; 0; - ° С) (равнините се допират до елипсоида). , тогава уравнения (2) могат да бъдат представени като

откъдето следва, че самолетът z=hпресича елипсоида по елипса с полуоси

И . Както стойностите намаляват, така и се увеличават и достигат своите най-високи стойностив , т.е. в сечението на елипсоида с координатната равнина Оксинай-голямата елипса с полуоси и се получава.

Подобна картина се получава, когато дадена повърхност се пресича от равнини, успоредни на координатните равнини OxzИ Ойз.

По този начин разглежданите сечения позволяват да се изобрази елипсоидът като затворена овална повърхност (фиг. 156). Количества a, b, cса наречени полуоскиелипсоид. Кога a=b=cелипсоидът е сфероth.

2. Еднолентов хиперболоид.

Хиперболоид с една лента е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението (3)

Уравнение (3) се нарича канонично уравнение на хиперболоид с една лента.

Нека зададем вида на повърхността (3). За да направите това, разгледайте разрез от неговите координатни равнини Окси (y=0)ИOyx (x=0).Получаваме съответно уравненията

Сега разгледайте сеченията на този хиперболоид с равнини z=h, успоредни на координатната равнина Окси. Получената линия в сечението се определя от уравненията

или (4)

от което следва, че равнината z=h пресича хиперболоида по елипса с полуоси

И ,

постигане на техните най-ниски стойностипри h=0, т.е. в сечението на този хиперболоид координатната ос Oxy произвежда най-малката елипса с полуоси a*=a и b*=b. С безкрайно увеличение

величините a* и b* нарастват безкрайно.

По този начин разглежданите сечения позволяват да се изобрази хиперболоид с една лента под формата на безкрайна тръба, безкрайно разширяваща се при отдалечаване (от двете страни) от равнината Oxy.

Величините a, b, c се наричат полуоси на еднолентов хиперболоид.

3. Двулистов хиперболоид.

Двулистов хиперболоид е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението

Уравнение (5) се нарича канонично уравнение на двулистов хиперболоид.

Нека установим геометричния вид на повърхността (5). За да направите това, разгледайте неговите секции с координатни равнини Oxy и Oyz. Получаваме съответно уравненията

от което следва, че хиперболите се получават в разрези.

Сега разгледайте сеченията на този хиперболоид с равнини z=h, успоредни на координатната равнина Oxy. Линията, получена в сечението, се определя от уравненията

или (6)

от което следва, че когато

>c (c>0) равнината z=h пресича хиперболоида по елипса с полуоси и . Тъй като стойностите на a* и b* се увеличават, те също се увеличават. уравнения (6) се удовлетворяват от координатите само на две точки: (0;0;+с) и (0;0;-с) (равнините се допират до дадената повърхност). уравнения (6) дефинират въображаема елипса, т.е. Няма пресечни точки на равнината z=h с този хиперболоид.

Величините a, b и c се наричат полуоси на двулистов хиперболоид.

4. Елиптичен параболоид.

Елиптичен параболоид е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението

(7)

където p>0 и q>0.

Уравнение (7) се нарича канонично уравнение на елиптичен параболоид.

Нека разгледаме разрези на тази повърхност с координатни равнини Oxy и Oyz. Получаваме съответно уравненията

от което следва, че сеченията дават параболи, които са симетрични спрямо оста Oz, с върхове в началото. (8)

от което следва, че при . С увеличаването на h стойностите на a и b също се увеличават; при h=0 елипсата се изражда в точка (равнината z=0 се допира до дадения хиперболоид). В ч<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

По този начин разглежданите сечения позволяват да се изобрази елиптичен параболоид под формата на безкрайно изпъкнала купа.

Точката (0;0;0) се нарича връх на параболоида; числата p и q са неговите параметри.

В случай на p=q уравнение (8) дефинира окръжност с център на оста Oz, т.е. елипсовиден параболоид може да се разглежда като повърхност, образувана от въртенето на парабола около нейната ос (параболоид на въртене).

5. Хиперболичен параболоид.

Хиперболичен параболоид е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението

(9)

Основни теоретични сведения

Цилиндрична повърхностили просто цилиндърсе нарича всяка повърхност, която може да се получи чрез движение на права линия, движеща се успоредно на някакъв вектор и винаги пресичаща тази линия, която се нарича ръководство.Подвижната права се нарича формиращ.

