Tehnička mehanika. Bilješke s predavanja. Osnovna mehanika za lutke. Uvod Bilješke s predavanja iz teorijske mehanike riječ

državna autonomna institucija

Kalinjingradska oblast

profesionalni obrazovna organizacija

Visoka škola za usluge i turizam

Tečaj predavanja s primjerima praktičnih zadataka

"Osnove teorijske mehanike"

po discipliniTehnička mehanika

za studente3 tečaj

specijalitetiSigurnost od požara 20.02.04

Kaliningrad

ODOBRIO SAM

Zamjenik ravnatelja za SD GAU KO POO KSTN.N. Mjasnikova

ODOBRENO

Metodološko vijeće GAU KO POO KST

PREGLEDAN

Na sastanku PCC-a

Uredništvo:

Kolganova A.A., metodolog

Falaleeva A.B., profesorica ruskog jezika i književnosti

Tsvetaeva L.V., predsjednica PCC-aopće matematike i prirodnih znanosti

Sastavio:

Nezvanova I.V. nastavnik GAU KO POO KST

Sadržaj

    1. Teorijske informacije

    1. Teorijske informacije

    1. Primjeri rješavanja praktičnih problema

    Dinamika: osnovni pojmovi i aksiomi

    1. Teorijske informacije

    1. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Bibliografija

    Statika: osnovni pojmovi i aksiomi.

    1. Teorijske informacije

Statika – dio teorijske mehanike koji ispituje svojstva sila koje djeluju na točke krutog tijela i uvjete njihove ravnoteže. Glavni ciljevi:

1. Transformacija sustava sila u ekvivalentne sustave sila.

2. Određivanje uvjeta ravnoteže za sustave sila koji djeluju čvrsta.

Materijalna točka nazivamo najjednostavnijim modelom materijalnog tijela

bilo koji oblik čije su dimenzije dovoljno male i koji se može uzeti kao geometrijska točka određene mase. Mehanički sustav je svaka zbirka materijalnih točaka. Apsolutno kruto tijelo je mehanički sustav čije se udaljenosti između točaka ne mijenjaju tijekom nikakvih međudjelovanja.

Sila je mjera mehaničke interakcije materijalnih tijela međusobno. Sila je vektorska veličina jer je određena sa tri elementa:

    brojčana vrijednost;

    smjer;

    točka primjene (A).

Jedinica sile je Newton(N).

Slika 1.1

Sustav sila je skup sila koje djeluju na tijelo.

Uravnoteženi (jednak nuli) sustav sila je sustav koji, kada djeluje na tijelo, ne mijenja svoje stanje.

Sustav sila koje djeluju na tijelo može se zamijeniti jednom rezultantom, koja djeluje na isti način kao i sustav sila.

Aksiomi statike.

Aksiom 1: Ako na tijelo djeluje uravnoteženi sustav sila, ono se giba jednoliko i pravocrtno ili miruje (zakon tromosti).

Aksiom 2: Apsolutno kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila ako i samo ako su te sile jednake po veličini, djeluju u jednoj pravoj liniji i usmjerene su u suprotnim smjerovima. Slika 1.2

Aksiom 3: Mehaničko stanje tijela neće se poremetiti ako se sustavu sila koje na njega djeluju uravnoteženi sustav sila doda ili oduzme.

Aksiom 4: Rezultanta dviju sila koje djeluju na tijelo jednaka je njihovom geometrijskom zbroju, odnosno izražena je u veličini i smjeru dijagonalom paralelograma izgrađenog na tim silama kao na stranicama.

Slika 1.3.

Aksiom 5: Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo uvijek su jednake po veličini i usmjerene duž iste ravne crte u suprotnim smjerovima.

Slika 1.4.

Vrste veza i njihove reakcije

Veze su sva ograničenja koja sprječavaju kretanje tijela u prostoru. Tijelo koje pokušava pod utjecajem primijenjenih sila izvršiti kretanje koje je onemogućeno ograničenjem, djelovat će na njega određenom silom tzv. sila pritiska na spoj . Prema zakonu jednakosti akcije i reakcije spoj će djelovati na tijelo jednakom, ali suprotno usmjerenom silom.
Sila kojom ta veza djeluje na tijelo, sprječavajući određene pokrete, naziva se sila reakcije (reakcija) veze .
Jedan od osnovnih principa mehanike je načelo emancipacije : svako neslobodno tijelo možemo smatrati slobodnim ako odbacimo veze i njihovo djelovanje zamijenimo reakcijama veza.

Reakcija veze je usmjerena u smjeru suprotnom od onoga u kojem veza ne dopušta pomicanje tijela. Glavne vrste veza i njihove reakcije dane su u tablici 1.1.

Tablica 1.1

Vrste veza i njihove reakcije

Naziv veze

Simbol

1

Glatka površina (oslonac) – podloga (oslonac) na kojoj se može zanemariti trenje danog tijela.
Kada se podržava slobodno, reakcijausmjerena je okomito na tangentu povučenu kroz točkuA tjelesni kontakt1 s potpornom površinom2 .

2

Konac (savitljiv, neprotegljiv). Veza, izrađena u obliku neprotezne niti, ne dopušta tijelu da se odmakne od točke ovjesa. Stoga je reakcija niti usmjerena duž niti do točke njezina ovjesa.

3

Šipka bez težine - štap čija se težina, u usporedbi s percipiranim opterećenjem, može zanemariti.
Reakcija bestežinskog zglobno pričvršćenog pravocrtnog štapa usmjerena je duž osi štapa.

4

Pomični zglob, zglobno-pokretni nosač. Reakcija je usmjerena normalno na nosivu površinu.

7

Tvrda brtva. Postojat će dvije komponente reakcije u ravnini krutog ulegnuća, a moment par sila, koji sprječava okretanje grede1 u odnosu na točkuA .
Kruta uklopljenost u prostor oduzima tijelu 1 svih šest stupnjeva slobode - tri kretanja duž koordinatnih osi i tri rotacije oko tih osi.
Postojat će tri komponente prostorne krute brtve, , i tri momenta parova sila.

Sustav konvergentnih sila

Sustav konvergentnih sila je sustav sila čije se linije djelovanja sijeku u jednoj točki. Dvije sile koje konvergiraju u jednoj točki, prema trećem aksiomu statike, mogu se zamijeniti jednom silom -rezultanta .
Glavni vektor sustava sila – vrijednost jednaka geometrijskom zbroju sila sustava.

Rezultanta ravnog sustava konvergentnih sila može se odreditigrafički I analitički.

Zbrajanje sustava sila . Zbrajanje ravnog sustava konvergentnih sila provodi se ili sekvencijalnim zbrajanjem sila s konstrukcijom međurezultante (slika 1.5), ili konstruiranjem poligona sila (slika 1.6).


Slika 1.5Slika 1.6

Projekcija sile na os – algebarska veličina jednaka umnošku modula sile i kosinusa kuta između sile i pozitivnog smjera osi.
ProjekcijaFx(Sl. 1.7) sile na osi xpozitivan ako je kut α oštar, negativan ako je kut α tup. Ako snagaokomito na os, tada je njegova projekcija na os jednaka nuli.


Slika 1.7

Projekcija sile na ravninu Ohoo– vektor , zatvoren između projekcija početka i kraja silena ovaj avion. Oni. projekcija sile na ravninu je vektorska veličina, karakterizirana ne samo numeričkom vrijednošću, već i smjerom u ravniniOhoo (Slika 1.8).


