Курс лекцій – технічна механіка. Технічна механіка. Конспект лекцій Теоретична механіка лекції 2 курс

Лекції з теоретичної механіки

Динаміка точки

Лекція 1

    Основні поняття динаміки

В розділі Динамікавивчається рух тіл під впливом прикладених до них сил. Тому, крім понять, які вводилися в розділі Кінематіка,тут необхідно використовувати нові поняття, що відображають специфіку впливу сил на різні тілата реакцію тіл на ці дії. Розглянемо основні із цих понять.

а) сила

Сила є кількісним результатом впливу на дане тіло з боку інших тіл.Сила є векторною величиною (рис.1).



Точка А початку вектора сили Fназивається точкою докладання сили. Пряма MN на якій знаходиться вектор сили називається лінією дії сили.Довжина вектора сили, виміряна в певному масштабі, називається чисельним значенням або модулем вектора сили. Модуль сили позначається як або . Дія сили на тіло проявляється або в його деформації, якщо тіло нерухоме, або в повідомленні прискорення при русі тіла. На цих проявах сили ґрунтується пристрій різних приладів (силомірів або динамометрів) для вимірювання сил.

б) система сил

Розглянута сукупність сил утворює систему зусиль.Будь-яка система, що складається з n сил, може бути записана у такому вигляді:

в) вільне тіло

Тіло, яке може переміщатися у просторі у будь-якому напрямку, не відчуваючи безпосередньої (механічної) взаємодії з іншими тілами, називається вільнимабо ізольованим. Вплив тієї чи іншої системи сил на тіло може бути з'ясовано тільки в тому випадку, якщо це вільне тіло.

г) рівнодіюча сила

Якщо якась сила надає на вільне тіло такий самий вплив, як і деяка система сил, то ця сила називається рівнодіючої даної системи сил. Це записується так:

,

що означає еквівалентністьвпливу на те саме вільне тіло рівнодіючої і деякої системи n сил.

Перейдемо тепер до розгляду складніших понять, що з кількісним визначенням обертальних впливів сил.

д) момент сили щодо точки (центру)

Якщо тіло під дією сили може повертатися навколо деякої нерухомої точкиПро (рис.2), то для кількісної оцінки цього обертального впливу вводиться фізична величина, що називається моментом сили щодо точки (центру).

Площина, що проходить через цю нерухому точку та лінію дії сили, називається площиною дії сили. На рис.2 це площина ОАВ.

Моментом сили щодо точки (центру) називається векторна величина, що дорівнює векторному твору радіус-вектора точки докладання сили на вектор сили:

( 1)

Відповідно до правила векторного множення двох векторів їх векторний твір є вектор перпендикулярний площині розташування векторів співмножників (в даному випадку площині трикутника ОАВ), спрямований у той бік, звідки найкоротший поворот першого вектора співмножника до другого вектора. видно проти стрілки годинника (рис.2).При такому порядку векторів співмножників векторного твору (1), поворот тіла під дією сили буде видно проти стрілки годинника (рис.2)Так як вектор перпендикулярний площині дії сили, то його розташування в просторі визначає положення площини дії сили. щодо центру дорівнює подвоєній площі ОАВ і може бути визначено за формулою:

, (2)

де величинаh, Рівна найкоротшій відстані від даної точки О до лінії дії сили, називається плечем сили.

Якщо положення площини дії сили в просторі не суттєво для характеристики обертального впливу сили, то в цьому випадку для характеристики обертального впливу сили замість вектора моменту сили використовується алгебраїчний момент сили:

(3)

Алгебраїчний момент сили щодо даного центру дорівнює взятому зі знаком плюс або мінус добутку модуля сили на її плече. При цьому позитивний момент відповідає повороту тіла під дією даної сили проти стрілки годинника, а негативний момент - повороту тіла за стрілкою годинника. З формул (1), (2) та (3) випливає, що момент сили щодо точки дорівнює нулю лише у тому випадку, коли плече цієї силиhодно нулю. Така сила не може обертати тіло навколо цієї точки.

е) Момент сили щодо осі

Якщо тіло під дією сили може повертатися навколо деякої нерухомої осі(наприклад, поворот дверей або віконної рами в петлях під час їх відкриття або закриття), то для кількісного визначення цього обертального впливу вводиться фізична величина, яка називається моментом сили щодо цієї осі.

z

b F xy

На рис.3 представлена ​​схема, відповідно до якої визначається момент сили щодо осі z:

Кут  утворений двома перпендикулярними напрямками z та до площин трикутників O abта ОАВ відповідно. Оскільки  O abє проекцією ОАВ на площину xy , то за теоремою стереометрії про проекцію плоскої фігури на цю площину маємо:

де знак плюс відповідає позитивному значенню cos, тобто. гострим кутам, а знак мінус відповідає негативному значенню cos, тобто тупим кутам , що обумовлено напрямом вектора. У свою чергу SO ab=1/2abh, де h ab . Величина відрізка abдорівнює проекції сили на площину xy, тобто . ab = F xy .

На підставі вищевикладеного, а також рівностей (4) і (5), визначимо момент сили щодо осі z наступним чином:

Рівність (6) дозволяє сформулювати наступне визначення моменту сили щодо будь-якої осі: Момент сили щодо даної осі дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту цієї сили щодо будь-якої точки даної осі і визначається як взятий зі знаком плюс або мінус добуток проекції сили на площину перпендикулярну до цієї осі на плече цієї проекції щодо точки перетину осі з площиною проекції. При цьому знак моменту вважається позитивним, якщо, дивлячись із позитивного напрямку осі, поворот тіла навколо цієї осі видно проти стрілки годинника. Інакше момент сили щодо осі береться негативним. Оскільки це визначення моменту сили щодо осі досить складно для запам'ятовування, то рекомендується запам'ятати формулу (6) та рис.3, що пояснює цю формулу.

З формули (6) випливає, що момент сили щодо осі дорівнює нулю, якщовона паралельна осі (у цьому випадку її проекція на площину перпендикулярну до осі дорівнює нулю), або лінія дії сили перетинає вісь (тоді плече проекції h=0). Це повністю відповідає фізичному сенсу моменту сили щодо осі як кількісної характеристики обертального впливу сили на тіло, що має вісь обертання.

ж) маса тіла

Вже давно було помічено, що під дією сили тіло набирає швидкість поступово і продовжує рух, якщо прибрати силу. Ця властивість тіл, чинити опір зміні свого руху, була названа інерцією чи інертністю тел. Кількісним мірою інертності тіла є його маса.Крім того, маса тіла є кількісним заходом на дане тіло гравітаційних силчим більша маса тіла, тим більша гравітаційна сила діє тіло.Як буде показано нижче, ети два визначення маси тіла пов'язані між собою.

Інші поняття та визначення динаміки будуть розглянуті пізніше у тих розділах, де вони вперше зустрінуться.

2. Зв'язки та реакції зв'язків

Раніше у розділі 1 пункт (в) було дано поняття вільного тіла як тіла, яке може переміщатися у просторі в будь-який бік, не перебуваючи у безпосередньому контакті з іншими тілами. Більшість реальних тіл, що оточують нас, знаходяться у безпосередньому контакті з іншими тілами і не можуть переміщатися у тих чи інших напрямках. Так, наприклад, тіла, що знаходяться на поверхні столу, можуть переміщуватися в будь-який бік, крім напряму перпендикулярного поверхні столу вниз. Двері, закріплені на петлях, можуть здійснювати обертальний рух, але не можуть рухатися поступально і т. д. Тіла, які не можуть рухатися в просторі в тих чи інших напрямках, називаються невільними.

Все, що обмежує переміщення даного тіла у просторі, називається зв'язками.Це можуть бути інші тіла, що перешкоджають переміщенню даного тіла в деяких напрямках ( фізичні зв'язки); у ширшому плані, це можуть бути деякі умови, що накладаються на рух тіла, що обмежують цей рух. Так, можна поставити умову, щоб рух матеріальної точки відбувався по заданій кривій. І тут зв'язок задається математично як рівняння ( рівняння зв'язку). Докладніше питання про типи зв'язків буде розглянуто нижче.

Більшість зв'язків, що накладаються на тіла, практично відносяться до фізичних зв'язків. Тому постає питання взаємодії даного тіла та зв'язку, накладеної цього тіло. На це питання відповідає аксіома про взаємодію тіл: Два тіла діють один на одного з силами, рівними за модулем, протилежними за напрямом і розташованими на одній прямій. Ці сили називаються силами взаємодії. Сили взаємодії прикладені до різних тіл, що взаємодіють. Так, наприклад, при взаємодії даного тіла та зв'язку одна із сил взаємодії прикладена з боку тіла до зв'язку, а інша сила взаємодії прикладена з боку зв'язку до цього тіла. Ця остання сила називається силою реакції зв'язкуабо просто, реакцією зв'язку.

