Как се решават всички видове уравнения. Какво е уравнение? на тема: Уравнения и методи за решаването им

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

  • Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

  • Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
  • От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
  • Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
  • Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

  • Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
  • В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.





























Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока:

Образователни:

  • Обобщете знанията за всички видове уравнения, подчертават важността на всички методи, използвани при решаване на уравнения.
  • Интензифициране на работата на учениците чрез разнообразни похвати в урока.
  • Тествайте теоретични и практически умения за решаване на уравнения.
  • Съсредоточете се върху факта, че едно уравнение може да бъде решено по няколко начина

Образователни:

  • Повишаване на интереса на учениците към предмета чрез използване на ИКТ.
  • Запознаване на учениците с историческия материал по темата.
  • Развитие на умствената дейност при определяне на вида на уравнението и методите за решаването му.

Образователни:

  • Създайте дисциплина в класната стая.
  • Развитие на способността за възприемане на красотата в себе си, в друг човек и в света около нас.

Тип урок:

  • Урок за обобщаване и систематизиране на знанията.

Тип урок:

  • Комбиниран.

Материално-техническо оборудване:

  • компютър
  • екран
  • Проектор
  • Диск с представяне на темата

Методи и техники:

  • Използване на презентация
  • Фронтален разговор
  • Устна работа
  • Игрови моменти
  • Работете по двойки
  • Работа на дъската
  • Работа в тетрадки

План на урока:

  1. Организационен момент (1 мин.)
  2. Декодиране на темата на урока (3 минути)
  3. Изложение на темата и целта на урока (1 минута)
  4. Теоретична загрявка (3 минути)
  5. Историческа екскурзия (3 минути)
  6. Игра „Премахнете излишъка“ (2 минути)
  7. Творческа работа(2 минути)
  8. Задача „Намерете грешката“ (2 минути)
  9. Решаване на едно уравнение по няколко начина (на слайд) (3 минути)
  10. Решаване на едно уравнение по няколко начина (на дъската) (24 минути)
  11. Самостоятелна работа по двойки, последвана от обяснение (5 минути)
  12. Индивидуална домашна работа (1 мин.)
  13. Рефлексия на обобщението на урока (1 минута)

Епиграф на урока:

„Можете да научите само чрез забавление; за да усвоите знанията, трябва да ги усвоите с апетит.“
A.Франция

Обобщение на урока

Организационна част

Проверявам готовността на учениците за урока и отбелязвам отсъстващите от урока. Момчета, френският писател от 19-ти век А. Франс веднъж отбеляза: „Можете да научите само чрез забавление, за да усвоите знанията, трябва да ги усвоите с апетит.“ Така че нека следваме съветите на писателя в нашия урок и усвояваме знанията с голям апетит, защото ще ни бъдат полезни в живота.

Декодиране на темата на урока

За да преминем към по-сложна задача, нека разтегнем мозъка си с прости задачи. Темата на нашия урок е шифрована, като решаваме устни задачи и намираме отговора на тях, като знаем, че всеки отговор има своя буква, ще разкрием темата на урока. Презентационен слайд 3

Съобщаване на темата и целта на урока

Вие сами посочихте темата на урока днес

„Видове уравнения и методи за решаването им.“Слайд на презентацията 4

Цел: Припомнете и обобщете всички видове уравнения и методи за тяхното решаване. Решете едно уравнение, като използвате всички методи. Презентационен слайд 5 Прочетете изявлението на Айнщайн Презентационен слайд 5

Теоретична загрявка

Въпроси Презентация слайд 7

Отговори

  1. Равенство, съдържащо променлива, обозначена с буква.
  2. Това означава да намериш всичките му корени или да докажеш, че няма корени.
  3. Стойността на променливата, при която уравнението става вярно.
  4. След тази дефиниция прочетете стихотворение за презентационния слайд 12,13,14

Отговори на последните 2 въпроса Презентационен слайд 9,10,11

Историческа екскурзия

Историческа информация за „Кой и кога е измислил уравнението“ Презентация слайд 15