Slika 1.8

Zatim projekcijski modul do aviona Ohoo bit će jednako:

Fxy = F cosα,

gdje je α kut između smjera sile i njegovu projekciju.
Analitička metoda određivanja sila . Za analitičku metodu određivanja silepotrebno je odabrati sustav koordinatnih osiOhhz, u odnosu na koji će se odrediti smjer sile u prostoru.
Vektor koji prikazuje snagu, može se konstruirati ako su poznati modul te sile i kutovi α, β, γ koje sila tvori s koordinatnim osima. TočkaA primjena sile specificira se zasebno svojim koordinatamax, na, z. Možete postaviti silu prema njenim projekcijamaFx, Fy, Fzna koordinatne ose. Modul sile u ovom slučaju određen je formulom:

i kosinus smjera:

, .

Analitička metoda zbrajanja sila : projekcija vektora zbroja na neku os jednaka je algebarski zbroj projekcije sumanata vektora na istu os, tj. ako je:

To , , .
znajući Rx, Ry, Rz, možemo definirati modul

i kosinus smjera:

, , .

Slika 1.9

Da bi sustav konvergentnih sila bio u ravnoteži, potrebno je i dovoljno da rezultanta tih sila bude jednaka nuli.
1) Geometrijski uvjet ravnoteže konvergentnog sustava sila : za ravnotežu sustava konvergirajućih sila potrebno je i dovoljno da poligon sila konstruiran od tih sila

bio zatvoren (kraj vektora posljednjeg člana

sila se mora podudarati s početkom vektora prvog člana sile). Tada će glavni vektor sustava sila biti jednaka nuli ()
2) Analitički uvjeti ravnoteže . Modul glavnog vektora sustava sila određen je formulom. =0. Jer , tada radikalni izraz može biti jednak nuli samo ako svaki član istovremeno postane nula, tj.

Rx= 0, Ry= 0, R z = 0.

Prema tome, za ravnotežu prostornog sustava konvergentnih sila potrebno je i dovoljno da zbrojevi projekcija tih sila na svaku od tri koordinate osi budu jednaki nuli:

Za ravnotežu ravnotežnog sustava konvergentnih sila potrebno je i dovoljno da zbrojevi projekcija sila na svaku od dviju koordinatnih osi budu jednaki nuli:

Zbrajanje dviju paralelnih sila usmjerenih u istom smjeru.

Slika 1.9

Dvije paralelne sile usmjerene u jednom smjeru svode se na jednu rezultantu silu, njima paralelnu i usmjerenu u istom smjeru. Veličina rezultante jednaka je zbroju veličina tih sila, a točka njezina djelovanja C dijeli udaljenost između linija djelovanja sila iznutra na dijelove obrnuto proporcionalne veličinama tih sila, tj.

B A C

R=F 1 +F 2

Zbrajanje dviju paralelnih sila nejednake veličine usmjerenih u suprotnim smjerovima.

Dvije nejednake antiparalelne sile svode se na jednu njima paralelnu rezultantu usmjerenu prema većoj sili. Veličina rezultante jednaka je razlici veličina tih sila, a točka njezina djelovanja C, dijeli udaljenost između linija djelovanja sila izvana na dijelove obrnuto proporcionalne veličinama tih sila, tj.

Nekoliko sila i moment sile oko točke.

Trenutak moći u odnosu na točku O naziva se, uzet s odgovarajućim predznakom, umnožak veličine sile i udaljenosti h od točke O do linije djelovanja sile . Ovaj proizvod se uzima sa znakom plus ako je snaga teži rotaciji tijela u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a sa predznakom -, ako sila nastoji rotirati tijelo u smjeru kazaljke na satu, tj . Duljina okomice h naziva serame snage točka O. Djelovanje sile t.j. Kutna akceleracija tijela je to veća što je veličina momenta sile veća.

Slika 1.11

S par snaga je sustav koji se sastoji od dvije paralelne sile jednake veličine usmjerene u suprotnim smjerovima. Udaljenost h između linija djelovanja sila naziva serame para . Moment par sila m(F,F") je umnožak veličine jedne od sila koje čine par i ramena para, uzet s odgovarajućim predznakom.

Zapisuje se ovako: m(F, F")= ± F × h, gdje se umnožak uzima s predznakom plus ako par sila teži rotaciji tijela u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i s predznakom minus ako par sila teži za okretanje tijela u smjeru kazaljke na satu.

Teorem o zbroju momenata sila para.

Zbroj momenata para sila (F,F") u odnosu na bilo koju točku 0, uzet u ravnini djelovanja para, ne ovisi o izboru ove točke i jednak je momentu para .

Teorem o ekvivalentnim parovima. Posljedice.

Teorema. Dva para čiji su momenti međusobno jednaki su ekvivalentna, tj. (Ž, Ž") ~ (P, P")

Korolar 1 . Par sila se može prenijeti na bilo koje mjesto u ravnini njegovog djelovanja, kao i rotirati pod bilo kojim kutom i promijeniti krak i veličinu para sila, a da se zadrži moment para.

Korolar 2. Par sila nema rezultantu i ne može se uravnotežiti jednom silom koja leži u ravnini para.

Slika 1.12

Adicija i uvjet ravnoteže za sustav parova na ravnini.

1. Teorem o zbrajanju parova koji leže u istoj ravnini. Sustav parova, proizvoljno smještenih u jednoj ravnini, može se zamijeniti jednim parom čiji moment jednak zbroju trenutke ovih parova.

2. Teorem o ravnoteži sustava parova na ravnini.

Da bi apsolutno kruto tijelo mirovalo pod djelovanjem sustava parova proizvoljno smještenih u jednoj ravnini, potrebno je i dovoljno da zbroj momenata svih parova bude jednak nuli, tj.

Centar gravitacije

Gravitacija – rezultanta sila privlačenja Zemlje raspoređenih po cijelom volumenu tijela.

Težište tijela - ovo je točka koja je uvijek povezana s ovim tijelom kroz koju prolazi linija djelovanja sile gravitacije danog tijela za bilo koji položaj tijela u prostoru.

Metode određivanja težišta

1. Metoda simetrije:

1.1. Ako homogeno tijelo ima ravninu simetrije, tada težište leži u ovoj ravnini

1.2. Ako homogeno tijelo ima os simetrije, tada težište leži na toj osi. Težište homogenog tijela rotacije leži na osi rotacije.

1.3 Ako homogeno tijelo ima dvije osi simetrije, tada je težište u točki njihova sjecišta.

2. Način podjele: Tijelo se podijeli na najmanji broj dijelova kojima su poznate sile teže i položaj težišta.

3. Metoda negativne mase: Pri određivanju težišta tijela koje ima slobodne šupljine treba koristiti metodu podjele, ali masu slobodnih šupljina treba smatrati negativnom.

Koordinate težišta ravne figure:

Položaji težišta jednostavnih geometrijski oblici može se izračunati pomoću poznatih formula. (Slika 1.13)

Bilješka: Težište simetrije lika nalazi se na osi simetrije.

Težište štapa je na sredini visine.

1.2. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Primjer 1: Teret je obješen na šipku i nalazi se u ravnoteži. Odrediti sile u štapu. (Slika 1.2.1)

Riješenje:

    Sile koje se stvaraju u šipkama za pričvršćivanje jednake su po veličini silama kojima šipke nose teret. (5. aksiom)

Određujemo moguće smjerove reakcija veza "krute šipke".

Sile su usmjerene duž štapova.

Slika 1.2.1.

Oslobodimo točku A od veza, zamjenjujući djelovanje veza s njihovim reakcijama. (Slika 1.2.2)

Počnimo konstrukciju s poznatom silom, crtanjem vektoraFna nekoj skali.

Od kraja vektoraFnacrtajte linije paralelne s reakcijamaR 1 IR 2 .