При вирішенні практичних завдань динаміки необхідно вміти знаходити напрямок реакцій різних типівзв'язків. У цьому іноді може допомогти загальне правило визначення напрямку реакції зв'язку: Реакція зв'язку завжди спрямована протилежно до того напрямку, в якому цей зв'язок перешкоджає переміщенню даного тіла. Якщо цей напрямок можна вказати безперечно, то і реакція зв'язку буде визначена за напрямком. Інакше напрям реакції зв'язку невизначений і може бути знайдений тільки з відповідних рівнянь руху або рівноваги тіла. Докладніше питання про типи зв'язків та напрямок їх реакцій слід вивчити за підручником: С.М. Тарг Короткий курс теоретичної механіки "Вища школа", М., 1986р. Гл.1, §3.

У розділі 1 пункт (в) було сказано про те, що повністю визначити вплив будь-якої системи сил можна тільки в тому випадку, якщо ця система сил додається до вільного тіла. Оскільки більшість тіл, реально, є невільними, те щоб вивчити рух цих тіл, постає питання, як ці тіла зробити вільними. На це запитання відповідає аксіома зв'язків лекцій пофілософії вдома. Лекціїбули... соціальної психологіїта етнопсихології. 3. Теоретичніпідсумки У соціальному дарвінізмі були...

  • Теоретична механіка

    Навчальний посібник >> Фізика

    Конспект лекцій попредмету ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКАДля студентів спеціальності: 260501.65... - очна Конспект лекційскладено на основі: Буторін Л.В., Бусигіна Є.Б. Теоретична механіка. Навчально-практичний посібник...

    • Перегляд:ця стаття прочитана 32852 разів

    Pdf Оберіть мову... Українська Українська Англійська

    Короткий огляд

    Повністю матеріал завантажується вище, попередньо вибравши мову


    • Статика
      • Основні поняття статики
      • Види сил
      • Аксіоми статики
      • Зв'язки та їх реакції
      • Система схожих сил
        • Методи визначення рівнодіючої системи схожих сил
        • Умови рівноваги системи схожих сил
      • Момент сили щодо центру як вектор
        • Алгебраїчна величина моменту сили
        • Властивості моменту сили щодо центру (точки)
      • Теорія пар сил
        • Додавання двох паралельних сил, спрямованих в один бік
        • Складання двох паралельних сил, спрямованих у різні боки
        • Пари сил
        • Теореми про пару сил
        • Умови рівноваги системи пар сил
      • Важіль
      • Довільна плоска система сил
        • Випадки приведення плоскої системи сил до більш простого вигляду
        • Аналітичні умови рівноваги
      • Центр паралельних сил. Центр ваги
        • Центр паралельних сил
        • Центр тяжкості твердого тіла та його координати
        • Центр тяжкості об'єму, площини та лінії
        • Способи визначення положення центру тяжіння
    • Основи рачсетів на міцність
      • Завдання та методи опору матеріалів
      • Класифікація навантажень
      • Класифікація елементів конструкцій
      • Деформації стрижня
      • Основні гіпотези та принципи
      • внутрішні сили. Метод перерізів
      • Напруження
      • Розтягування та стиснення
      • Механічні характеристики матеріалу
      • Допустима напруга
      • Твердість матеріалів
      • Епюри поздовжніх сил та напружень
      • Зсув
      • Геометричні характеристики перерізів
      • крутіння
      • Вигин
        • Диференціальні залежності при згині
        • Міцність при згинанні
        • Нормальна напруга. Розрахунок на міцність
        • Дотичні напруги при згині
        • Жорсткість при згині
      • Елементи загальної теорії напруженого стану
      • Теорії міцності
      • Вигин із крученням
    • Кінематика
      • Кінематика точки
        • Траєкторія руху точки
        • Способи завдання руху точки
        • Швидкість точки
        • Прискорення точки
      • Кінематика твердого тіла
        • Поступальний рух твердого тіла
        • Обертальний рух твердого тіла
        • Кінематика зубчастих механізмів
        • Плоскопаралельний рух твердого тіла
      • Складний рух точки
    • Динаміка
      • Основні закони динаміки
      • Динаміка точки
      • Динаміка твердого тіла
        • Класифікація сил, що діють на механічну систему
        • Диференціальні рівняння руху механічної системи
      • Загальні теореми динаміки
        • Теорема про рух центру мас механічної системи
        • Теорема про зміну кількості руху
        • Теорема про зміну моменту кількості руху
        • Теорема про зміну кінетичної енергії
    • Сили, що діють у машинах
      • Сили в зачепленні прямозубої циліндричної передачі
      • Тертя в механізмах та машинах
        • Тертя ковзання
        • Тертя кочення
      • Коефіцієнт корисної дії
    • Деталі машин
      • Механічні передачі
        • Типи механічних передач
        • Основні та похідні параметри механічних передач
        • Зубчасті передачі
        • Передачі з гнучкими ланками
      • Вали
        • Призначення та класифікація
        • Проектний розрахунок
        • Перевірочний розрахунок валів
      • Підшипники
        • Підшипники ковзання
        • Підшипники кочення
      • З'єднання деталей машин
    • Стандартизація норм, взаємозамінність
      • Допуски та посадки
      • Єдина система допусків та посадок (ЕСДП)
      • Відхилення форми та розташування

    Формат: pdf

    Розмір: 4МВ

    Мова російська

    Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі
    Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі. Виконаний вибір матеріалу, розрахунок напруг, що допускаються, розрахунок на контактну і згинальну міцність.


    Приклад розв'язання задачі на вигин балки
    У прикладі побудовані епюри поперечних сил і згинальних моментів, знайдено небезпечний переріз і підібрано двотавр. У задачі проаналізовано побудову епюр за допомогою диференціальних залежностей, проведено порівняльний аналіз різних поперечних перерізів балки.


    Приклад розв'язання задачі на кручення валу
    Завдання полягає в перевірці міцності сталевого валу при заданому діаметрі, матеріалі і напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри моментів, що крутять, дотичних напруг і кутів закручування. Власна вага валу не враховується


    Приклад розв'язання задачі на розтягування-стиснення стрижня
    Завдання полягає в перевірці міцності сталевого стрижня при заданих напругах, що допускаються. У результаті рішення будуються епюри поздовжніх сил, нормальних напруг і переміщень. Власна вага стрижня не враховується


    Застосування теореми про збереження кінетичної енергії
    Приклад вирішення завдання застосування теореми про збереження кінетичної енергії механічної системи



    Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху
    Приклад розв'язання задачі на визначення швидкості та прискорення точки по заданим рівняннямруху


    Визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі
    Приклад розв'язання задачі на визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі


    Визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми
    Приклад розв'язання задачі на визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми методом Ріттера та методом вирізування вузлів

    Теоретична механіка– це розділ механіки, у якому викладаються основні закони механічного рухута механічної взаємодії матеріальних тіл.

    Теоретична механіка є наукою, у якій вивчаються переміщення тіл із часом (механічні руху). Вона є базою інших розділів механіки (теорія пружності, опір матеріалів, теорія пластичності, теорія механізмів і машин, гідроаеродинаміка) та багатьох технічних дисциплін.

    Механічне рух— це зміна з часом взаємного становища у просторі матеріальних тел.

    Механічна взаємодія– це така взаємодія, внаслідок якої змінюється механічний рух або змінюється взаємне становище частин тіла.

    Статика твердого тіла

    Статика— це розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються завдання на рівновагу твердих тіл та перетворення однієї системи сил на іншу, їй еквівалентну.