Нека си представим, че примитивна майка на име... но тя вероятно дори не е имала име, е откъснала 12 ябълки от дърво, за да даде на всяко от 4-те си деца. Вероятно не знаеше как да брои не само до 12, но и до четири и със сигурност не знаеше как да раздели 12 на 4. И вероятно раздели ябълките така: първо даде на всяко дете по една ябълка, после още една ябълка , после още една сама и тогава видях, че няма вече ябълки и децата се зарадваха. Ако запишем тези действия на съвременен математически език, получаваме x4=12, тоест майка ми реши задачата за съставяне на уравнение. Очевидно е невъзможно да се отговори на поставения по-горе въпрос. Проблемите, които водят до решаването на уравнения, са били решавани от хора, използващи здрав разум, откакто са станали хора. Още 3-4 хиляди години пр. н. е. египтяните и вавилонците успяха да решат най-простите уравнения, чиято форма и методи за решаване не бяха подобни на съвременните. Гърците са наследили знанията на египтяните и са продължили напред. Най-голям успех в развитието на учението за уравненията постига гръцкият учен Диофант (III век), за когото пишат:

Той реши много проблеми.
Той предсказа миризми и дъждове.
Наистина познанията му са невероятни.

Средноазиатският математик Мохамед ал Хорезми (9 век) има голям принос за решаването на уравнения. Известната му книга Ал-Хорезми е посветена на решаването на уравнения. Нарича се „Китаб ал-джабр уал-мукабала“, т.е. „Книгата на допълването и противопоставянето“. Тази книга стана известна на европейците и от думата „ал-джабр“ от заглавието й произлиза думата „алгебра“ - името на една от основните части на математиката. Впоследствие много математици работят върху проблеми с уравнения. Общото правило за решаване на квадратни уравнения, приведени до вида x2+in=0, е формулирано от немския математик Щифел, живял през 15 век. След трудовете на холандския математик Жирар (16 век), както и на Декарт и Нютон, методът на решението придобива съвременна форма. Формули, изразяващи зависимостта на корените на уравнението от неговите коефициенти, са въведени от Vieth. Франсоа Виет е живял през 16 век. Той направи голям принос в изучаването на различни проблеми в математиката и астрономията; по-специално той въвежда буквени означения за коефициентите на уравнението. Сега нека се запознаем с един интересен епизод от живота му. Виет спечели голяма слава при крал Хенри III по време на френско-испанската война. Испанските инквизитори изобретяват много сложна тайна писменост, благодарение на която испанците си кореспондират с враговете на Хенри III дори в самата Франция.

Напразно французите се опитваха да намерят ключа към кода и тогава кралят се обърна към Виета. Казват, че Виет е намерил ключа към кода за две седмици непрекъсната работа, след което неочаквано за Испания Франция започва да печели една битка след друга. Убедени, че кодът не може да бъде дешифриран, испанците обвиниха Виет във връзка с дявола и го осъдиха да бъде изгорен на клада. За щастие той не е екстрадиран на инквизицията и остава в историята като велик математик.

Игра „Премахнете излишното“

Цел на игратаориентация във видовете уравнения.

Дадени са ни три колони с уравнения, във всяка от които уравненията са дефинирани по някакъв критерий, но едно от тях е излишно; вашата задача е да го намерите и характеризирате. Слайд на презентацията 16

Творческа работа

Целта на тази задача: Слушане с разбиране на математическата реч, ориентиране на децата във видовете уравнения.

На екрана виждате 9 уравнения. Всяко уравнение има свой собствен номер, аз ще назова вида на това уравнение, а вие трябва да намерите уравнение от този тип и да поставите само номера, под който се появява, в резултат ще получите 9-цифрено число Презентация слайд 17

  1. Редуцирано квадратно уравнение.
  2. Дробно рационално уравнение
  3. Кубично уравнение
  4. Логаритмично уравнение
  5. Линейно уравнение
  6. Непълно квадратно уравнение
  7. Експоненциално уравнение
  8. Ирационално уравнение
  9. Тригонометрично уравнение

Задача „Намерете грешката“

Един ученик решава уравнения, но целият клас се смее, той направи грешка във всяко уравнение, вашата задача е да я намерите и да я коригирате. Слайд на презентацията 18

Решаване на едно уравнение по няколко начина

Сега нека решим едно уравнение по всички възможни начини, за да спестим време в клас, едно уравнение на екрана. Сега ще посочите типа на това уравнение и ще обясните какъв метод се използва за решаване на това уравнение, слайдове 19-27

Решаване на едно уравнение по няколко начина (на дъската)

Разгледахме примера, а сега нека решим уравнението на дъската по всеки възможен начин.