Slika 1.2.2

Kada se linije sijeku, stvaraju trokut. (Slika 1.2.3.). Poznavajući ljestvicu konstrukcija i mjereći duljinu stranica trokuta, možete odrediti veličinu reakcija u šipkama.

    Za točnije izračune možete koristiti geometrijske odnose, posebice sinusni teorem: omjer stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta konstantna je vrijednost

Za ovaj slučaj:

Slika 1.2.3

Komentar: Ako se smjer vektora (reakcije sprega) u danom dijagramu iu trokutu sila ne poklapa, tada reakcija u dijagramu treba biti usmjerena u suprotnom smjeru.

Primjer 2: Analitički odredite veličinu i smjer rezultantnog ravninskog sustava konvergentnih sila.

Riješenje:

Slika 1.2.4

1. Odrediti projekcije svih sila sustava na Ox (slika 1.2.4)

Algebarskim zbrajanjem projekcija dobivamo projekciju rezultante na Ox os.


Znak označava da je rezultanta usmjerena ulijevo.

2. Odrediti projekcije svih sila na os Oy:

Algebarskim zbrajanjem projekcija dobivamo projekciju rezultante na os Oy.

Znak označava da je rezultanta usmjerena prema dolje.

3. Odredite modul rezultante iz veličina projekcija:

4. Odredimo vrijednost kuta rezultante s osi Ox:

i vrijednost kuta s osi Oy:

Primjer 3: Izračunajte zbroj momenata sila u odnosu na točku O (slika 1.2.6).

OA= AB= UD=DE=CB=2m

Slika 1.2.6

Riješenje:

1. Moment sile u odnosu na točku brojčano jednak umnošku modul po sili ramena.

2. Moment sile je jednak nuli ako kroz točku prolazi linija djelovanja sile.

Primjer 4: Odredite položaj težišta figure prikazane na slici 1.2.7

Riješenje:

Dijelimo figuru na tri dijela:

1-pravokutnik

A 1 =10*20=200cm 2

2-trokut

A 2 =1/2*10*15=75cm 2

3-krug

A 3 =3,14*3 2 =28,3 cm 2

Slika 1 CG: x 1 =10 cm, y 1 =5 cm

Slika 2 CG: x 2 =20+1/3*15=25cm, god 2 =1/3*10=3,3 cm

Slika 3 CG: x 3 =10 cm, y 3 =5 cm

Slično definirano S =4,5 cm

    Kinematika: osnovni pojmovi.

Osnovni kinematički parametri

Putanja - crta koju materijalna točka ocrtava pri kretanju u prostoru. Putanja može biti ravna ili zakrivljena, ravna ili prostorna.

Jednadžba putanje za ravninsko gibanje: y =f ( x)

Prijeđena udaljenost. Put se mjeri po putanji u smjeru vožnje. Oznaka -S, mjerne jedinice su metri.

Jednadžba gibanja točke je jednadžba koja određuje položaj pokretne točke kao funkciju vremena.

Slika 2.1

Položaj točke u svakom trenutku vremena može se odrediti udaljenošću prijeđenom putanjom od neke fiksna točka, smatra se ishodištem (Slika 2.1). Ova metoda specificiranja kretanja zove seprirodni . Dakle, jednadžba gibanja može se prikazati kao S = f (t).

Slika 2.2

Položaj točke može se odrediti i ako su poznate njezine koordinate ovisno o vremenu (slika 2.2). Zatim, u slučaju gibanja u ravnini, moraju se dati dvije jednadžbe:

U slučaju prostornog gibanja, dodaje se treća koordinataz= f 3 ( t)

Ova metoda specificiranja kretanja zove seKoordinirati .

Brzina putovanja je vektorska veličina koja karakterizira trenutnu brzinu i smjer kretanja duž putanje.

Brzina je vektor, u svakom trenutku usmjeren tangencijalno na putanju prema smjeru kretanja (slika 2.3).

Slika 2.3

Ako točka prijeđe jednake udaljenosti u jednakim vremenskim razdobljima, tada se gibanje nazivauniforma .

Prosječna brzina na putu ΔSdefinirano:

GdjeΔS- prijeđena udaljenost u vremenu Δt; Δ t- vremenski interval.

Ako točka prijeđe nejednake putove u jednakim vremenskim razdobljima, tada se zove gibanjeneravnomjeran . Brzina je u ovom slučaju promjenljiva veličina i ovisi o vremenuv= f( t)

Trenutačna brzina određena je kao

Ubrzanje točke - vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene brzine u veličini i smjeru.

Brzina točke kada se kreće od točke M1 do točke Mg mijenja se po veličini i smjeru. Prosječna vrijednost ubrzanja za ovo vremensko razdoblje

Trenutno ubrzanje:

Obično se radi praktičnosti uzimaju u obzir dvije međusobno okomite komponente ubrzanja: normalna i tangencijalna (slika 2.4)

Normalno ubrzanje a n , karakterizira promjenu brzine duž

smjer i definiran je kao

Normalno ubrzanje uvijek je usmjereno okomito na brzinu prema središtu luka.

Slika 2.4

Tangencijalno ubrzanje a t , karakterizira promjenu brzine u veličini i uvijek je usmjeren tangencijalno na putanju; pri ubrzanju se njegov smjer poklapa sa smjerom brzine, a pri usporavanju usmjeren je suprotno od smjera vektora brzine.

Ukupna vrijednost ubrzanja definirana je kao:

Analiza vrsta i kinematičkih parametara gibanja

Jednoliko kretanje - ovo je pokret sa stalna brzina:

Za ravno jednoliko kretanje:

Za krivocrtno ravnomjerno gibanje:

Zakon jednolikog gibanja :

Jednako naizmjenično kretanje – Ovo je gibanje s konstantnom tangencijalnom akceleracijom:

Za pravocrtno ravnomjerno gibanje

Za krivocrtno ravnomjerno gibanje:

Zakon jednolikog gibanja:

Kinematički grafovi

Kinematički grafovi - Ovo su grafikoni promjena putanje, brzine i ubrzanja ovisno o vremenu.

Jednoliko kretanje (Slika 2.5)

Slika 2.5

Jednako naizmjenično gibanje (slika 2.6)

Slika 2.6

Najjednostavnija gibanja krutog tijela

Kretanje naprijed nazivamo gibanje krutog tijela pri kojem svaka ravna linija na tijelu tijekom gibanja ostaje paralelna sa svojim početnim položajem (slika 2.7)

Slika 2.7

Pri translatornom gibanju sve se točke tijela gibaju jednako: brzine i ubrzanja su u svakom trenutku iste.

Narotacijsko kretanje sve točke tijela opisuju kružnice oko zajedničke fiksna os.

Nepomična os oko koje se okreću sve točke tijela naziva seos rotacije.

Da biste opisali rotacijsko gibanje tijela oko fiksne osi, možete koristiti samokutni parametri. (Slika 2.8)

φ – kut zakreta tijela;

ω – kutna brzina, određuje promjenu kuta rotacije po jedinici vremena;

Određuje se promjena kutne brzine tijekom vremena kutno ubrzanje:

2.2. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Primjer 1: Dana je jednadžba gibanja točke. Odredite brzinu točke na kraju treće sekunde kretanja i prosječnu brzinu za prve tri sekunde.

Riješenje:

1. Jednadžba brzine

2. Brzina na kraju treće sekunde (t=3 c)

3. Prosječna brzina

Primjer 2: Na temelju zadanog zakona gibanja odredite vrstu gibanja, početnu brzinu i tangencijalnu akceleraciju točke te vrijeme zaustavljanja.

