Уравнение с едно неизвестно, което след отваряне на скобите и привеждане на подобни членове приема формата
ax + b = 0, където a и b са произволни числа, се извиква линейно уравнение с едно неизвестно. Днес ще разберем как да решим тези линейни уравнения.
Например всички уравнения:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - линейно.
Стойността на неизвестното, в което се превръща уравнението истинско равенствоНаречен решение или корен на уравнението .
Например, ако в уравнението 3x + 7 = 13 вместо неизвестното x заместим числото 2, получаваме правилното равенство 3 2 +7 = 13. Това означава, че стойността x = 2 е решението или корена на уравнението.
И стойността x = 3 не превръща уравнението 3x + 7 = 13 в истинско равенство, тъй като 3 2 +7 ≠ 13. Това означава, че стойността x = 3 не е решение или корен на уравнението.
Решение на всяко линейни уравнениясвежда до решаване на уравнения от вида
ax + b = 0.
Нека преместим свободния член от лявата страна на уравнението вдясно, променяйки знака пред b на противоположния, получаваме
Ако a ≠ 0, тогава x = ‒ b/a .
Пример 1. Решете уравнението 3x + 2 =11.
Нека преместим 2 от лявата страна на уравнението вдясно, променяйки знака пред 2 на противоположния, получаваме
3x = 11 – 2.
Тогава да направим изваждането
3x = 9.
За да намерите x, трябва да разделите продукта на известен фактор, т.е
х = 9:3.
Това означава, че стойността x = 3 е решението или корена на уравнението.
Отговор: x = 3.
Ако a = 0 и b = 0, тогава получаваме уравнението 0x = 0. Това уравнение има безкрайно много решения, тъй като когато умножим произволно число по 0, получаваме 0, но b също е равно на 0. Решението на това уравнение е произволно число.
Пример 2.Решете уравнението 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Нека разширим скобите:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Да дадем подобни членове:
0x = 0.
Отговор: x - произволно число.
Ако a = 0 и b ≠ 0, тогава получаваме уравнението 0x = - b. Това уравнение няма решения, тъй като когато умножим произволно число по 0, получаваме 0, но b ≠ 0.
Пример 3.Решете уравнението x + 8 = x + 5.
Нека групираме термини, съдържащи неизвестни от лявата страна, и безплатни термини от дясната страна:
x – x = 5 – 8.
Ето някои подобни термини:
0х = ‒ 3.
Отговор: няма решения.
На Фигура 1 показва диаграма за решаване на линейно уравнение
Да композираме обща схемарешаване на уравнения с една променлива. Нека разгледаме решението на Пример 4.
Пример 4. Да предположим, че трябва да решим уравнението
1) Умножете всички членове на уравнението по най-малкото общо кратно на знаменателите, равно на 12.
2) След редукция получаваме
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) За да разделите термини, съдържащи неизвестни и свободни термини, отворете скобите:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Нека групираме в едната част членовете, съдържащи неизвестни, а в другата - свободните членове:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Нека представим подобни термини:
- 22х = - 154.
6) Разделете на – 22, Получаваме
х = 7.
Както можете да видите, коренът на уравнението е седем.
Като цяло такива уравненията могат да бъдат решени по следната схема:
а) приведете уравнението в целочислен вид;
б) отвори скобите;
в) групирайте членовете, съдържащи неизвестното в едната част на уравнението, и свободните членове в другата;
г) да доведе подобни членове;
д) решаване на уравнение от вида aх = b, получено след привеждане на подобни членове.
Тази схема обаче не е необходима за всяко уравнение. Когато решавате много по-прости уравнения, трябва да започнете не от първото, а от второто ( Пример. 2), трети ( Пример. 13) и дори от петия етап, както в пример 5.
Пример 5.Решете уравнението 2x = 1/4.
Намерете неизвестното x = 1/4: 2,
х = 1/8 .
Нека разгледаме решаването на някои линейни уравнения, открити на основния държавен изпит.
Пример 6.Решете уравнението 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Отговор: - 0,125
Пример 7.Решете уравнението – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Отговор: 2.3
Пример 8. Решете уравнението
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Пример 9.Намерете f(6), ако f (x + 2) = 3 7
Решение
Тъй като трябва да намерим f(6) и знаем f(x + 2),
тогава x + 2 = 6.
Решаваме линейното уравнение x + 2 = 6,
получаваме x = 6 – 2, x = 4.
Ако x = 4 тогава
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Отговор: 27.
Ако все още имате въпроси или искате да разберете по-задълбочено решаването на уравнения, запишете се за моите уроци в ГРАФИКА. Ще се радвам да ви помогна!
TutorOnline също така препоръчва да гледате нов видео урок от нашия преподавател Олга Александровна, който ще ви помогне да разберете както линейните уравнения, така и други.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Уравнението е равенство, в което има неизвестен член - x. Неговият смисъл трябва да се намери.
Неизвестното количество се нарича корен на уравнението. Решаването на уравнение означава намиране на неговия корен и за да направите това, трябва да знаете свойствата на уравненията. Уравненията за 5 клас не са трудни, но ако се научите да ги решавате правилно, няма да имате проблеми с тях в бъдеще.
Основното свойство на уравненията
Когато двете страни на едно уравнение се променят с една и съща стойност, то продължава да бъде същото уравнение със същия корен. Нека решим няколко примера, за да разберем по-добре това правило.
Как се решават уравнения: събиране или изваждане
Да предположим, че имаме уравнение от вида:
- a + x = b - тук a и b са числа, а x е неизвестният член на уравнението.
Ако добавим (или извадим от тях) стойността c към двете страни на уравнението, тя няма да се промени:
- a + x + c = b + c
- a + x - c = b - c.
Пример 1
Нека използваме това свойство, за да решим уравнението:
- 37+x=51
Извадете числото 37 от двете страни:
- 37+x-37=51-37
получаваме:
- х=51-37.
Коренът на уравнението е x=14.
Ако погледнем внимателно последното уравнение, можем да видим, че то е същото като първото. Просто преместихме член 37 от едната страна на уравнението в другата, като заменихме плюс с минус.
Оказва се, че всяко число може да се прехвърли от една част на уравнението в друга с обратен знак.
Пример 2
- 37+x=37+22
Нека извършим същото действие, преместете числото 37 от лявата страна на уравнението вдясно:
- х=37-37+22
Тъй като 37-37=0, ние просто намаляваме това и получаваме:
- х =22.
Еднакви членове на уравнение с еднакъв знак, намиращи се в различни части на уравнението, могат да бъдат намалени (задраскани).
Уравнения за умножение и деление
И двете страни на равенството могат също да бъдат умножени или разделени на едно и също число:
Ако равенството a = b се раздели или умножи по c, то не се променя:
- a/c = b/c,
- ac = bс.
Пример 3
- 5x = 20
Нека разделим двете страни на уравнението на 5:
- 5x/5 = 20/5.
Тъй като 5/5 = 1, намаляваме тези множител и делител от лявата страна на уравнението и получаваме:
- х = 20/5, х = 4
Пример 4
- 5x = 5a
Ако двете страни на уравнението се разделят на 5, получаваме:
- 5x/5 = 5a/5.
5-те в числителя и знаменателя на лявата и дясната страна се съкратят, което води до x = a. Това означава, че еднаквите множители от лявата и дясната страна на уравненията се съкращават.
Нека решим друг пример:
- 13 + 2x = 21
Преместваме член 13 от лявата страна на уравнението вдясно с противоположния знак:
- 2x = 21 - 13
- 2x = 8.
Разделяйки двете страни на уравнението на 2, получаваме:
- х = 4.