X-2 - ирационално уравнение

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Решаваме това уравнение на дъската по 9 начина.

Самостоятелна работа по двойки, последвана от обяснение на дъската

И сега ще работите по двойки, давам уравнение на бюрото ви, вашата задача е да определите вида на уравнението, избройте всички начини за решаване на това уравнение, решете 1-2 по най-рационалните за вас начини. (2 минути)

Задачи за работа по двойки

Решете уравнението

След самостоятелна работапо двойки, един представител идва на дъската, представя своето уравнение, решава по един начин

Индивидуална домашна работа(диференцируем)

Решете уравнението

(определете вида на уравнението, решете по всички начини на отделен лист)

Обобщение на урока за размисъл.

Обобщавам урока, обръщам внимание на факта, че едно уравнение може да бъде решено по много начини, давам оценки, правя заключение кой е бил активен и кой трябва да бъде по-активен. Прочетох изявлението на Калинин. Презентация, слайд 28

Погледнете внимателно целите, които сме си поставили за днешния урок:

  • Какво мислите, че успяхме да направим?
  • Какво не се получи толкова добре?
  • Какво особено харесахте и запомнихте?
  • Днес научих нещо ново...
  • Знанията ми бяха полезни по време на урока...
  • Беше ми трудно...
  • Хареса ми урока...

Литература.

  1. Дорофеев Г.В. „Сборник задачи за провеждане на писмен изпит по математика за дисциплината гимназия” - М.: Дропла, 2006.
  2. Гарнър Мартин. Математически пъзели и забавления.
  3. Ивлев Б.М., Саакян С.М. Дидактически материалипо алгебра и начала на анализа за 10 клас, 11 клас. М.: Просвещение. 2002 г.

В училищен курс по математика едно дете чува термина „уравнение“ за първи път. Какво е това, нека се опитаме да го разберем заедно. В тази статия ще разгледаме видовете и методите за решение.

Математика. Уравнения

Като начало предлагаме да разберете самата концепция, какво е това? Както се казва в много учебници по математика, уравнението е няколко израза, между които трябва да има знак за равенство. Тези изрази съдържат букви, така наречените променливи, чиято стойност трябва да се намери.

Това е системен атрибут, който променя стойността си. Добър пример за променливи са:

  • температура на въздуха;
  • ръст на детето;
  • тегло и така нататък.

В математиката те се означават с букви, например x, a, b, c... Обикновено една математическа задача изглежда така: намерете стойността на уравнението. Това означава, че е необходимо да се намери стойността на тези променливи.

Разновидности

Уравнението (обсъдихме какво е то в предишния параграф) може да бъде в следната форма:

  • линеен;
  • квадрат;
  • кубичен;
  • алгебрични;
  • трансцендентален.

За по-подробно запознаване с всички видове ще разгледаме всеки поотделно.

Линейно уравнение

Това е първият вид, с който се запознават учениците. Те се решават доста бързо и просто. И така, какво е линейно уравнение? Това е израз на формата: ah=c. Не е особено ясно, така че нека дадем няколко примера: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.

Нека да разгледаме примери за уравнения. За да направим това, трябва да съберем всички известни данни от едната страна и неизвестните от другата: x=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Тук са използвани елементарните правила на математиката: a*c=e, от това c=e/a; a=e/c. За да завършим решението на уравнението, извършваме едно действие (в нашия случай деление) x = 13; х=8; х=5. Това бяха примери за умножение, сега нека да разгледаме изваждането и събирането: x+3=9; 10x-5=15. Прехвърляме известните данни в една посока: x=9-3; х=20/10. Изпълнете последното действие: x=6; х=2.

Възможни са и варианти линейни уравнения, където се използва повече от една променлива: 2x-2y=4. За да решим, е необходимо да добавим 2y към всяка част, получаваме 2x-2y+2y=4-2y, както забелязахме, от лявата страна на знака за равенство -2y и +2y се отменят, оставяйки ни с: 2x=4 -2у. Последната стъпка е да разделим всяка част на две, получаваме отговора: х е равно на две минус у.