Riješenje:

1. Tip kretanja: ravnomjerno promjenjiv ()
2. Usporedbom jednadžbi vidljivo je da

- početni put prijeđen prije početka odbrojavanja 10m;

- početna brzina 20m/s

- konstantna tangencijalna akceleracija

- akceleracija je negativna, dakle, kretanje je sporo, akceleracija je usmjerena u smjeru suprotnom od brzine kretanja.

3. Možete odrediti vrijeme u kojem će brzina točke biti nula.

3.Dinamika: osnovni pojmovi i aksiomi

Dinamika – dio teorijske mehanike u kojem se uspostavlja veza između gibanja tijela i sila koje na njih djeluju.

U dinamici se rješavaju dvije vrste problema:

    odrediti parametre gibanja na temelju zadanih sila;

    odrediti sile koje djeluju na tijelo prema zadanim kinematičkim parametrima gibanja.

Pod, ispodmaterijalna točka podrazumijevaju određeno tijelo koje ima određenu masu (tj. sadrži određenu količinu materije), ali nema linearne dimenzije (infinitezimalni volumen prostora).
Izolirano smatra se materijalnom točkom na koju druge materijalne točke ne utječu. U stvarnom svijetu izolirane materijalne točke, poput izoliranih tijela, ne postoje; ovaj je koncept uvjetan.

Pri translatornom gibanju sve se točke tijela gibaju jednako, pa se tijelo može uzeti kao materijalna točka.

Ako su dimenzije tijela male u usporedbi s putanjom, ono se također može smatrati materijalnom točkom, a točka se poklapa s težištem tijela.

Tijekom rotacijskog gibanja tijela, točke se ne moraju gibati na isti način, u tom slučaju se neke odredbe dinamike mogu primijeniti samo na pojedinačne točke, a materijalni objekt se može smatrati skupom materijalnih točaka.

Stoga se dinamika dijeli na dinamiku točke i dinamiku materijalnog sustava.

Aksiomi dinamike

Prvi aksiom ( princip tromosti): in Svaka izolirana materijalna točka je u stanju mirovanja ili jednolike i pravocrtno gibanje dok ga primijenjene sile ne izvedu iz ovog stanja.

Ovo stanje se zove državainercija. Izvedite točku iz ovog stanja, t.j. Vanjska sila može mu dati određeno ubrzanje.

Svako tijelo (točka) imainercija. Mjera inercije je masa tijela.

Masa nazvaokoličina tvari u volumenu tijela, u klasičnoj mehanici smatra se konstantnom veličinom. Jedinica mase je kilogram (kg).

Drugi aksiom (Drugi Newtonov zakon je temeljni zakon dinamike)

F=ma

GdjeT - masa točke, kg;A - ubrzanje točke, m/s 2 .

Ubrzanje koje sila prenosi materijalnoj točki proporcionalno je veličini sile i podudara se sa smjerom sile.

Na sva tijela na Zemlji djeluje sila gravitacije, ona tijelu daje ubrzanje slobodan pad, usmjeren prema središtu Zemlje:

G = mg,

Gdjeg- 9,81 m/s², ubrzanje slobodnog pada.

Treći aksiom (treći Newtonov zakon): cSile međudjelovanja dvaju tijela jednake su veličine i usmjerene duž iste ravne crte u različitim smjerovima.

Kod međusobnog djelovanja ubrzanja su obrnuto proporcionalna masama.

Četvrti aksiom (zakon neovisnosti sila): doSvaka sila u sustavu sila djeluje kao što bi djelovala sama.

Ubrzanje koje točki pridaje sustav sila jednako je geometrijskom zbroju ubrzanja koje točki pridaje svaka sila zasebno (slika 3.1):

Slika 3.1

Pojam trenja. Vrste trenja.

Trenje- otpor koji nastaje kada se jedno hrapavo tijelo kreće po površini drugog. Pri klizanju tijela nastaje trenje klizanja, a pri kotrljanju trenje ljuljanja.

Trenje klizanja

Slika 3.2.

Razlog je mehaničko zahvaćanje izbočina. Sila otpora gibanju pri klizanju naziva se sila trenja klizanja (slika 3.2).

Zakoni trenja klizanja:

1. Sila trenja klizanja izravno je proporcionalna sili normalnog tlaka:

GdjeR- normalna sila pritiska, usmjerena okomito na potpornu površinu;f- koeficijent trenja klizanja.

Slika 3.3.

U slučaju kretanja tijela po kosoj ravnini (slika 3.3)

Trenje kotrljanja

Otpor kotrljanja povezan je s međusobnom deformacijom tla i kotača i znatno je manji od trenja klizanja.

Za ravnomjerno kotrljanje kotača potrebno je primijeniti siluF dv (Slika 3.4)

Uvjet za kotrljanje kotača je da moment gibanja ne smije biti manji od momenta otpora:

Slika 3.4.

Primjer 1: Primjer 2: Na dvije materijalne točke masem 1 = 2 kg im 2 = 5 kg primijenjene jednake sile. Usporedite vrijednosti ubrzanja.

Riješenje:

Prema trećem aksiomu, dinamika ubrzanja je obrnuto proporcionalna masama:

Primjer 3: Odredite rad sile teže pri pomicanju tereta iz točke A u točku C duž nagnute ravnine (slika 3.7). Gravitacija tijela je 1500N. AB = 6 m, BC = 4 m. Primjer 3: Odredi rad sile rezanja za 3 minute. Brzina rotacije izratka je 120 okretaja u minuti, promjer izratka je 40 mm, sila rezanja je 1 kN. (Slika 3.8)

Riješenje:

1. Rotacijski rad:

2. Kutna brzina 120 o/min

Slika 3.8.

3. Broj okretaja za određeno vrijeme jez=120*3=360 okr.

Kut rotacije za to vrijeme φ=2πz=2*3,14*360=2261rad

4. Radite u 3 kruga:W=1*0,02*2261=45,2 kJ

Bibliografija

    Olofinskaya, V.P. "Tehnička mehanika", Moskva "Forum" 2011.

    Erdedi A.A. Erdedi N.A. Teorijska mehanika. Čvrstoća materijala.- R-n-D; Feniks, 2010

1 slajd

Tijek predavanja na teorijska mehanika Dinamika (I. dio) Bondarenko A.N. Moskva - 2007 Elektronički tečaj obuke napisan je na temelju predavanja koje je autor održao za studente koji studiraju na specijalnostima SZhD, PGS i SDM na NIIZhT i MIIT (1974.-2006.). Obrazovni materijal odgovara kalendarskim planovima za tri semestra. Da biste u potpunosti implementirali animacijske efekte tijekom prezentacije, morate koristiti preglednik Power Point koji nije niži od onog ugrađenog u Microsoft Office operativnog sustava Windows XP Professional. Primjedbe i sugestije možete slati na e-mail: [e-mail zaštićen]. Moskva Državno sveučilišteŽeljeznice (MIIT) Odjel za teorijsku mehaniku Znanstveno-tehnički centar za prometne tehnologije