      Основні поняття та закони статики
    • Абсолютно тверде тіло (тверде тіло, тіло) – це матеріальне тіло, відстань між будь-якими точками у якому змінюється.
    • Матеріальна точка- Це тіло, розмірами якого за умовами завдання можна знехтувати.
    • Вільне тіло- Це тіло, на переміщення якого не накладено жодних обмежень.
    • Невільне (пов'язане) тіло- Це тіло, на переміщення якого накладені обмеження.
    • Зв'язки– це тіла, що перешкоджають переміщенню об'єкта, що розглядається (тіла або системи тіл).
    • Реакція зв'язку- Це сила, що характеризує дію зв'язку на тверде тіло. Якщо вважати силу, з якою тверде тіло діє зв'язок, дією, то реакція зв'язку є протидією. При цьому сила - дія додається до зв'язку, а реакція зв'язку додається до твердого тіла.
    • Механічна система– це сукупність взаємозалежних між собою тіл чи матеріальних точок.
    • Тверде тіломожна розглядати як механічну систему, положення та відстань між точками якої не змінюються.
    • Сила- Це векторна величина, що характеризує механічну дію одного матеріального тіла на інше.
      Сила як вектор характеризується точкою програми, напрямом дії та абсолютним значенням. Одиниця виміру модуля сили – Ньютон.
    • Лінія дії сили– це пряма, вздовж якої спрямований вектор сили.
    • Зосереджена сила- Сила, прикладена в одній точці.
    • Розподілені сили (розподілене навантаження)– це сили, що діють на всі точки об'єму, поверхні чи довжини тіла.
      Розподілене навантаження задається силою, що діє на одиницю об'єму (поверхні, довжини).
      Розмірність розподіленого навантаження - Н/м3 (Н/м2, Н/м).
    • Зовнішня сила- це сила, що діє з боку тіла, що не належить механічній системі, що розглядається.
    • Внутрішня сила– це сила, що діє матеріальну точку механічної системи з боку інший матеріальної точки, що належить аналізованої системі.
    • Система сил- Це сукупність сил, що діють на механічну систему.
    • Плоска система сил- Це система сил, лінії дії яких лежать в одній площині.
    • Просторова система сил- Це система сил, лінії дії яких не лежать в одній площині.
    • Система схожих сил- Це система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці.
    • Довільна система сил- Це система сил, лінії дії яких не перетинаються в одній точці.
    • Еквівалентні системи сил- Це такі системи сил, заміна яких одна на іншу не змінює механічного стану тіла.
      Прийняте позначення: .
    • Рівновість- Це стан, при якому тіло при дії сил залишається нерухомим або рухається рівномірно прямолінійно.
    • Врівноважена система сил– це система сил, яка додана до вільного твердого тіла не змінює його механічного стану (не виводить із рівноваги).
      .
    • Рівнодійна сила- Це сила, дія якої на тіло еквівалентна дії системи сил.
      .
    • Момент сили- Це величина, що характеризує обертову здатність сили.
    • Пара сил– це система двох паралельних рівних за модулем протилежно спрямованих сил.
      Прийняте позначення: .
      Під дією пари сил тіло здійснюватиме обертальний рух.
    • Проекція сили на вісь– це відрізок, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї осі.
      Проекція позитивна, якщо напрямок відрізка збігається з позитивним напрямком осі.
    • Проекція сили на площину– це вектор на площині, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї площини.
    • Закон 1 (закон інерції).Ізольована матеріальна точка перебуває у спокої чи рухається поступово і прямолінійно.
      Рівномірний та прямолінійний рух матеріальної точки є рухом за інерцією. Під станом рівноваги матеріальної точки і твердого тіла розуміють як стан спокою, а й рух за інерцією. Для твердого тіла існують різні види руху за інерцією, наприклад, рівномірне обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.
    • Закон 2.Тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією двох сил тільки в тому випадку, якщо ці сили дорівнюють модулю і направлені в протилежні сторони по загальній лінії дії.
      Ці дві сили називаються такими, що врівноважуються.
      Взагалі сили називаються такими, що врівноважуються, якщо тверде тіло, до якого прикладені ці сили, перебуває в спокої.
    • Закон 3.Не порушуючи стану (слово «стан» тут означає стан руху або спокою) твердого тіла, можна додавати і відкидати сили, що врівноважуються.
      Наслідок. Не порушуючи стану твердого тіла, силу можна переносити по лінії дії в будь-яку точку тіла.
      Дві системи сил називаються еквівалентними, якщо одну з них можна замінити іншою, не порушуючи стану твердого тіла.
    • Закон 4.Равнодіюча двох сил, прикладених в одній точці, прикладена в тій же точці, що дорівнює по модулю діагоналі паралелограма, побудованого на цих силах, і спрямована вздовж цієї
      діагоналі.
      По модулю рівнодіюча дорівнює:
    • Закон 5 (закон рівності дії та протидії). Сили, з якими два тіла діють одне на одного, рівні за модулем і направлені в протилежні сторони по одній прямій.
      Слід мати на увазі, що дія- сила, прикладена до тіла Б, і протидія- сила, прикладена до тіла А, не врівноважуються, тому що вони прикладені до різних тіл.
    • Закон 6 (закон затвердіння). Рівновага нетвердого тіла не порушується при його затвердінні.
      Не слід забувати, що умови рівноваги, які є необхідними і достатніми для твердого тіла, є необхідними, але недостатніми для відповідного нетвердого тіла.
    • Закон 7 (закон звільнення від зв'язків).Невільне тверде тіло можна як вільне, якщо його подумки звільнити від зв'язків, замінивши дію зв'язків відповідними реакціями зв'язків.
      Зв'язки та їх реакції
    • Гладка поверхняобмежує переміщення нормалі до поверхні опори. Реакція спрямована перпендикулярно поверхні.
    • Шарнірна рухлива опораобмежує переміщення тіла за нормаллю до опорної площини. Реакція спрямована нормалі до поверхні опори.
    • Шарнірна нерухома опорапротидіє будь-якому переміщенню в площині перпендикулярної осі обертання.
    • Шарнірний невагомий стриженьпротидіє переміщенню тіла вздовж лінії стрижня. Реакція буде спрямована вздовж лінії стрижня.
    • Глухий закладпротидіє будь-якому переміщенню та обертанню в площині. Її дію можна замінити силою, представленою у вигляді двох складових та парою сил з моментом.

    Кінематика

    Кінематика- Розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються загальні геометричні властивості механічного руху, як процесу, що відбувається в просторі і в часі. Об'єкти, що рухаються, розглядають як геометричні точки або геометричні тіла.

      Основні поняття кінематики
    • Закон руху точки (тіла)- Це залежність положення точки (тіла) у просторі від часу.
    • Траєкторія точки– це геометричне місце положень точки у просторі під час її руху.
    • Швидкість точки (тіла)– це характеристика зміни у часі положення точки (тіла) у просторі.
    • Прискорення точки (тіла)– це характеристика зміни часу швидкості точки (тіла).
      Визначення кінематичних характеристик точки
    • Траєкторія точки
      У системі відліку траєкторія описується выражением: .
      У координатній системі відліку траєкторія визначається за законом руху точки та описується виразами z = f(x, y)- у просторі, або y = f(x)– у площині.
      У природній системі відліку траєкторія задається наперед.
    • Визначення швидкості точки у векторній системі координат
      При заданні руху точки у векторній системі координат відношення переміщення до інтервалу часу називають середнім значенням швидкості цього інтервалі часу: .
      Приймаючи інтервал часу нескінченно малою величиною, набувають значення швидкості в даний момент часу (миттєве значення швидкості): .
      Вектор середньої швидкості спрямований вздовж вектора у бік руху точки, вектор миттєвої швидкості спрямований по дотичній траєкторії в бік руху точки.
      Висновок: швидкість точки - векторна величина, що дорівнює похідній від закону руху за часом.
      Властивість похідної: похідна від будь-якої величини за часом визначає швидкість зміни цієї величини.
    • Визначення швидкості точки в координатній системі відліку
      Швидкість зміни координат точки:
      .
      Модуль повної швидкості точки при прямокутній системі координат дорівнює:
      .
      Напрямок вектора швидкості визначається косинусами напрямних кутів:
      ,
      де – кути між вектором швидкості та осями координат.
    • Визначення швидкості точки у природній системі відліку
      Швидкість точки у природній системі відліку окреслюється похідна від закону руху точки: .
      Згідно з попередніми висновками вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у бік руху точки і в осях визначається лише однією проекцією.
      Кінематика твердого тіла
    • У кінематиці твердих тіл вирішуються дві основні задачі:
      1) завдання руху та визначення кінематичних характеристик тіла в цілому;
      2) визначення кінематичних показників точок тіла.
    • Поступальний рух твердого тіла
      Поступальний рух - це рух, при якому пряма, проведена через дві точки тіла, залишається паралельною до її початкового положення.
      Теорема: при поступальному русі всі точки тіла рухаються однаковими траєкторіями і мають у кожний момент часу однакові за модулем і напрямом швидкості та прискорення.
      Висновок: поступальний рух твердого тіла визначається рухом будь-якої його точки, у зв'язку з чим завдання та вивчення його руху зводиться до кінематики точки.
    • Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
      Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі - це рух твердого тіла, при якому дві точки, що належать тілу, залишаються нерухомими протягом усього часу руху.
      Положення тіла визначається кутом повороту. Одиниця виміру кута – радіан. (Радіан - центральний кут кола, довжина дуги якого дорівнює радіусу, повний кут кола містить 2πрадіана.)
      Закон обертального руху тіла навколо нерухомої осі.
      Кутову швидкість та кутове прискореннятіла визначимо методом диференціювання:
      - Кутова швидкість, рад / с;
      - Кутове прискорення, рад/с².
      Якщо розсікти тіло площиною перпендикулярної осі, вибрати на осі обертання точку Зта довільну точку М, то точка Мбуде описувати навколо точки Зколо радіусу R. За час dtвідбувається елементарний поворот на кут, при цьому точка Мздійснить переміщення вздовж траєкторії на відстань .
      Модуль лінійної швидкості:
      .
      Прискорення точки Мпри відомій траєкторії визначається за його складовими:
      ,
      де .
      У результаті отримуємо формули
      тангенціальне прискорення: ;
      нормальне прискорення: .

    Динаміка

    Динаміка— це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються механічні рухи матеріальних тіл залежно від причин, що їх викликають.