Конична повърхностили просто конусе повърхнина, образувана от движението на права линия, минаваща през дадена точка, т.нар върха на конусаи плъзгане по тази крива. Подвижната права се нарича образувайки конус,а кривата, по която се плъзга образуващата е ръководство.

Въртенето на фигура около дадена права линия (ос на въртене) е такова движение, при което всяка точка на фигурата
описва окръжност с център върху оста на въртене, лежаща в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.

Повърхнината, образувана от въртене на права около ос, се нарича повърхност на въртене.

Канонични уравнения на повърхности от втори ред

Повърхност от втори ред се определя в правоъгълни координати чрез уравнение от втора степен

(7.1)

Чрез трансформиране на координатите (въртене на осите и паралелна транслация), уравнение (7.1) се редуцира до канонична форма. В случай, че в уравнение (7.1) няма членове с произведението на координатите, това уравнение се разделя с пълни квадрати в ,,и чрез паралелно преместване на координатните оси се довежда до канонична форма по същия начин, както беше направено за линии от втори ред (виж Изследване на общото уравнение на линия от втори ред). Повърхнините от втори ред и техните канонични уравнения са представени в табл. 3.

Формата и местоположението на повърхностите от втори ред обикновено се изследват по метода на паралелните сечения. Същността на метода е, че повърхността се пресича от няколко равнини, успоредни на координатните равнини. Формата и параметрите на получените секции позволяват да се определи формата на самата повърхност.

Таблица 3


Хиперболоид: еднокухинен, двойна кухина,

параболоид: елипсовидна, хиперболичен,

елипсовидна,

хиперболичен,

параболичен,

Примери за решаване на проблеми

Задача 7.1.Напишете уравнение за сфера, чийто радиус е , а центърът е в точката
.

Решение.Сферата е набор от точки, разположени на еднакво разстояние от центъра. Следователно, означавайки с
координати на произволна точка
сфери и изразяване на равенство чрез тях
, ще има

Като повдигаме на квадрат двете страни на равенството, получаваме желаното канонично уравнение на сферата:

Ако центърът на сферата е поставен в началото, тогава уравнението на сферата има по-проста форма:

Отговор.
.

Задача 7.2.Напишете уравнение за конична повърхност с връх в началото и посока

(7.1)

Решение.Канонични уравнения на образуващи през точка
и точка
ръководството има формата

(7.2)

Да изключим ,,от уравнения (7.1) и (7.2). За да направим това, в уравнения (7.2) заместваме На и дефинирайте И :

;

Замествайки тези стойности И в първото уравнение на системата (7.1), ще имаме:

или

Полученото уравнение дефинира конус от втори ред (вижте таблица 3)

Задача 7.3.

Решение.Тази повърхност е хиперболичен цилиндър с образуващи, успоредни на оста
Всъщност това уравнение не съдържа , а водачът на цилиндъра е хипербола

с център на симетрия в точка
и реална ос, успоредна на оста
.

Задача 7.4.Изследвайте и конструирайте повърхността, дадена от уравнението

Решение.Нека пресечем повърхността с равнина
. В резултат на това имаме

където
. Това е уравнението на парабола в равнината

Разрез на дадена повърхност с равнина
има парабола

Равнинно сечение
има двойка пресичащи се линии:

Разрез с равнини, успоредни на равнината
, има хиперболи:

При
реалната ос на хиперболата е успоредна на оста
, при
брадви
. Изследваната повърхност е хиперболичен параболоид (във връзка с формата си повърхността се нарича „седло“).

Коментирайте.Интересно свойство на хиперболичния параболоид е наличието на прави линии, които лежат с всички точки на повърхността му. Такива линии се наричат праволинейни генератори на хиперболичен параболоид.През всяка точка на хиперболичен параболоид има две праволинейни образуващи.

Задача 7.5.Каква повърхност се определя от уравнението

Решение.За да приведем това уравнение в канонична форма, избираме пълните квадрати на променливите ,,:

Сравнявайки полученото уравнение с табличните (вижте таблица 3), виждаме, че това е уравнението на еднолистов хиперболоид, чийто център е изместен към точката
Чрез паралелно пренасяне на координатната система по формулите