Задачи с уравнения има дори в папирусите на Ахмес. Ето една задача: сборът от число и четвъртата му част дава 15. За да я решим, записваме следното уравнение: x плюс една четвърт x е равно на петнадесет. Виждаме друг пример, базиран на резултата от решението, получаваме отговора: x=12. Но този проблем може да бъде решен по друг начин, а именно египетския или, както се нарича по различен начин, метода на предположението. Папирусът използва следното решение: вземете четири и една четвърт от него, тоест едно. Общо те дават пет, сега петнадесет трябва да се раздели на сумата, получаваме три, последната стъпка е да умножим три по четири. Получаваме отговора: 12. Защо делим петнадесет на пет в решението? Така че откриваме колко пъти по петнадесет, тоест резултатът, който трябва да получим, е по-малък от пет. Проблемите са били решавани по този начин през Средновековието; това е станало известно като метод на фалшива позиция.

Квадратни уравнения

В допълнение към вече разгледаните примери има и други. Кои точно? Квадратно уравнение, какво е това? Те изглеждат като брадва 2 +bx+c=0. За да ги разрешите, трябва да се запознаете с някои понятия и правила.

Първо, трябва да намерите дискриминанта по формулата: b 2 -4ac. Има три възможни резултата от решението:

  • дискриминантът е по-голям от нула;
  • по-малко от нула;
  • равен на нула.

В първия вариант можем да получим отговора от два корена, които се намират по формулата: -b+-корен от дискриминанта, разделен на удвоения първи коефициент, тоест 2a.

Във втория случай уравнението няма корени. В третия случай коренът се намира по формулата: -b/2a.

Нека разгледаме един пример квадратно уравнениеза по-подробно въведение: три х на квадрат минус четиринадесет х минус пет е равно на нула. Като начало, както беше написано по-рано, търсим дискриминант, в нашия случай той е равен на 256. Имайте предвид, че полученото число е по-голямо от нула, следователно трябва да получим отговор, състоящ се от два корена. Заместваме получения дискриминант във формулата за намиране на корени. В резултат имаме: х е равно на пет и минус една трета.

Специални случаи в квадратните уравнения

Това са примери, в които някои стойности са нула (a, b или c) и евентуално повече от една.

Например, нека вземем следното уравнение, което е квадратно: две x на квадрат е равно на нула, тук виждаме, че b и c са равни на нула. Нека се опитаме да го решим, за да направим това, разделяме двете страни на уравнението на две, имаме: x 2 =0. В резултат на това получаваме x=0.

Друг случай е 16x 2 -9=0. Тук само b=0. Нека решим уравнението, прехвърлим безплатния коефициент в дясната страна: 16x 2 = 9, сега разделяме всяка част на шестнадесет: x 2 = девет шестнадесети. Тъй като имаме х на квадрат, коренът от 9/16 може да бъде или отрицателен, или положителен. Записваме отговора, както следва: x е равно на плюс/минус три четвърти.

Друг възможен отговор е, че уравнението изобщо няма корени. Нека да разгледаме този пример: 5x 2 +80=0, тук b=0. За да решите, хвърлете свободния член от дясната страна, след тези действия получаваме: 5x 2 = -80, сега разделяме всяка част на пет: x 2 = минус шестнадесет. Ако повдигнем произволно число на квадрат, няма да получим отрицателна стойност. Следователно нашият отговор е: уравнението няма корени.

Триномно разширение

Задачата за квадратни уравнения може да звучи и така: множете квадратен трином. Това може да стане с помощта на следната формула: a(x-x 1)(x-x 2). За целта, както и в другия вариант на задачата, е необходимо да се намери дискриминант.

Помислете за следния пример: 3x 2 -14x-5, множете тричлена. Намираме дискриминанта, използвайки вече известната ни формула, тя се оказва равна на 256. Веднага отбелязваме, че 256 е по-голямо от нула, следователно уравнението ще има два корена. Намираме ги, както в предишния параграф, имаме: x = пет и минус една трета. Нека използваме формулата за разлагане на тричлена на множители: 3(x-5)(x+1/3). Във втората скоба получихме знак за равенство, тъй като формулата съдържа знак минус, а коренът също е отрицателен, използвайки основни познанияматематика, общо имаме знак плюс. За да опростим, нека умножим първия и третия член на уравнението, за да се отървем от дробта: (x-5)(x+1).