      Основні поняття динаміки
    • Інерційність- це властивість матеріальних тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, Поки зовнішні сили не змінять цього стану.
    • Маса- це кількісна міра інерційності тіла. Одиниця виміру маси - кілограм (кг).
    • Матеріальна точка- Це тіло, що володіє масою, розмірами якого при вирішенні цього завдання нехтують.
    • Центр мас механічної системи- геометрична точка, координати якої визначаються формулами:

      де m k , x k , y k , z k- Маса та координати kтієї точки механічної системи, m- Маса системи.
      У однорідному полі тяжкості становище центру мас збігається із становищем центру тяжкості.
    • Момент інерції матеріального тіла щодо осі– це кількісна міра інертності при обертальному русі.
      Момент інерції матеріальної точки щодо осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані точки від осі:
      .
      Момент інерції системи (тіла) щодо осі дорівнює арифметичній сумі моментів інерції всіх точок:
    • Сила інерції матеріальної точки— це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси точки на модуль прискорення і спрямована протилежно до вектора прискорення:
    • Сила інерції матеріального тіла— це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси тіла на модуль прискорення центру мас тіла і спрямована протилежно до вектора прискорення центру мас: ,
      де - Прискорення центру мас тіла.
    • Елементарний імпульс сили— це векторна величина , що дорівнює добутку вектора сили на нескінченно малий проміжок часу dt:
      .
      Повний імпульс сили за Δt дорівнює інтегралу від елементарних імпульсів:
      .
    • Елементарна робота сили- це скалярна величина dA, рівна скалярному прої

    1 слайд

    Курс лекцій з теоретичної механіки Динаміка (І частина) Бондаренко О.М. Москва – 2007 Електронний навчальний курснаписаний на основі лекцій, що читалися автором для студентів, які навчалися за спеціальностями СЗ, ПГС та СДМ у НДІЗТ та МІІТ (1974-2006 рр.). Навчальний матеріалвідповідає календарним планам обсягом трьох семестрів. Для повної реалізації анімаційних ефектів під час презентації необхідно використовувати засіб перегляду Power Point не нижче, ніж вбудований у Microsoft Office операційної системи Windows-ХР Professional. Зауваження та пропозиції можна надіслати на e-mail: [email protected]. Московський державний університетшляхів сполучення (МІІТ) Кафедра теоретичної механіки Науково-технічний центр транспортних технологій

    2 слайд

    Лекція 1. Введення в динаміку. Закони та аксіоми динаміки матеріальної точки. Основне рівняння динаміки. Диференціальні та природні рівняння руху. Два основні завдання динаміки. Приклади розв'язання прямої задачі динаміки Лекція 2. Розв'язання зворотної задачі динаміки. Загальні вказівки до вирішення зворотного завдання динаміки. Приклади вирішення зворотного завдання динаміки. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, не враховуючи опору повітря. Лекція 3. Прямолінійні коливання матеріальної точки. Умова виникнення коливань. Класифікація коливань. Вільні коливання без урахування сил опору. Загасні коливання. Декремент коливань. Лекція 4. Вимушені коливання матеріальної точки. Резонанс. Вплив опору руху за вимушених коливань. Лекція 5. Відносне рух матеріальної точки. Сила інерції. Окремі випадки руху для різних видів переносного руху. Вплив обертання Землі на рівновагу та рух тел. 6. Динаміка механічної системи. Механічна система. Зовнішні та внутрішні сили. Центр мас системи. Теорема про рух центру мас. Закони збереження. Приклад вирішення завдання використання теореми про рух центру мас. лекція 7. Імпульс сили. Кількість руху. Теорема про зміну кількості руху. Закони збереження. Теорема Ейлер. Приклад вирішення завдання використання теореми про зміну кількості руху. Момент кількості руху. Теорема про зміну моменту кількості руху. Лекція 8. Закони збереження. Елементи теорії моментів інерції. Кінетичний момент твердого тіла. Диференціальне рівняння обертання твердого тіла. Приклад вирішення завдання використання теореми про зміну моменту кількості руху системи. Елементарна теорія гіроскопу. Рекомендована литература 1. Яблонський А.А. Курс теоретичної механіки. Ч.2. М.: вища школа. 1977 368 с. 2. Мещерський І.В. Збірник задач з теоретичної механіки. М: Наука. 1986 416 с. 3. Збірник завдань для курсових робіт / Под ред. А.А. Яблонської. М: Вища школа. 1985 366 с. 4. Бондаренко О.М. “Теоретична механіка у прикладах та завданнях. Динаміка” ( електронний посібник www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004 р.

    3 слайд

    Лекція 1 Динаміка - розділ теоретичної механіки, що вивчає механічний рух із найзагальнішої точки зору. Рух у зв'язку з діючими на об'єкт силами. Розділ складається з трьох відділів: Динаміка матеріальної точки Динаміка Динаміка механічної системи Аналітична механіка ■ Динаміка точки – вивчає рух матеріальної точки з урахуванням сил, що викликають цей рух. Основний об'єкт - матеріальна точка - матеріальне тіло, що має масу, розмірами якого можна знехтувати. Основні припущення: – існує абсолютний простір (має чисто геометричні властивості, що не залежать від матерії та її руху. – існує абсолютний час (не залежить від матерії та її руху). Звідси випливає: – існує абсолютно нерухома система відліку. – час не залежить від рухи системи відліку – маси точок, що рухаються, не залежать від руху системи відліку Ці допущення використовуються в класичній механіці, створеній Галілеєм і Ньютоном, вона має досі досить широку сферу застосування, оскільки механічні системи, що розглядаються в прикладних науках, не мають таких великих мас і швидкостями руху, для яких необхідний облік їх впливу на геометрію простору, час, рух, як це робиться в релятивістській механіці (теорії відносності) ■ Основні закони динаміки – вперше відкриті Галілеєм та сформульовані Ньютоном становлять основу всіх методів опису та аналізу руху механічних систем та їх динамічного взаємодію дії під дією різних сил. ■ Закон інерції (закон Галілея-Ньютона) – Ізольована матеріальна точка тіло зберігає свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, додані сили не змусять її змінити цей стан. Звідси випливає еквівалентність стану спокою та руху за інерцією (закон відносності Галілея). Система відліку, стосовно якої виконується закон інерції, називається інерційною. Властивість матеріальної точки прагнути зберегти незмінною швидкість свого руху (свій кінематичний стан) називається інертністю. ■ Закон пропорційності сили та прискорення (Основне рівняння динаміки - II закон Ньютона) – Прискорення, що повідомляється матеріальною точкою силою, прямо пропорційно силі і обернено пропорційно масі цієї точки: або Тут m – маса точки (міра інертності), вимірюється в кг, чисельно дорівнює ваги, поділеній на прискорення вільного падіння: F – діюча сила, що вимірюється в Н (1 Н повідомляє точці масою 1 кг прискорення 1 м/c2, 1 Н = 1/9.81 кг-с). ■ Динаміка механічної системи – вивчає рух сукупності матеріальних точок та твердих тіл, що об'єднуються загальними законамивзаємодії з урахуванням сил, що викликають цей рух. ■ Аналітична механіка – вивчає рух невільних механічних систем із використанням загальних аналітичних методів. 1

    4 слайд

    Лекція 1 (продовження – 1.2) Диференціальні рівняння руху матеріальної точки: - диференціальне рівняння руху точки у векторному вигляді. - диференціальні рівняння руху точки у координатному вигляді. Цей результат можна отримати формальним проектуванням векторного диференціального рівняння (1). Після угруповання векторне співвідношення розпадається на три скалярні рівняння: У координатному вигляді: Використовуємо зв'язок радіуса-вектора з координатами та вектора сили з проекціями: або: Підставимо прискорення точки при векторному завданні руху в основне рівняння динаміки: Природні рівняння руху матеріальної точки – виходять проектуванням диференціального рівняння руху на природні (рухливі) осі координат: або: - природні рівняння руху точки. ■ Основне рівняння динаміки: - відповідає векторному способу завдання руху точки. ■ Закон незалежності дії сил – Прискорення матеріальної точки під дією кількох сил дорівнює геометричній сумі прискорень точки від дії кожної з сил окремо: або Закон справедливий для будь-якого кінематичного стану тіл. Сили взаємодії, будучи прикладені до різних точок (тіл), не врівноважуються. ■ Закон рівності дії та протидії (III закон Ньютона) – Будь-якій дії відповідає рівну за величиною та протилежно спрямовану протидію: 2

    5 слайд

    Дві основні завдання динаміки: 1. Пряме завдання: Задано рух (рівняння руху, траєкторія). Потрібно визначити сили, під впливом яких відбувається заданий рух. 2. Зворотне завдання: Задано сили, під дією яких відбувається рух. Потрібно знайти параметри руху (рівняння руху, траєкторію руху). Обидві задачі вирішуються за допомогою основного рівняння динаміки та проекції його на координатні осі. Якщо розглядається рух невільної точки, то як і статики, використовується принцип звільнення від зв'язків. Внаслідок реакції зв'язків включаються до складу сил, що діють на матеріальну точку. Вирішення першого завдання пов'язане з операціями диференціювання. Вирішення зворотного завдання вимагає інтегрування відповідних диференціальних рівнянь і це значно складніше, ніж диференціювання. Зворотне завдання складніше за пряме завдання. Розв'язання прямої задачі динаміки – розглянемо на прикладах: Приклад 1. Кабіна вагою G ліфта піднімається тросом із прискоренням a . Визначити натяг троса. 1. Вибираємо об'єкт (кабіна ліфта рухається поступально та її можна розглядати як матеріальну точку). 2. Відкидаємо зв'язок (трос) і замінюємо реакцією R. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: Визначаємо реакцію троса: Визначаємо натяг троса: При рівномірному русі кабіни ay = 0 і натяг троса дорівнює вазі: T = G. При обриві тросу і прискорення кабіни і прискорення вільного падіння: ay = -g. 3 4. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь y: y Приклад 2. Точка масою m рухається горизонтальною поверхнею (площини Oxy) відповідно до рівнянь: x = a coskt, y = b coskt. Визначити силу, що діє на точку. 1. Вибираємо об'єкт (матеріальну точку). 2. Відкидаємо зв'язок (площину) і замінюємо реакцією N. 3. Додаємо до системи сил невідому силу F. 4. Складаємо основне рівняння динаміки: 5. Проектуємо основне рівняння динаміки на осі x,y: Визначаємо проекції сили: Модуль сили: Напрямні косинуси: Таким чином, величина сили пропорційна відстані точки до центра координат і направлена ​​до центру лінії, що з'єднує точку з центром. Траєкторія руху точки є еліпс з центром на початку координат: O r Лекція 1 (продовження – 1.3)