2 slajd

Sadržaj predavanja 1. Uvod u dinamiku. Zakoni i aksiomi dinamike materijalna točka. Osnovna jednadžba dinamike. Diferencijalne i prirodne jednadžbe gibanja. Dva glavna problema dinamike. Primjeri rješavanja izravnog problema dinamike Predavanje 2. Rješenje inverznog problema dinamike. Opće upute za rješavanje inverznog problema dinamike. Primjeri rješavanja inverznog problema dinamike. Kretanje tijela bačenog pod kutom prema horizontali, bez uzimanja u obzir otpora zraka. Predavanje 3. Pravocrtne oscilacije materijalne točke. Uvjet za pojavu oscilacija. Klasifikacija vibracija. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora. Prigušene oscilacije. Dekrement oscilacija. Predavanje 4. Prisilne oscilacije materijalne točke. Rezonancija. Utjecaj otpora gibanju tijekom prisilnih vibracija. Predavanje 5. Relativno gibanje materijalne točke. Sile inercije. Posebni slučajevi gibanja za razne vrste prijenosnih gibanja. Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu i kretanje tijela. Predavanje 6. Dinamika mehaničkog sustava. Mehanički sustav. Vanjske i unutarnje sile. Središte mase sustava. Teorem o gibanju centra mase. Zakoni očuvanja. Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o gibanju središta mase. Predavanje 7. Impuls sile. Količina kretanja. Teorem o promjeni količine gibanja. Zakoni očuvanja. Eulerov teorem. Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o promjeni količine gibanja. Zamah. Teorem o promjeni kutne količine gibanja Predavanje 8. Zakoni očuvanja. Elementi teorije momenata tromosti. Kinetički moment krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela. Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o promjeni kutne količine gibanja sustava. Elementarna teorija žiroskopa. Preporučena literatura 1. Yablonsky A.A. Kolegij teorijske mehanike. 2. dio. M.: postdiplomske studije. 1977. 368 str. 2. Meshchersky I.V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M.: Znanost. 1986. 416 str. 3. Zbirka zadataka za kolegij/Ed. A.A. Jablonski. M.: Viša škola. 1985. 366 str. 4. Bondarenko A.N. “Teorijska mehanika u primjerima i problemima. Dinamika” ( elektronički priručnik www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

3 slajd

Predavanje 1. Dinamika je dio teorijske mehanike koji proučava mehaničko gibanje s najopćenitijeg gledišta. Kretanje se razmatra u vezi sa silama koje djeluju na objekt. Dio se sastoji od tri cjeline: Dinamika materijalne točke Dinamika Dinamika mehaničkog sustava Analitička mehanika ■ Dinamika točke – proučava kretanje materijalne točke, uzimajući u obzir sile koje uzrokuju to gibanje. Glavni objekt je materijalna točka - materijalno tijelo s masom čije se dimenzije mogu zanemariti. Osnovne pretpostavke: – postoji apsolutni prostor (ima čisto geometrijska svojstva koja ne ovise o materiji i njenom kretanju. – postoji apsolutno vrijeme (neovisno o materiji i njenom kretanju). Iz ovoga slijedi: – postoji apsolutno nepomičan okvir od referenca – vrijeme ne ovisi o gibanju referentnog sustava – mase pokretnih točaka ne ovise o gibanju referentnog okvira Ove se pretpostavke koriste u klasičnoj mehanici koju su stvorili Galileo i Newton Još uvijek ima prilično široku primjenu, budući da mehanički sustavi koji se razmatraju u primijenjenim znanostima nemaju tako velike mase i brzine gibanja, za što je potrebno uzeti u obzir njihov utjecaj na geometriju prostora, vremena, gibanja, kao što se to radi u relativističkim mehanika (teorija relativnosti).■ Osnovni zakoni dinamike – prvi ih je otkrio Galileo, a formulirao Newton čine osnovu svih metoda za opisivanje i analizu gibanja mehaničkih sustava i njihove dinamičke interakcije pod utjecajem različitih sila. ■ Zakon tromosti (Galileo-Newtonov zakon) – Izolirana materijalna točka, tijelo, održava svoje stanje mirovanja ili ravnomjernog pravocrtnog gibanja sve dok je primijenjene sile ne prisile da promijeni to stanje. To implicira istovjetnost stanja mirovanja i gibanja po inerciji (Galilejev zakon relativnosti). Referentni sustav u odnosu na koji vrijedi zakon tromosti naziva se inercijski. Svojstvo materijalne točke da nastoji održati konstantnu brzinu svog gibanja (njezino kinematičko stanje) naziva se inercija. ■ Zakon proporcionalnosti sile i akceleracije (Osnovna jednadžba dinamike - Newtonov II zakon) – Akceleracija koju sila prenosi materijalnoj točki izravno je proporcionalna sili i obrnuto proporcionalna masi te točke: ili Ovdje je m masa točke (mjera tromosti), mjerena u kg, brojčano jednaka težina podijeljena s gravitacijskim ubrzanjem: F je djelujuća sila, mjerena u N (1 N daje ubrzanje od 1 m/s2 točki koja teži 1 kg, 1 N = 1/9. 81 kg-s). ■ Dinamika mehaničkog sustava - proučava kretanje skupa materijalnih točaka i krutih tijela zajedno opći zakoni interakcije, uzimajući u obzir sile koje uzrokuju to kretanje. ■ Analitička mehanika – proučava gibanje ograničenih mehaničkih sustava koristeći opće analitičke metode. 1

4 slajd

Predavanje 1 (nastavak – 1.2) Diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke: - diferencijalna jednadžba gibanja točke u vektorskom obliku. - diferencijalne jednadžbe gibanja točke u koordinatnom obliku. Ovaj se rezultat može dobiti formalnom projekcijom vektorske diferencijalne jednadžbe (1). Nakon grupiranja, vektorski odnos rastavlja se u tri skalarne jednadžbe: U koordinatnom obliku: Koristimo vezu između radijus vektora s koordinatama i vektora sile s projekcijama: ili: Zamjenjujemo ubrzanje točke vektorskim gibanjem određenim u osnovna jednadžba dinamike: Prirodne jednadžbe gibanja materijalne točke dobivaju se projiciranjem vektorske diferencijalne jednadžbe gibanja na prirodne (pokretne) koordinatne osi: ili: - prirodne jednadžbe gibanja točke. ■ Osnovna jednadžba dinamike: - odgovara vektorskoj metodi zadavanja gibanja točke. ■ Zakon neovisnosti o djelovanju sila - Ubrzanje materijalne točke pod djelovanjem više sila jednako je geometrijskom zbroju ubrzanja točke od djelovanja svake od sila zasebno: ili Zakon vrijedi za bilo koje kinematičko stanje tijela. Interakcijske sile, koje djeluju na različite točke (tijela), nisu uravnotežene. ■ Zakon jednakosti akcije i reakcije (Newtonov III zakon) – Svakoj akciji odgovara jednaka po veličini i suprotno usmjerena reakcija: 2

5 slajd

Dva glavna problema dinamike: 1. Izravni problem: Zadano je gibanje (jednadžbe gibanja, putanja). Potrebno je odrediti sile pod čijim se utjecajem događa određeno gibanje. 2. Inverzni zadatak: Zadane su sile pod čijim djelovanjem nastaje gibanje. Potrebno je pronaći parametre gibanja (jednadžbe gibanja, putanje gibanja). Oba problema rješavaju se temeljnom jednadžbom dinamike i njezinom projekcijom na koordinatne osi. Ako se razmatra kretanje neslobodne točke, tada se, kao iu statici, koristi princip oslobađanja od veza. Kao rezultat toga, reakcije veza uključene su u sile koje djeluju na materijalnu točku. Rješenje prvog problema vezano je uz operacije diferenciranja. Rješavanje inverznog problema zahtijeva integraciju odgovarajućih diferencijalnih jednadžbi, a to je puno teže od diferencijacije. Inverzni problem je teži od izravnog problema. Pogledajmo rješenje izravnog zadatka dinamike na primjerima: Primjer 1. Kabina dizala težine G podiže se užetom ubrzanjem a. Odredite napetost kabela. 1. Odaberite objekt (kabina dizala se giba translatorno i može se smatrati materijalnom točkom). 2. Odbacimo spoj (uže) i zamijenimo ga reakcijom R. 3. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: Odredimo reakciju užeta: Odredimo napetost užeta: Kod jednolikog gibanja kabine ay = 0, a napetost sajle jednaka je težini: T = G. Ako sajla pukne, T = 0 i akceleracija kabine je jednaka akceleraciji sile teže: ay = -g. 3 4. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na y-os: y Primjer 2. Točka mase m giba se po horizontalnoj plohi (Oxy ravnina) prema jednadžbama: x = a coskt, y = b coskt. Odredite silu koja djeluje na točku. 1. Odaberite objekt (materijalnu točku). 2. Odbacimo vezu (ravninu) i zamijenimo je reakcijom N. 3. Sustavu sila dodamo nepoznatu silu F. 4. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na x,y osi: Određujemo projekcije sile: Modul sile: Kosinus smjera: Dakle, veličina sile proporcionalna je udaljenosti točke od središta koordinata i usmjerena je prema središtu duž pravca koji povezuje točku sa središtem . Putanja točke je elipsa sa središtem u ishodištu: O r Predavanje 1 (nastavak – 1.3)