Уравнения, свеждащи се до квадратни

В този раздел ще научим как да решаваме по-сложни уравнения. Нека започнем веднага с пример:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Можем да забележим повтарящи се елементи: (x 2 - 2x), за да го решим, е удобно да го заменим с друга променлива и след това решавайте незабавно обичайното квадратно уравнение Отбелязваме, че в такава задача ще получим четири корена, това не трябва да ви плаши. Означаваме повторението на променливата a. Получаваме: a 2 -2a-3=0. Следващата ни стъпка е да намерим дискриминанта на новото уравнение. Получаваме 16, намираме два корена: минус едно и три. Спомняме си, че направихме замяната, заместваме тези стойности, като резултат имаме уравненията: x 2 - 2x=-1; х 2 - 2х=3. Решаваме ги в първия отговор: x е равно на едно, във втория: x е равно на минус едно и три. Пишем отговора по следния начин: плюс/минус едно и три. По правило отговорът се записва във възходящ ред.

Кубични уравнения

Нека разгледаме друг възможен вариант. Ще говорим за кубични уравнения. Те изглеждат така: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Ще разгледаме примери за уравнения по-долу, но първо малко теория. Те могат да имат три корена и има и формула за намиране на дискриминанта за кубично уравнение.

Нека да разгледаме пример: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Как да го решим? За да направим това, просто поставяме x извън скоби: x(3x 2 +4x+2)=0. Всичко, което трябва да направим, е да изчислим корените на уравнението в скоби. Дискриминантът на квадратното уравнение в скоби е по-малък от нула, въз основа на това изразът има корен: x=0.

Алгебра. Уравнения

Да преминем към следващ изглед. Сега ще разгледаме накратко алгебричните уравнения. Една от задачите е следната: фактор 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Най-удобният начин би бил следното групиране: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Обърнете внимание, че представихме 8x 2 от първия израз като сбор от 3x 2 и 5x 2. Сега изваждаме от всяка скоба общия множител 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Виждаме, че имаме общ множител: x на квадрат плюс едно, изваждаме го от скоби: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). По-нататъшно разширение не е възможно, тъй като и двете уравнения имат отрицателен дискриминант.

Трансцендентни уравнения

Предлагаме ви да се справите със следния тип. Това са уравнения, които съдържат трансцендентални функции, а именно логаритмични, тригонометрични или експоненциални. Примери: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 и така нататък. Как се решават ще научите в курса по тригонометрия.

функция

Последната стъпка е да разгледаме концепцията за уравнение на функция. За разлика от предишните опции, този тип не се решава, но се изгражда графика въз основа на него. За да направите това, струва си да анализирате добре уравнението, да намерите всички необходими точки за изграждане и да изчислите минималните и максималните точки.

След като изучихме понятието равенства, а именно един от техните видове – числови равенства, можем да преминем към друг важен вид – уравненията. В рамките на от този материалЩе обясним какво е уравнение и неговия корен, ще формулираме основни определения и ще дадем различни примери за уравнения и намиране на техните корени.

Понятие за уравнение

Обикновено понятието уравнение се изучава в самото начало училищен курсалгебра. Тогава се определя така:

Определение 1

Уравнениенарича равенство с неизвестно число, което трябва да се намери.

Прието е неизвестните да се обозначават с малки латински букви, например t, r, m и т.н., но най-често се използват x, y, z. С други думи, уравнението се определя от формата на неговия запис, тоест равенството ще бъде уравнение само когато се сведе до определена форма - трябва да съдържа буква, стойността, която трябва да се намери.

Нека дадем няколко примера за най-простите уравнения. Това могат да бъдат равенства от вида x = 5, y = 6 и т.н., както и такива, които включват аритметични операции, например x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

След като се научи понятието скоби, се появява понятието уравнения със скоби. Те включват 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 и т.н. Буквата, която трябва да се намери, може да се появи повече от веднъж, но няколко пъти, като например , например в уравнението x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Освен това неизвестните могат да бъдат разположени не само отляво, но и отдясно или в двете части едновременно, например x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 или 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Освен това, след като учениците се запознаят с концепцията за цели числа, реални, рационални, естествени числа, както и логаритми, корени и степени, се появяват нови уравнения, които включват всички тези обекти. Посветихме отделна статия на примери за такива изрази.