    6 слайд

    Лекція 1 (продовження 1.4) Приклад 3: Вантаж вагою G підвішений на тросі довжиною l і рухається круговою траєкторією в горизонтальній площині з деякою швидкістю. Кут відхилення троса від вертикалі дорівнює. Визначити натяг троса та швидкість вантажу. 1. Вибираємо об'єкт (вантаж). 2. Відкидаємо зв'язок (трос) і замінюємо реакцією R. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: З третього рівняння визначаємо реакцію троса: Визначаємо натяг тросу: Підставляємо значення реакції троса, нормального прискорення у друге рівняння і визначаємо швидкість вантажу: 4 динаміки на осі, n, b: Приклад 4: Автомашина вагою G рухається опуклим мостом (радіус кривизни дорівнює R) зі швидкістю V. Визначити тиск автомашини на міст. 1. Вибираємо об'єкт (автомашина, розмірами нехтуємо та розглядаємо як точку). 2. Відкидаємо зв'язок (шорстку поверхню) і замінюємо реакціями N і силою тертя Fтр. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: 4. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь n: Звідси визначаємо нормальну реакцію: Визначаємо тиск автомашини на міст: Звідси можна визначити швидкість, що відповідає нульовому тиску на міст (Q = 0): 4

    7 слайд

    Лекція 2 Після підстановки знайдених значень постійних отримуємо: Таким чином, під дією однієї і тієї ж системи сил матеріальна точка може здійснювати цілий клас рухів, що визначаються початковими умовами. Початкові координати враховують вихідне положення точки. Початкова швидкість, що задається проекціями, враховує вплив на її рух по ділянці траєкторії сил, що діяли на точку до приходу на цю ділянку, тобто. початковий кінематичний стан. Вирішення зворотного завдання динаміки – У випадку руху точки сили, що діють точку, є змінними, залежними від часу, координат і швидкості. Рух точки описується системою трьох диференціальних рівнянь другого порядку: Після інтегрування кожного з них буде шість постійних C1, C2,…., C6: Значення постійних C1, C2,…., C6 знаходяться із шести початкових умов при t = 0: Приклад 1 рішення зворотного завдання: Вільна матеріальна точка маси m рухається дією сили F, постійної за модулем і величиною. . У початковий момент швидкість точки становила v0 і збігалася у напрямку силою. Визначити рівняння руху точки. 1. Складаємо основне рівняння динаміки: 3. Знижуємо порядок похідної: 2. Виберемо декартову систему відліку, спрямовуючи вісь x вздовж напрямку сили і спроектуємо основне рівняння динаміки на цю вісь: або x y z 4. Розділяємо змінні: 5. Обчислюємо інтегр : 6. Представимо проекцію швидкості як похідну координати за часом: 8. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 7. Розділяємо змінні: 9. Для визначення значень постійних C1 та C2 використовуємо початкові умови t = 0, vx = v0 , x = x0: У результаті отримуємо рівняння рівнозмінного руху (по осі x): 5

    8 слайд

    Загальні вказівки до вирішення прямої та зворотної задачі. Порядок розв'язання: 1. Упорядкування диференціального рівняння руху: 1.1. Вибрати систему координат - прямокутну (нерухому) при невідомій траєкторії руху, природну (рухливу) при відомій траєкторії, наприклад, коло або пряма лінія. У разі можна використовувати одну прямолінійну координату. Початок відліку поєднати з початковим положенням точки (при t = 0) або з рівноважним положенням точки, якщо воно існує, наприклад, коливання точки. 6 1.2. Зобразити точку в положенні, яке відповідає довільному моменту часу (при t > 0) так, щоб координати були позитивними (s > 0, x > 0). При цьому вважаємо також, що проекція швидкості у цій позиції також позитивна. У разі коливань проекція швидкості змінює знак, наприклад, при поверненні положення рівноваги. Тут слід прийняти, що у момент часу точка віддаляється від положення рівноваги. Виконання цієї рекомендації є важливим у подальшому при роботі з силами опору, що залежать від швидкості. 1.3. Звільнити матеріальну точку від зв'язків, замінити їхню дію реакціями, додати активні сили. 1.4. Записати основний закон динаміки у векторному вигляді, спроектувати на вибрані осі, виразити задаються або реактивні сили через змінні час, координати або швидкості, якщо вони від них залежать. 2. Вирішення диференціальних рівнянь: 2.1. Зменшити похідну, якщо рівняння не наводиться до канонічного (стандартного) виду. наприклад: або 2.2. Розділити змінні, наприклад: або 2.4. Обчислити невизначені інтеграли у лівій та правій частинах рівняння, наприклад: 2.3. Якщо в рівнянні три змінні, то зробити заміну змінних, наприклад: потім розділити змінні. Зауваження. Замість обчислення невизначених інтегралівможна обчислити певні інтеграли зі змінною верхньою межею. Нижні межі представляють початкові значення змінних (початкові умови). Тоді не потрібно окремого знаходження постійної, яка автоматично включається до рішення, наприклад: Використовуючи початкові умови, наприклад, t = 0, vx = vx0, визначити постійну інтегрування: 2.5. Виразити швидкість через похідну координати часу, наприклад, і повторити пункти 2.2 -2.4 Зауваження. Якщо рівняння наводиться до канонічного виду, що має стандартне рішення, це готове рішення і використовується. Постійні інтегрування як і раніше з початкових умов. наприклад, коливання (лекція 4, стор.8). Лекція 2 (продовження 2.2)

    9 слайд

    Лекція 2 (продовження 2.3) Приклад 2 розв'язання оберненої задачі: Сила залежить від часу. Вантаж вагою P починає рухатися гладкою горизонтальною поверхні під дією сили F, величина якої пропорційна часу (F = kt). Визначити пройдену відстань вантажем під час t. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: 5. Знижуємо порядок похідної: 4. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь x: або 7 6. Розділяємо змінні: 7. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 9. Представимо проекцію координат 10. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 9. Розділяємо змінні: 8. Визначимо значення постійної C1 з початкової умови t = 0, vx = v0=0: У результаті отримуємо рівняння руху (по осі x), яке дає значення пройденого шляху за час t: 1. Вибираємо систему відліку ( декартові координати) так, щоб тіло мало позитивну координату: 2. Приймаємо об'єкт руху за матеріальну точку (тіло рухається поступально), звільняємо від зв'язку (опорної площини) та замінюємо реакцією (нормальною реакцією гладкої поверхні): 11. Визначимо значення постійної C2 з початкової умови t = 0, x = x0=0: Приклад 3 розв'язання оберненої задачі: Сила залежить від координати. Матеріальна точка масою m кинута вгору із Землі зі швидкістю v0. Сила тяжіння Землі обернено пропорційна квадрату відстані від точки до центру тяжіння (центру Землі). Визначити залежність швидкості від відстані до центру Землі. 1. Вибираємо систему відліку (декартові координати) так, щоб тіло мало позитивну координату: 2. Складаємо основне рівняння динаміки: 3. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь y: або Коефіцієнт пропорційності можна знайти, використовуючи вагу точки на поверхні Землі: R рівняння має вигляд: або 4. Знижуємо порядок похідної: 5. Робимо заміну змінної: 6. Розділяємо змінні: 7. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 8. Підставляємо межі: У результаті отримуємо вираз для швидкості функції від координати y: Максимальну висоту польоту можна знайти прирівнюючи швидкість нулю: Максимальна висота польоту при обігу знаменника на нуль: Звідси при постановці радіуса Землі та прискорення вільного падіння виходить II космічна швидкість:

    10 слайд

    Лекція 2 (продовження 2.4) Приклад 2 розв'язання оберненої задачі: Сила залежить від швидкості. Судно маси m мало швидкість v0. Опір води руху судна пропорційно швидкості. Визначити час, за який швидкість судна впаде вдвічі після вимикання двигуна, а також відстань судном, що пройдено, до повної зупинки. 8 1. Вибираємо систему відліку (декартові координати) так, щоб тіло мало позитивну координату: 2. Приймаємо об'єкт руху за матеріальну точку (судно рухається поступально), звільняємо від зв'язків (води) та замінюємо реакцією (виштовхувальною силою – силою Архімеда), а також силою опору руху. 3. Додаємо активну силу (силу тяжіння). 4. Складаємо основне рівняння динаміки: 5. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь x: або 6. Знижуємо порядок похідної: 7. Розділяємо змінні: 8. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 9. Підставляємо межі: t, звідки можна визначити час руху: Час руху, протягом якого швидкість впаде вдвічі: Цікаво помітити, що з наближенні швидкості нанівець час руху прагне нескінченності, тобто. кінцева швидкість не може дорівнювати нулю. Чим не "вічне рух"? Однак при цьому пройдений шлях до зупинки є кінцевою величиною. Для визначення пройденого шляху звернемося до виразу, отриманого після зниження порядку похідної, і зробимо заміну змінної: Після інтегрування та підстановки меж отримуємо: Пройдений шлях до зупинки: Виключивши час із рівнянь руху отримуємо рівняння траєкторії: Час польоту визначаємо прирівнюванням координати y нулю: Дальність польоту визначаємо підстановкою часу польоту:

    11 слайд

    Лекція 3 Прямолінійні коливання матеріальної точки – Коливальний рух матеріальної точки відбувається за умови: є сила, що відновлює, що прагне повернути точку в положення рівноваги при будь-якому відхиленні її з цього положення. 9 Відновлююча сила є, положення рівноваги стійке Відновлюючої сили немає, положення рівноваги нестійке Відновлюючої сили немає, положення рівноваги байдуже Відновна сила є, положення рівноваги стійке Необхідний аналіз Сила пружності пружини – приклад лінійної відновлювальної сили. Спрямована завжди до положення рівноваги, величина прямо пропорційна лінійному подовженню (укороченню) пружини, рівному відхиленню тіла від положення рівноваги: ​​с – коефіцієнт жорсткості пружини, чисельно рівний силі, під дією якої пружина змінює свою довжину на одиницю, вимірюється в Н/м у системі СІ. x y O Види коливань матеріальної точки: 1. Вільні коливання (не враховуючи опору середовища). 2. Вільні коливання з урахуванням опору середовища (загасні коливання). 3. Вимушені коливання. 4. Вимушені коливання з урахуванням опору середовища. ■ Вільні коливання – відбуваються під дією лише сили, що відновлює. Запишемо основний закон динаміки: Виберемо систему координат з центром у положенні рівноваги (точці O) і спроектуємо рівняння на вісь x: Наведемо отримане рівняння до стандартного (канонічного) виду: Дане рівняння є однорідним лінійним диференціальним рівнянням II порядку, вид вирішення якого визначається рівняння, що отримується за допомогою універсальної підстановки: Коріння характеристичного рівняння уявні та рівні: Загальне рішення диференціального рівняння має вигляд: Швидкість точки: Початкові умови: Визначимо постійні: Отже, рівняння вільних коливань має вигляд: Рівняння можна уявити одночленним виразом: - Початкова фаза. Нові константи a - пов'язані з постійними C1 і C2 співвідношеннями: Визначимо a і: Причиною виникнення вільних коливань є початкове зміщення x0 та/або початкова швидкість v0.

    12 слайд

    10 Лекція 3 (продовження 3.2) Затухаючі коливання матеріальної точки – Коливальний рух матеріальної точки відбувається за наявності відновлювальної сили та сили опору руху. Залежність сили опору руху від усунення чи швидкості визначається фізичної природи середовища чи зв'язку, що перешкоджає руху. Найбільш простою залежністю є лінійна залежністьвід швидкості (в'язкий опір): - Коефіцієнт в'язкості x y O Основне рівняння динаміки: Проекція рівняння динаміки на вісь: Наведемо рівняння до стандартного виду: де Характеристичне рівняння має коріння: Загальне рішення даного диференціального рівняння має різний вид залежно від значень коренів: 1 n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - Випадок великого в'язкого опору: - Коріння дійсні, різні. або - ці функції аперіодичні: 3. n = k: - коріння дійсне, кратне. ці функції також аперіодичні:

    13 слайд

    Лекція 3 (Продовження 3.3) Класифікація рішень вільних коливань. Способи з'єднання пружин. Еквівалентна твердість. y y 11 Діфф. рівняння Характер. рівняння Коріння характ. рівняння Розв'язання диференціального рівняння Графік nk n=k

    14 слайд

    Лекція 4 Вимушені коливання матеріальної точки - Поряд з відновлюючою силою діє сила, що періодично змінюється, звана обурюючою силою. Обурювальна сила може мати різну природу. Наприклад, в окремому випадку інерційний вплив неврівноваженої маси m1 обертового ротора викликає гармонійно змінюються проекції сили: Основне рівняння динаміки: Проекція рівняння динаміки на вісь: Приведемо рівняння до стандартного вигляду: 12 Розв'язання цього неоднорідного диференціального x1 – загальне рішення відповідного однорідного рівняння та x2 – приватне рішення неоднорідного рівняння: Приватне рішення підбираємо у формі правої частини: Отримана рівність має задовольнятися за будь-якого t . Тоді: або Таким чином, при одночасному дії відновлюючої та обурюючої сил матеріальна точка здійснює складний коливальний рух, що є результатом складання (накладання) вільних (x1) і вимушених (x2) коливань. Якщо p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (вимушені коливання великої частоти), то фаза коливань протилежна фазі сили, що обурює:

    15 слайд

    Лекція 4 (продовження 4.2) 13 Коефіцієнт динамічності – відношення амплітуди вимушених коливаньдо статичного відхилення точки під дією постійної сили H = const: Амплітуда вимушених коливань: Статичне відхилення можна знайти з рівняння рівноваги: ​​Тут: Звідси: Таким чином, при p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (велика частота вимушених коливань) коефіцієнт динамічності: Резонанс – виникає коли частота вимушених коливань збігається з частотою власних коливань (p = k). Це найчастіше відбувається при запуску та зупинці обертання погано збалансованих роторів, закріплених на пружних підвісках. Диференціальне рівняння коливань за рівності частот: Приватне рішення у вигляді правої частини взяти не можна, т.к. вийде лінійно залежне рішення (див. загальне рішення). Загальне рішення: Підставимо в диференціальне рівняння: Візьмемо приватне рішення у вигляді та обчислимо похідні: Таким чином, отримано рішення: або Вимушені коливання при резонансі мають амплітуду, що необмежено зростає пропорційно часу. Вплив опору руху за вимушених коливань. Диференціальне рівняння за наявності в'язкого опору має вигляд: Загальне рішення вибирається з таблиці (Лекція 3, стор. 11) залежно від співвідношення n та до (подивитися). Приватне рішення візьмемо у вигляді та обчислимо похідні: Підставимо у диференціальне рівняння: Прирівнюючи коефіцієнти за однакових тригонометричних функціяхотримуємо систему рівнянь: Зведенням у ступінь обох рівнянь і складанням їх отримуємо амплітуду вимушених коливань: Поділом другого рівняння на перше отримуємо зсув фази вимушених коливань: Таким чином, рівняння руху при вимушених коливань з урахуванням опору руху, наприклад, при n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

    16 слайд

    Лекція 5 Відносний рух матеріальної точки – припустимо, що рухома (неінерціальна) система координат Oxyz рухається за деяким законом щодо нерухомої (інерціальної) системи координат O1x1y1z1. Рух матеріальної точки M (x, y, z) щодо рухомої системи Oxyz – відносний, відносно нерухомої системи O1x1y1z1 – абсолютний. Рух рухомої системи Oxyz щодо нерухомої системи O1x1y1z1 – переносний рух. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Основне рівняння динаміки: Абсолютне прискорення точки: Підставимо абсолютне прискорення точки в основне рівняння динаміки: Перенесемо доданки з переносним та коріолісовим прискоренням у праву частину: Перенесені доданки мають розмірність сил і розглядаються як рівні: Тоді відносний рух точки можна розглядати як абсолютний, якщо до діючих сил додати переносну та коріолісову сили інерції: У проекціях на осі рухомої системи координат маємо: Приватні випадки відносного руху точки для різного виду переносного руху: обертання рівномірне, то εe = 0: 2. Поступальний криволінійний рух: Якщо рух прямолінійний, то = : Якщо рух прямолінійний і рівномірний, то рухлива система є інерціальною і відносний рух може розглядатися як абсолютний: Жодними механічними явищами не можна виявити прямолінійного рівномірного руху(Принцип відносності класичної механіки). Вплив обертання Землі на рівновагу тіл – Припустимо, що тіло знаходиться в рівновазі на поверхні Землі на довільній широті (паралелі). Земля обертається навколо своєї осі із заходу на схід із кутовою швидкістю: Радіус Землі становить близько 6370 км. S R – повна реакція негладкої поверхні. G – сила тяжіння Землі до центру. Ф – відцентрова сила інерції. Умова відносної рівноваги: ​​Равнодіюча сил тяжіння та інерції – сила тяжіння (вага): Величина сили тяжіння (ваги) лежить на поверхні Землі дорівнює P = mg . Відцентрова сила інерції становить малу частку від сили тяжіння: Відхилення сили тяжіння від напрямку сили тяжіння також мало: Таким чином, вплив обертання Землі на рівновагу тіл надзвичайно мало і в практичних розрахунках не береться до уваги. Максимальна величина сили інерції (при φ = 0 - на екваторі) становить лише 0.00343 від величини сили тяжіння