6 slajd

Predavanje 1 (nastavak 1.4) Primjer 3: Teret težine G obješen je na sajlu duljine l i giba se po kružnoj stazi u horizontalnoj ravnini određenom brzinom. Kut odstupanja kabela od okomice je jednak. Odredite napetost užeta i brzinu tereta. 1. Odaberite objekt (teret). 2. Odbacimo spoj (kabel) i zamijenimo ga reakcijom R. 3. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: Iz treće jednadžbe odredimo reakciju sajle: Odredimo napetost sajle: Zamijenimo vrijednost reakcije sajle, normalno ubrzanje u drugoj jednadžbi i odredimo brzinu tereta: 4. Glavnu jednadžbu dinamike projiciramo na os,n,b: Primjer 4: Automobil težine G giba se po konveksnoj most (polumjer zakrivljenosti jednak R) brzinom V. Odredite pritisak automobila na most. 1. Odaberite objekt (automobil, zanemarite dimenzije i smatrajte ga točkom). 2. Spoj (hrapava površina) odbacujemo i zamjenjujemo reakcijama N i silom trenja Ftr. 3. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 4. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na n os: Odavde određujemo normalnu reakciju: Određujemo pritisak automobila na most: Odavde možemo odrediti brzinu koji odgovara nultom tlaku na mostu (Q = 0): 4

7 slajd

2. predavanje Nakon zamjene pronađenih vrijednosti konstanti dobivamo: Dakle, pod utjecajem istog sustava sila, materijalna točka može izvršiti čitavu klasu gibanja određenih početnim uvjetima. Početne koordinate uzimaju u obzir početni položaj točke. Početna brzina određena projekcijama uzima u obzir utjecaj sila koje djeluju na točku prije dolaska na ovu dionicu na njezino kretanje duž razmatrane dionice putanje, tj. početno kinematičko stanje. Rješenje inverznog problema dinamike - U općem slučaju gibanja točke, sile koje djeluju na točku su varijable ovisne o vremenu, koordinatama i brzini. Gibanje točke opisuje se sustavom od tri diferencijalne jednadžbe drugog reda: Nakon integracije svake od njih bit će šest konstanti C1, C2,…., C6: Vrijednosti konstanti C1, C2,…. , C6 nalaze se iz šest početnih uvjeta pri t = 0: Primjer 1. rješenje inverznog problema: Slobodna materijalna točka mase m giba se pod djelovanjem sile F, konstantne po modulu i veličini. . U početnom trenutku brzina točke bila je v0 i poklapala se po smjeru sa silom. Odredite jednadžbu gibanja točke. 1. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Spuštamo red derivacije: 2. Odaberemo Kartezijev referentni okvir, usmjeravajući os x duž smjera sile i projiciramo osnovnu jednadžbu dinamike na tu os : ili x y z 4. Razdvojimo varijable: 5. Izračunamo integrale obje strane jednadžbe : 6. Zamislimo projekciju brzine kao derivaciju koordinate u odnosu na vrijeme: 8. Izračunamo integrale obje strane strane jednadžbe: 7. Odvajamo varijable: 9. Za određivanje vrijednosti konstanti C1 i C2 koristimo početne uvjete t = 0, vx = v0, x = x0: Kao rezultat toga dobivamo jednadžba jednoliko naizmjeničnog gibanja (duž x osi): 5

8 slajd

Opće upute za rješavanje izravnih i inverznih zadataka. Postupak rješavanja: 1. Sastavljanje diferencijalne jednadžbe gibanja: 1.1. Odaberite koordinatni sustav - pravokutni (fiksni) za nepoznatu putanju, prirodni (pokretni) za poznatu putanju, na primjer, krug ili ravna linija. U potonjem slučaju možete koristiti jednu pravocrtnu koordinatu. Referentnu točku treba poravnati s početnim položajem točke (pri t = 0) ili s ravnotežnim položajem točke, ako on postoji, npr. kada točka oscilira. 6 1.2. Nacrtajte točku u položaju koji odgovara proizvoljnom trenutku u vremenu (pri t > 0) tako da su koordinate pozitivne (s > 0, x > 0). Istodobno, također vjerujemo da je projekcija brzine u ovoj poziciji također pozitivna. U slučaju oscilacija, projekcija brzine mijenja predznak, npr. pri povratku u ravnotežni položaj. Ovdje treba pretpostaviti da se u promatranom trenutku točka udaljava od ravnotežnog položaja. Pridržavanje ove preporuke važno je u budućnosti kada radite sa silama otpora koje ovise o brzini. 1.3. Oslobodite materijalnu točku veza, njihovo djelovanje zamijenite reakcijama, dodajte aktivne sile. 1.4. Zapišite osnovni zakon dinamike u vektorskom obliku, projicirajte ga na odabrane osi, izrazite zadane ili reaktivne sile kroz varijable vrijeme, koordinate ili brzine, ako o njima ovise. 2. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi: 2.1. Smanjite derivaciju ako jednadžba nije svedena na kanonski (standardni) oblik. na primjer: ili 2.2. Odvojite varijable, na primjer: ili 2.4. Izračunajte neodređene integrale na lijevoj i desnoj strani jednadžbe, na primjer: 2.3. Ako u jednadžbi postoje tri varijable, promijenite varijable, na primjer: i zatim podijelite varijable. Komentar. Umjesto da kalkulira neodređeni integrali moguće je izračunati određene integrale s promjenjivom gornjom granicom. Donje granice predstavljaju početne vrijednosti varijabli (početni uvjeti). Tada nema potrebe posebno pronaći konstantu, koja se automatski uključuje u rješenje, na primjer: Korištenje početnih uvjeta, na primjer, t = 0 , vx = vx0, odredite konstantu integracije: 2.5. Brzinu izrazite kroz derivaciju koordinate u odnosu na vrijeme, na primjer, i ponovite paragrafe 2.2 -2.4 Napomena. Ako se jednadžba svede na kanonski oblik koji ima standardno rješenje, tada se koristi ovo gotovo rješenje. Integracijske konstante još uvijek se nalaze iz početnih uvjeta. Vidi, na primjer, oscilacije (predavanje 4, str. 8). Predavanje 2 (nastavak 2.2)