В учебната програма за 7. клас за първи път се появява понятието променливи. Това са букви, които могат да приемат различни значения (за повече подробности вижте статията за числови, буквени и променливи изрази). Въз основа на тази концепция можем да предефинираме уравнението:

Определение 2

Уравнениетое равенство, включващо променлива, чиято стойност трябва да бъде изчислена.

Тоест, например, изразът x + 3 = 6 x + 7 е уравнение с променливата x, а 3 y − 1 + y = 0 е уравнение с променливата y.

Едно уравнение може да има повече от една променлива, но две или повече. Те се наричат ​​съответно уравнения с две, три променливи и т.н. Нека запишем определението:

Определение 3

Уравнения с две (три, четири или повече) променливи са уравнения, които включват съответен брой неизвестни.

Например, равенство от вида 3, 7 · x + 0, 6 = 1 е уравнение с една променлива x, а x − z = 5 е уравнение с две променливи x и z. Пример за уравнение с три променливи би бил x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Корен на уравнението

Когато говорим за уравнение, веднага възниква необходимостта да се дефинира понятието неговия корен. Нека се опитаме да обясним какво означава.

Пример 1

Дадено ни е определено уравнение, което включва една променлива. Ако заместим неизвестната буква с число, уравнението се превръща в числово равенство - вярно или невярно. И така, ако в уравнението a + 1 = 5 заменим буквата с числото 2, тогава равенството ще стане невярно, а ако 4, тогава правилното равенство ще бъде 4 + 1 = 5.

Ние се интересуваме повече от тези стойности, с които променливата ще се превърне в истинско равенство. Те се наричат ​​корени или разтвори. Нека напишем определението.

Определение 4

Корен на уравнениетоТе наричат ​​стойността на променлива, която превръща дадено уравнение в истинско равенство.

Коренът може да се нарече и решение или обратното - и двете понятия означават едно и също нещо.

Пример 2

Нека вземем пример, за да изясним това определение. По-горе дадохме уравнението a + 1 = 5. Според дефиницията коренът в този случай ще бъде 4, тъй като при заместване вместо буква дава правилно числово равенство, а две няма да бъде решение, тъй като съответства на неправилното равенство 2 + 1 = 5.

Колко корена може да има едно уравнение? Всяко уравнение има ли корен? Нека отговорим на тези въпроси.

Съществуват и уравнения, които нямат един корен. Пример би бил 0 x = 5. Можем да заместим безкраен брой различни числа в него, но нито едно от тях няма да го превърне в истинско равенство, тъй като умножаването по 0 винаги дава 0.

Има и уравнения, които имат няколко корена. Те могат да бъдат крайни или безкрайни голям бройкорени

Пример 3

И така, в уравнението x − 2 = 4 има само един корен - шест, в x 2 = 9 два корена - три и минус три, в x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корена - нула, едно и две, има безкрайно много корени в уравнението x=x.

Сега нека обясним как правилно да напишем корените на уравнението. Ако няма такива, тогава пишем: „уравнението няма корени“. В този случай можете също да посочите знака празен комплект∅. Ако има корени, тогава ги пишем разделени със запетаи или ги посочваме като елементи на множество, ограждайки ги във фигурни скоби. И така, ако някое уравнение има три корена - 2, 1 и 5, тогава пишем - 2, 1, 5 или (- 2, 1, 5).

Позволено е да се записват корени под формата на прости равенства. И така, ако неизвестното в уравнението е означено с буквата y, а корените са 2 и 7, тогава пишем y = 2 и y = 7. Понякога към буквите се добавят индекси, например x 1 = 3, x 2 = 5. По този начин посочваме номерата на корените. Ако уравнението има безкрайно много решения, тогава записваме отговора като числов интервалили използваме общоприети обозначения: множеството от естествени числа се означава с N, целите числа с Z, а реалните числа с R. Да кажем, че ако трябва да напишем, че решението на уравнението ще бъде цяло число, тогава ще напишем, че x ∈ Z, и ако всяко реално число от едно до девет, тогава y ∈ 1, 9.

Когато едно уравнение има два, три корена или повече, тогава по правило говорим не за корени, а за решения на уравнението. Нека формулираме дефиницията на решение на уравнение с няколко променливи.