    17 слайд

    Лекція 5 (продовження 5.2) 15 Вплив обертання Землі на рух тіл у полі тяжіння Землі – Покладемо тіло, що падає на Землю з деякої висоти H над поверхнею Землі на широті φ . Виберемо рухливу систему відліку, жорстко пов'язану із Землею, спрямовуючи осі x, y по дотичній до паралелі та до меридіана: Рівняння відносного руху: Тут враховано трохи відцентрової сили інерції порівняно з силою тяжіння. Таким чином, сила тяжіння ототожнюється з силою тяжіння. Крім того, вважаємо, що сила тяжіння спрямована перпендикулярно поверхні Землі внаслідок незначності її відхилення, як розглянуто вище. Прискорення Коріоліса рівне і спрямоване паралельно осі y на захід. Сила інерції Коріоліса дорівнює спрямована у протилежний бік. Спроектуємо рівняння відносного руху на осі: Розв'язання першого рівняння дає: Початкові умови: Рішення третього рівняння дає: Початкові умови: Третє рівняння набуває вигляду: Початкові умови: Його рішення дає: Отримане рішення показує, що тіло при падінні відхиляється на схід. Обчислимо величину цього відхилення, наприклад, при падінні з висоти 100 м. Час падіння знайдемо з другого рівняння: Таким чином, вплив обертання Землі на рух тіл надзвичайно мало для практичних висот і швидкостей і в технічних розрахунках не враховується. З вирішення другого рівняння також слідує існування швидкості по осі y, яка також повинна викликати і викликає відповідне прискорення та силу інерції Коріоліса. Вплив цієї швидкості та сили інерції, пов'язаної з нею, на зміну руху буде ще меншим, ніж розглянута сила інерції Коріоліса, пов'язана з вертикальною швидкістю.

    18 слайд

    Лекція 6. Динаміка механічної системи. Система матеріальних точок або механічна система - Сукупність матеріальних точок або матеріальних тих, що об'єднуються загальними законами взаємодії (становище або рух кожної з точок або тіла залежить від положення та руху всіх інших) Система вільних точок - рух яких не обмежується жодними зв'язками (наприклад, планетна система , В якій планети розглядаються як матеріальні точки). Система невільних точок або невільна механічна система – рух матеріальних точок або тіл обмежуються накладеними на систему зв'язками (наприклад, механізм, машина тощо). 16 Сили, що діють систему. На додаток до раніше існуючої класифікації сил (активні та реактивні сили) вводиться нова класифікація сил: 1. Зовнішні сили (e) – діючі на точки і тіла системи з боку точок або тіл, що не входять до складу цієї системи. 2. Внутрішні сили (i) – сили взаємодії між матеріальними точками або тілами, що входять до цієї системи. Одна і та сама сила може бути як зовнішньою, так і внутрішньою силою. Усе залежить від цього, яка механічна система розглядається. Наприклад: У системі Сонце, Земля та Місяць всі сили тяжіння між ними є внутрішніми. При розгляді системи Земля і Місяць сили тяжіння, прикладені з боку Сонця – зовнішні: C З Л На підставі закону дії та протидії кожній внутрішній силі Fk відповідає інша внутрішня сила Fk', рівна за модулем та протилежна за напрямом. З цього випливають дві чудові властивості внутрішніх сил: Головний вектор усіх внутрішніх сил системи дорівнює нулю: Головний момент усіх внутрішніх сил системи щодо будь-якого центру дорівнює нулю: Або в проекціях на координатні осі: Примітка. Хоча ці рівняння схожі на рівняння рівноваги, вони не є, оскільки внутрішні сили прикладені до різних точок або тіл системи і можуть викликати рух цих точок (тіл) відносно один одного. З цих рівнянь випливає, що внутрішні сили не впливають на рух системи, що розглядається як ціле. Центр мас системи матеріальних точок. Для опису руху системи в цілому вводиться геометрична точка, яка називається центром мас, радіус-вектор якої визначається виразом, де M – маса всієї системи: Або в проекціях на координатні осі: Формули для центру мас аналогічні формулам для центру тяжіння. Проте, поняття центру мас загальне, оскільки вона пов'язані з силами тяжіння чи силами тяжкості.

    19 слайд

    Лекція 6 (продовження 6.2) 17 Теорема руху центру мас системи – Розглянемо систему n матеріальних точок. Прикладені до кожної точки сили розділимо на зовнішні та внутрішні та замінимо їх на відповідні рівнодіючі Fke та Fki. Запишемо для кожної точки основне рівняння динаміки: або Підсумуємо ці рівняння по всіх точках: У лівій частині рівняння внесемо маси під знак похідної та замінимо суму похідних на похідну суми: З визначення центру мас: Підставимо в отримане рівняння: Після винесення маси системи за знак похідної отримуємо або: Твір маси системи на прискорення її центру масі дорівнює головному вектору зовнішніх сил. У проекціях на координатні осі: Центр мас системи рухається як матеріальна точка масою, що дорівнює масі всієї системи, до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему. Наслідки з теореми про рух центру мас системи (закони збереження): 1. Якщо в інтервалі часу головний вектор зовнішніх сил системи дорівнює нулю, Re = 0, то швидкість центру мас постійна, vC = const (центр мас рухається рівномірно прямолінійно – закон збереження руху центру мас). 2. Якщо в інтервалі часу проекція головного вектора зовнішніх сил системи на вісь x дорівнює нулю, Rxe = 0, швидкість центру мас по осі x постійна, vCx = const (центр мас рухається по осі рівномірно). Аналогічні твердження справедливі для осей y та z. Приклад: Двоє людей масами m1 і m2 перебувають у човні масою m3. У початковий момент часу човен з людьми перебував у спокої. Визначити переміщення човна, якщо людина масою m2 пересіла до носа човна на відстань а. 3. Якщо в інтервалі часу головний вектор зовнішніх сил системи дорівнює нулю, Re = 0, і в початковий момент швидкість центру мас дорівнює нулю, vC = 0, то радіус-вектор центру мас залишається постійним, rC = const (центр мас перебуває в спокої - Закон збереження становища центру мас). 4. Якщо в інтервалі часу проекція головного вектора зовнішніх сил системи на вісь x дорівнює нулю, Rxe = 0, і в початковий момент швидкість центру мас цієї осі дорівнює нулю, vCx = 0, то координата центру мас по осі x залишається постійною, xC = const (центр мас не рухається цієї осі). Аналогічні твердження справедливі для осей y та z. 1. Об'єкт руху (човен з людьми): 2. Відкидаємо зв'язку (воду): 3. Замінюємо зв'язок реакцією: 4. Додаємо активні сили: 5. Записуємо теорему про центр мас: Проектуємо на вісь x: O Визначимо на яку відстань треба пересісти людині маси m1, щоб човен залишився на місці: Човен переміститься на відстань l у протилежний бік.

    20 слайд

    Лекція 7 Імпульс сили – міра механічної взаємодії, що характеризує передачу механічного руху з боку діючих на точку сил за даний проміжок часу: 18 У проекціях на координатні осі: У разі постійної сили: У проекціях на координатні осі: Імпульс рівнодіючої – дорівнює геометричній сумі до точки сил за той самий проміжок часу: Помножимо на dt: Проінтегруємо на даному проміжку часу: Кількість руху точки – міра механічного руху, що визначається вектором, рівним добуткумаси точки на вектор її швидкості: Теорема про зміну кількості руху системи Розглянемо систему n матеріальних точок. Прикладені до кожної точки сили розділимо на зовнішні та внутрішні та замінимо їх на відповідні рівнодіючі Fke та Fki. Запишемо кожної точки основне рівняння динаміки: чи Кількість руху системи матеріальних точок – геометрична сума кількостей руху матеріальних точок: За визначенням центру мас: Вектор кількості руху системи дорівнює добутку маси всієї системи на вектор швидкості центру мас системи. Тоді: У проекціях на координатні осі: Похідна вектора кількості руху системи за часом дорівнює головному вектору зовнішніх сил системи. Підсумуємо ці рівняння по всіх точках: У лівій частині рівняння внесемо маси під знак похідної та замінимо суму похідних на похідну суми: З визначення кількості руху системи: У проекціях на координатні осі:

    21 слайд

    Теорема Ейлера – Застосування теореми про зміну кількості руху системи руху суцільного середовища (води) . 1.Вибираємо як об'єкт руху обсяг води, що знаходиться в криволінійному каналі турбіни: 2. Відкидаємо зв'язки та замінюємо їх дію реакціями (Rпов – рівнодіюча поверхневих сил) 3. Додаємо активні сили (Rоб – рівнодіюча об'ємних сил): 4. Записуємо теоре зміни кількості руху системи: Кількість руху води в моменти часу t0 і t1 представимо як суми: Зміна кількості руху води в інтервалі часу : Зміна кількості руху води за нескінченно малий інтервал часу dt: , де F1 F2 Приймаючи добуток щільності, площі поперечного перерізу та швидкості за секундну масу отримуємо: Підставляючи диференціал кількості руху системи в теорему про зміну отримуємо: Наслідки з теореми про зміну кількості руху системи (закони збереження): 1. Якщо в інтервалі часу головний вектор зовнішніх сил системи дорівнює нулю, Re = 0, то вектор кількості руху постійний, Q = const – закон збереження кількості руху системи). 2. Якщо в інтервалі часу проекція головного вектора зовнішніх сил системи на вісь дорівнює нулю, Rxe = 0, то проекція кількості руху системи на вісь x постійна, Qx = const. Аналогічні твердження справедливі для осей y та z. Лекція 7 (продовження 7.2) Приклад: Граната маси M, що летіла зі швидкістю v, розірвалася на дві частини. Швидкість одного з осколків маси m1 зросла у напрямку до величини v1. Визначити швидкість другого уламка. 1. Об'єкт руху (граната): 2. Об'єкт – вільна система, зв'язку та його реакції відсутні. 3. Додаємо активні сили: 4. Записуємо теорему про зміну кількості руху: Проектуємо на вісь: β Розділяємо змінні та інтегруємо: Правий інтеграл практично дорівнює нулю, т.к. час вибуху t