Slajd 9

Predavanje 2 (nastavak 2.3) Primjer 2 rješavanja inverznog problema: Sila ovisi o vremenu. Teret težine P počinje se gibati po glatkoj horizontalnoj površini pod djelovanjem sile F čija je veličina proporcionalna vremenu (F = kt). Odrediti put koji teret prijeđe u vremenu t. 3. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Spuštamo red derivacije: 4. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na x-os: ili 7 6. Razdvajamo varijable: 7. Računamo integrale obiju strana jednadžbe: 9. Projekciju brzine zamislimo kao derivaciju koordinate u odnosu na vrijeme: 10. Izračunamo integrale s obje strane jednadžbe: 9. Razdvojimo varijable: 8. Odredimo vrijednost konstante C1 iz početnog uvjeta t = 0, vx = v0=0: Kao rezultat dobivamo jednadžbu gibanja (po x osi), koja daje vrijednost prijeđenog puta u vremenu t: 1 Odaberite referentni sustav ( Kartezijeve koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Predmet gibanja uzmemo kao materijalnu točku (tijelo se giba translatorno), oslobodimo ga veze (referentne ravnine) i zamijenimo reakcijom (normalna reakcija glatka površina): 11. Odredite vrijednost konstante C2 iz početnog uvjeta t = 0, x = x0=0: Primjer 3 rješavanja inverznog zadatka: Sila ovisi o koordinati. Materijalna točka mase m bačena je uvis s površine Zemlje brzinom v0. Sila gravitacije Zemlje obrnuto je proporcionalna kvadratu udaljenosti od točke do težišta (središta Zemlje). Odredite ovisnost brzine o udaljenosti y od središta Zemlje. 1. Odaberemo referentni sustav (kartezijeve koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Sastavimo osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Osnovnu jednadžbu dinamike projiciramo na y-os: ili Koeficijent proporcionalnosti može se pronaći koristeći težinu točke na Zemljinoj površini: R Stoga diferencijal jednadžbe ima oblik: ili 4. Spuštamo red derivacije: 5. Izvršavamo promjenu varijable: 6. Razdvajamo varijable : 7. Izračunavamo integrale obiju strana jednadžbe: 8. Zamjenjujemo granice: Kao rezultat, dobivamo izraz za brzinu kao funkciju y koordinate: Maksimalna visina leta može se pronaći izjednačavanjem brzine na nulu: Maksimalna visina leta kada nazivnik ide na nulu: Odavde, kada se postavlja radijus Zemlje i ubrzanje gravitacije, dobiva se izlazna brzina II:

10 slajd

2. predavanje (nastavak 2.4) Primjer 2 rješavanja inverznog problema: Sila ovisi o brzini. Plovilo mase m imalo je brzinu v0. Otpor vode gibanju plovila proporcionalan je brzini. Odredite vrijeme za koje će se brzina broda prepoloviti nakon gašenja motora, kao i put koji brod prijeđe do potpunog zaustavljanja. 8 1. Odaberemo referentni sustav (Kartezijeve koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Objekt gibanja uzmemo kao materijalnu točku (brod se giba translatorno), oslobodimo ga veza (voda) i zamijenimo ga. s reakcijom (sila uzgona - Arhimedova sila), a također i sila otpora kretanju. 3. Dodajte aktivnu silu (gravitaciju). 4. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 5. Projiciramo osnovnu jednadžbu dinamike na x-os: ili 6. Spuštamo red derivacije: 7. Razdvajamo varijable: 8. Računamo integrale od obje strane jednadžbe: 9. Zamijenimo granice: Dobije se izraz koji povezuje brzinu i vrijeme t, iz kojeg se može odrediti vrijeme gibanja: Vrijeme gibanja tijekom kojeg će brzina pasti za pola: Zanimljivo je imajte na umu da kako se brzina približava nuli, vrijeme kretanja teži beskonačnosti, tj. konačna brzina ne može biti nula. Zašto ne "perpetum mobile"? Međutim, udaljenost prijeđena do zaustavljanja je konačna vrijednost. Da bismo odredili prijeđenu udaljenost, okrećemo se izrazu dobivenom nakon spuštanja reda derivacije i mijenjamo varijablu: Nakon integracije i zamjene granica, dobivamo: Prijeđenu udaljenost do zaustavljanja: ■ Kretanje točke bačene na kut prema horizontu u jednoličnom gravitacijskom polju bez uzimanja u obzir otpora zraka Eliminirajući vrijeme iz jednadžbi gibanja, dobivamo jednadžbu putanje: Vrijeme leta se određuje izjednačavanjem koordinate y s nulom: Domet leta se određuje zamjenom vrijeme leta:

11 slajd

Predavanje 3 Pravocrtne oscilacije materijalne točke - Oscilatorno gibanje materijalne točke događa se pod uvjetom: postoji povratna sila koja nastoji vratiti točku u ravnotežni položaj za svako odstupanje od tog položaja. 9 Postoji povratna sila, ravnotežni položaj je stabilan Nema povratne sile, ravnotežni položaj je nestabilan Nema povratne sile, ravnotežni položaj je indiferentan Postoji povratna sila, ravnotežni položaj je stabilan Potrebna je analiza Elastika sila opruge je primjer linearne povratne sile. Uvijek usmjerena prema ravnotežnom položaju, vrijednost je izravno proporcionalna linearnom izduženju (skraćenju) opruge, jednakom otklonu tijela od ravnotežnog položaja: c je koeficijent krutosti opruge, numerički jednako snazi, pod čijim utjecajem opruga mijenja svoju duljinu za jedan, mjeri se u N/m u SI sustavu. x y O Vrste vibracija materijalne točke: 1. Slobodne vibracije (bez uzimanja u obzir otpora medija). 2. Slobodne oscilacije uzimajući u obzir otpor medija (prigušene oscilacije). 3. Prisilne vibracije. 4. Prisilne vibracije uzimajući u obzir otpor medija. ■ Slobodne vibracije – nastaju samo pod utjecajem povratne sile. Zapišimo osnovni zakon dinamike: Odaberimo koordinatni sustav sa središtem u položaju ravnoteže (točka O) i projicirajmo jednadžbu na x-os: Dovedimo dobivenu jednadžbu u standardni (kanonski) oblik: Ova jednadžba je homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda čiji tip rješenja određuju korijeni karakteristične jednadžbe dobiveni univerzalnom supstitucijom: Korijeni karakteristične jednadžbe su imaginarni i jednaki: Opće rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik: Brzina točke: Početni uvjeti: Definirajte konstante: Dakle, jednadžba slobodnih oscilacija ima oblik: Jednadžba se može prikazati jednočlanim izrazom: gdje je a amplituda, - početna faza . Nove konstante a i - povezane su s relacijama konstanti C1 i C2: Definirajmo a i: Uzrok slobodnih oscilacija je početni pomak x0 i/ili početna brzina v0.

12 slajd

10 Predavanje 3 (nastavak 3.2) Prigušene oscilacije materijalne točke – Oscilatorno gibanje materijalne točke događa se u prisutnosti povratne sile i sile otpora gibanju. Ovisnost sile otpora gibanju o pomaku ili brzini određena je fizičkom prirodom medija ili spoja koji ometa kretanje. Najjednostavnija ovisnost je linearna ovisnost od brzine (viskoznog otpora): - koeficijent viskoznosti x y O Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na os: Svedimo jednadžbu na standardni oblik: gdje Karakteristična jednadžba ima korijene: Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima različit oblik ovisno o vrijednostima korijena: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k – slučaj velike otpornosti na viskoznost: - korijeni su pravi, različiti. ili - ove funkcije su aperiodične: 3. n = k: - korijeni su pravi, višestruki. ove funkcije su također aperiodične:

Slajd 13

Predavanje 3 (nastavak 3.3) Klasifikacija otopina slobodnih vibracija. Metode spajanja opruga. Ekvivalentna tvrdoća. y 11 Razl. Jednadžba karaktera. jednadžba Korijeni karaktera. jednadžbe Rješenje diferencijalne jednadžbe Graf nk n=k