Определение 5

Решението на уравнение с две, три или повече променливи е две, три или повече стойности на променливите, които превръщат даденото уравнение в правилно числово равенство.

Нека обясним определението с примери.

Пример 4

Да кажем, че имаме израза x + y = 7, който е уравнение с две променливи. Нека заместим едно вместо първото и две вместо второто. Ще получим неправилно равенство, което означава, че тази двойка стойности няма да бъде решение на това уравнение. Ако вземем двойката 3 и 4, тогава равенството става вярно, което означава, че сме намерили решение.

Такива уравнения може също да нямат корени или да имат безкраен брой от тях. Ако трябва да запишем две, три, четири или повече стойности, тогава ги пишем разделени със запетаи в скоби. Тоест в примера по-горе отговорът ще изглежда като (3, 4).

На практика най-често трябва да се справяте с уравнения, съдържащи една променлива. Ще разгледаме подробно алгоритъма за решаването им в статията, посветена на решаването на уравнения.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter


В някои задачи на физиката не е възможно да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но е възможно да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от тяхното решаване, за да се намери неизвестна функция.

Тази статия е предназначена за тези, които се сблъскват с проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е структурирана по такъв начин, че с нулеви познания по диференциални уравнения можете да се справите със задачата си.

На всеки тип диференциално уравнение е присвоен метод за решаване с подробни обяснения и решения типични примерии задачи. Всичко, което трябва да направите, е да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За успешно решениедиференциални уравнения, вие също ще имате нужда от способността да намирате набори от антипроизводни ( неопределени интеграли) различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме да се обърнете към раздела.

Първо ще разгледаме типовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат разрешени по отношение на производната, след това ще преминем към ODE от втори ред, след това ще се спрем на уравнения от по-висок ред и ще завършим със системи от диференциални уравнения.

Спомнете си, че ако y е функция на аргумента x.

Диференциални уравнения от първи ред.

    Най-простите диференциални уравнения от първи ред от вида.

    Нека напишем няколко примера за такова дистанционно управление .

    Диференциални уравнения може да се разреши по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнение, което ще бъде еквивалентно на оригиналното за f(x) ≠ 0. Примери за такива ODE са.

    Ако има стойности на аргумента x, при които функциите f(x) и g(x) едновременно изчезват, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решения на уравнението дадено x са всички функции, дефинирани за тези стойности на аргумент. Примери за такива диференциални уравнения включват:

Диференциални уравнения от втори ред.

    Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

    LDE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциално уравнение. Решението им не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или сложни конюгати. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като , или , или съответно.

    Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характеристично уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LODE с постоянни коефициенти има формата

    Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

    Общото решение на LDDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси под формата на сумата от общото решение на съответния LDDE и конкретно решение на оригинала нехомогенно уравнение, това е, . Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И определено решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f(x) от дясната страна на оригиналното уравнение, или чрез метода на вариране на произволни константи.

    Като примери за LDDE от втори ред с постоянни коефициенти, ние даваме

    Разберете теорията и се запознайте с нея подробни решенияПредлагаме ви примери на страницата на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

    Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения (LNDE) от втори ред.

    Частен случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LDDE с постоянни коефициенти.

    Общото решение на LODE на определен сегмент е представено от линейна комбинация от две линейно независими частични решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

    Основната трудност се състои именно в намирането на линейно независими частични решения на диференциално уравнение от този тип. Обикновено конкретните решения се избират от следните системи от линейно независими функции:

    Въпреки това, конкретните решения не винаги се представят в тази форма.

    Пример за LOD е .

    Общото решение на LDDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LDDE, а е частното решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането му, но то може да се определи с помощта на метода на вариране на произволни константи.

    Може да се даде пример за LNDU .

Диференциални уравнения от по-високи редове.

    Диференциални уравнения, които позволяват редукция.

    Ред на диференциалното уравнение , която не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 ред, може да се редуцира до n-k чрез замяна на .

    В този случай първоначалното диференциално уравнение ще бъде намалено до . След намиране на нейното решение p(x) остава да се върнем към замяната и да определим неизвестната функция y.

    Например диференциалното уравнение след замяната то ще се превърне в уравнение с разделими променливи и редът му ще бъде намален от трети на първи.