    22 слайд

    Лекція 7 (продовження 7.3) 20 Момент кількості руху точки або кінетичний момент руху щодо деякого центру – міра механічного руху, що визначається вектором, рівним векторному добутку радіуса-вектора матеріальної точки на вектор її кількості руху: Кінетичний момент системи матеріальних точок щодо деякого центру – геометрична сума моментів кількості рухів всіх матеріальних точок щодо цього ж центру: У проекціях на осі: У проекціях на осі: Теорема про зміну моменту кількості руху системи – Розглянемо систему n матеріальних точок. Прикладені до кожної точки сили розділимо на зовнішні та внутрішні та замінимо їх на відповідні рівнодіючі Fke та Fki. Запишемо для кожної точки основне рівняння динаміки: або Підсумуємо ці рівняння по всіх точках: Замінимо суму похідних на похідну суми: Вираз у дужках є моментом кількості руху системи. Звідси: Помножимо векторно кожну рівність на радіус-вектор зліва: Подивимося, чи можна винести знак похідної за межі векторного твору: Таким чином, отримали: Похідна вектора моменту кількості руху системи щодо деякого центру за часом дорівнює головному моменту зовнішніх сил системи щодо цього центру. У проекціях на координатні осі: Похідна моменту кількості руху системи щодо деякої осі за часом дорівнює головному моменту зовнішніх сил системи щодо цієї осі.

    23 слайд

    Лекція 8 21 ■ Наслідки з теореми про зміну моменту кількості руху системи (закони збереження): 1. Якщо в інтервалі часу вектор головного моменту зовнішніх сил системи щодо деякого центру дорівнює нулю, MOe = 0, то вектор моменту кількості руху системи щодо цього ж центру постійно, KO = const – закон збереження моменту кількості руху системи). 2. Якщо в інтервалі часу головний момент зовнішніх сил системи щодо осі x дорівнює нулю, Mxe = 0, то момент кількості руху системи щодо осі x постійний, Kx = const. Аналогічні твердження справедливі для осей y та z. 2. Момент інерції твердого тіла щодо осі: Момент інерції матеріальної точки щодо осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані точки до осі. Момент інерції твердого тіла щодо осі дорівнює сумітворів маси кожної точки на квадрат відстані цієї точки до осі. ■ Елементи теорії моментів інерції – При обертальному русі твердого тіла мірою інерції (опір зміні руху) є момент інерції щодо осі обертання. Розглянемо основні поняття визначення та способи обчислення моментів інерції. 1. Момент інерції матеріальної точки щодо осі: При переході від дискретної малої маси до нескінченно малої маси точки межа такої суми визначається інтегралом: осьовий момент інерції твердого тіла. Крім осьового моменту інерції твердого тіла, існують інші види моментів інерції: відцентровий момент інерції твердого тіла. момент інерції твердого тіла. 3. Теорема про моменти інерції твердого тіла щодо паралельних осей – формула переходу до паралельних осей: Момент інерції щодо вихідної осі Статичні моменти інерції щодо вихідних осей Маса тіла Відстань між осями z1 та z2 Таким чином: Якщо вісь z1 проходить через центр мас, то статичні моменти дорівнюють нулю:

    24 слайд

    Лекція 8 (продовження 8.2) 22 Момент інерції однорідного стрижня постійного перерізу щодо осі: x z L Виділимо елементарний об'єм dV = Adx на відстані x: x dx Елементарна маса: Для обчислення моменту інерції щодо центральної осі (що проходить через центр тяжіння) достатньо змінити розташування і встановити межі інтегрування (-L/2, L/2). Тут продемонструємо формулу переходу до паралельних осей: zС 5. Момент інерції однорідного суцільного циліндра щодо осі симетрії: H dr r Виділимо елементарний об'єм dV = 2πrdrH (тонкий циліндр радіуса r): Елементарна маса: Тут використана формула об'єму циліндра V=π Для обчислення моменту інерції пустотілого (товстого) циліндра достатньо задати межі інтегрування від R1 до R2 (R2> R1): 6. Момент інерції тонкого циліндра щодо осі симетрії (t

    25 слайд

    Лекція 8 (продовження 8.3) 23 ■ Диференціальне рівняння обертання твердого тіла щодо осі: Запишемо теорему про зміну кінетичного моменту твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі: Кінетичний момент обертового твердого тіла дорівнює: Момент зовнішніх сил щодо осі обертання сил тяжкості моментів не створюють): Підставляємо кінетичний момент і момент, що обертає, в теорему Приклад: Дві людини однакової ваги G1 = G2 висять на канаті, перекинутому через суцільний блок вагою G3 = G1/4. У якийсь момент один з них почав підніматися канатом з відносною швидкістю u. Визначити швидкість підйому кожного з людей. 1. Вибираємо об'єкт руху (блок з людьми): 2. Відкидаємо зв'язки (опорний пристрій блоку): 3. Замінюємо зв'язок реакціями (підшипника): 4. Додаємо активні сили (сили тяжіння): 5. Записуємо теорему про зміну кінетичного моменту системи щодо осі обертання блоку: R Оскільки момент зовнішніх сил дорівнює нулю, то кінетичний момент повинен залишатися постійним: У початковий момент часу t = 0 була рівновага і Kz0 = 0. Після початку руху однієї людини щодо каната вся система почала рухатися, але кінетичний момент системи повинен залишитися рівним нулю: Kz = 0. Кінетичний момент системи складається з кінетичних моментів обох людей та блоку: Тут v2 – швидкість другої людини, рівна швидкостітроса, Приклад: Визначити період малих вільних коливань однорідного стрижня маси M та довжиною l, підвішеного одним кінцем до нерухомої осі обертання. Або: У разі малих коливань sinφ φ: Період коливань: Момент інерції стрижня:

    26 слайд

    Лекція 8 (продовження 8.4 – додатковий матеріал) 24 ■ Елементарна теорія гіроскопа: Гіроскоп – тверде тіло, що обертається навколо осі матеріальної симетрії, одна з точок якої є нерухомою. Вільний гіроскоп – закріплений отже центр мас залишається нерухомим, а вісь обертання проходить через центр мас і може приймати будь-яке становище у просторі, тобто. вісь обертання змінює своє положення подібно до осі власного обертання тіла при сферичному русі. Основне припущення наближеної (елементарної) теорії гіроскопа – вектор моменту кількості руху (кінетичний момент) ротора вважається спрямованим вздовж власної осі обертання. Таким чином, незважаючи на те, що в загальному випадку ротор бере участь у трьох обертаннях, береться до уваги лише кутова швидкість власного обертання ω = dφ/dt. Підставою для цього є те, що в сучасній техніці ротор гіроскопа обертається з кутовою швидкістю порядку 5000-8000 рад/c (близько 50000-80000 об/хв), тоді як дві інші кутові швидкості, Пов'язані з прецесією і нутацією власної осі обертання в десятки тисяч разів менше цієї швидкості. Основна властивість вільного гіроскопа - вісь ротора зберігає постійне напрямок у просторі по відношенню до інерційної (зоряної) системи відліку (демонструється маятником Фуко, що зберігає незмінною по відношенню до зірок площину хитання, 1852). Це випливає із закону збереження кінетичного моменту щодо центру мас ротора за умови нехтування тертям у підшипниках осей підвіски ротора, зовнішньої та внутрішньої рами: Дія сили на вісь вільного гіроскопа. У разі дії сили, прикладеної до осі ротора, момент зовнішніх сил щодо центру мас не дорівнює нулю: ω ω С Похідна кінетичного моменту за часом дорівнює швидкості кінця цього вектора (теорема Резалю): Це означає, що вісь ротора відхилятиметься не у бік дії сили, а бік вектора моменту цієї сили, тобто. буде повертатися не щодо осі x (внутрішня підвіска), а щодо осі y (зовнішня підвіска). У разі припинення дії сили вісь ротора залишиться у постійному становищі, відповідному останнього моменту часу дії сили, т.к. з цього часу часу зовнішніх сил знову стає рівним нулю. У разі короткочасної дії сили (удару) вісь гіроскопа практично не змінює свого становища. Таким чином, швидке обертання ротора повідомляє гіроскопу здатність протидіяти випадковим впливам, що прагнуть змінити положення осі обертання ротора, а при постійній дії сили зберігає положення площини перпендикулярної чинній силі, В якій лежить вісь ротора. Ці властивості використовуються у роботі інерційних системнавігації.