Slajd 14

Predavanje 4 Prisilne oscilacije materijalne točke - Uz povratnu silu djeluje periodički promjenjiva sila, koja se naziva uznemirujuća sila. Uznemirujuća sila može biti različite prirode. Na primjer, u konkretnom slučaju, inercijsko djelovanje neuravnotežene mase m1 rotirajućeg rotora uzrokuje harmonijski različite projekcije sile: Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na os: Svedimo jednadžbu na standardni oblik : 12 Rješenje ove nehomogene diferencijalne jednadžbe sastoji se od dva dijela x = x1 + x2: x1 je opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, a x2 je partikularno rješenje nehomogene jednadžbe: Biramo posebno rješenje u obliku desna strana: Rezultirajuća jednakost mora biti zadovoljena za bilo koji t. Tada: ili Dakle, uz istovremeno djelovanje povratne i uznemirujuće sile, materijalna točka izvodi složeno oscilatorno gibanje, koje je rezultat zbrajanja (superpozicije) slobodnih (x1) i prisilnih (x2) oscilacija. Ako str< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (prisilne oscilacije visoka frekvencija), tada je faza titranja suprotna od faze uznemirujuće sile:

15 slajd

Predavanje 4 (nastavak 4.2) 13 Dinamički koeficijent - omjer amplitude prisilne oscilacije na statički otklon točke pod djelovanjem konstantne sile H = const: Amplituda prisilnih oscilacija: Statički otklon se može pronaći iz jednadžbe ravnoteže: Ovdje: Odavde: Dakle, na p.< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (visoka frekvencija prisilnih oscilacija) dinamički koeficijent: Rezonancija – nastaje kada se frekvencija prisilnih oscilacija poklopi s frekvencijom vlastitih oscilacija (p = k). To se najčešće događa kod pokretanja i zaustavljanja vrtnje loše uravnoteženih rotora postavljenih na elastične ovjese. Diferencijalna jednadžba oscilacija s jednakim frekvencijama: Ne može se uzeti partikularno rješenje u obliku desne strane, jer dobivate linearno ovisno rješenje (vidi opće rješenje). Opće rješenje: Zamijeni u diferencijalnu jednadžbu: Uzmi pojedino rješenje u obliku i izračunaj derivacije: Tako se dobije rješenje: ili Prisilne oscilacije tijekom rezonancije imaju amplitudu koja neograničeno raste proporcionalno vremenu. Utjecaj otpora gibanju tijekom prisilnih vibracija. Diferencijalna jednadžba u prisutnosti viskoznog otpora ima oblik: Opće rješenje se odabire iz tablice (predavanje 3, stranica 11) ovisno o omjeru n i k (vidi). Uzmimo parcijalno rješenje u obliku i izračunajmo derivacije: Zamijenimo u diferencijalnu jednadžbu: Izjednačimo koeficijente za isti trigonometrijske funkcije dobivamo sustav jednadžbi: Podizanjem obje jednadžbe na potenciju i njihovim zbrajanjem dobivamo amplitudu prisilnih oscilacija: Dijeljenjem druge jednadžbe s prvom dobivamo fazni pomak prisilnih oscilacija: Dakle, jednadžba gibanja za prisilno oscilacije uzimajući u obzir otpor kretanju, npr. kod n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slajd

Predavanje 5 Relativno gibanje materijalne točke – Pretpostavimo da se pokretni (neinercijalni) koordinatni sustav Oxyz giba prema određenom zakonu u odnosu na nepomični (inercijalni) koordinatni sustav O1x1y1z1. Gibanje materijalne točke M (x, y, z) u odnosu na pokretni sustav Oxyz je relativno, u odnosu na nepomični sustav O1x1y1z1 je apsolutno. Gibanje mobilnog sustava Oxyz u odnosu na fiksni sustav O1x1y1z1 je prijenosno gibanje. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Osnovna jednadžba dinamike: Apsolutna akceleracija točke: Zamijenimo apsolutnu akceleraciju točke u osnovnu jednadžbu dinamike: Pomaknimo članove s prijenosnom i Coriolisovom akceleracijom na desnu stranu: Preneseni članovi imaju dimenziju sila i smatraju se odgovarajućim inercijskim silama, jednakim: Tada se relativno gibanje točke može smatrati apsolutnim ako djelovajućim silama dodamo prijenosnu i Coriolisovu tromost: U projekcijama na os pokretnog koordinatnog sustava imamo: Posebne slučajeve relativnog gibanja točke za razne vrste prijenosnog gibanja: 1. Rotacija oko nepomične osi: Ako je rotacija jednolika, tada je εe = 0: 2. Translatorno krivuljasto gibanje: Ako je gibanje je pravocrtno, tada je =: Ako je gibanje pravocrtno i jednoliko, tada je pokretni sustav inercijalan i relativno gibanje se može smatrati apsolutnim: Nijedan mehanički fenomen ne može otkriti pravocrtno jednoliko gibanje (načelo relativnosti klasične mehanike). Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela - Pretpostavimo da je tijelo u ravnoteži na površini Zemlje na proizvoljnoj geografskoj širini φ (paralela). Zemlja se okreće oko svoje osi od zapada prema istoku kutnom brzinom: Polumjer Zemlje je oko 6370 km. S R – ukupna reakcija neglatke površine. G je sila privlačenja Zemlje prema središtu. F – centrifugalna sila tromosti. Uvjet relativne ravnoteže: Rezultanta sila privlačenja i tromosti je sila teže (težine): Veličina sile teže (težine) na površini Zemlje je P = mg. Centrifugalna sila tromosti je mali dio sile teže: Odstupanje sile teže od smjera sile privlačenja također je malo: Dakle, utjecaj rotacije Zemlje na ravnotežu tijela je izuzetno mali i ne uzima se u obzir u praktičnim proračunima. Najveća vrijednost sile inercije (kod φ = 0 - na ekvatoru) je samo 0,00343 sile teže

Slajd 17

Predavanje 5 (nastavak 5.2) 15 Utjecaj Zemljine rotacije na gibanje tijela u Zemljinom gravitacijskom polju – Pretpostavimo da tijelo pada na Zemlju s određene visine H iznad Zemljine površine na geografskoj širini φ. Odaberimo pokretni referentni sustav kruto povezan sa Zemljom, usmjeravajući osi x, y tangencijalno na paralelu i meridijan: Jednadžba relativnog gibanja: Uzeta je u obzir malenost centrifugalne sile tromosti u usporedbi sa silom gravitacije. račun ovdje. Dakle, sila gravitacije se poistovjećuje sa silom gravitacije. Osim toga, vjerujemo da je sila gravitacije usmjerena okomito na površinu Zemlje zbog malog odstupanja, kao što je gore navedeno. Coriolisovo ubrzanje je jednako i usmjereno paralelno s osi y prema zapadu. Coriolisova inercijalna sila je usmjerena u suprotnom smjeru. Projicirajmo jednadžbu relativnog gibanja na os: Rješenje prve jednadžbe daje: Početne uvjete: Rješenje treće jednadžbe daje: Početne uvjete: Treća jednadžba ima oblik: Početni uvjeti: Njeno rješenje daje: Rezultirajuće rješenje pokazuje da tijelo pri padu odstupa prema istoku. Izračunajmo kolika je veličina tog odstupanja npr. pri padu s visine od 100 m. Vrijeme pada pronaći ćemo iz rješenja druge jednadžbe: Dakle, utjecaj rotacije Zemlje na kretanje tijela izuzetno je malen. za praktične visine i brzine i ne uzima se u obzir u tehničkim proračunima. Iz rješenja druge jednadžbe također proizlazi postojanje brzine duž y osi, koja bi također trebala uzrokovati i uzrokuje odgovarajuću akceleraciju i Coriolisovu inercijalnu silu. Utjecaj ove brzine i s njom povezane inercijske sile na promjenu gibanja bit će čak manji od razmatrane Coriolisove inercijalne sile povezane s okomitom brzinom.

18 slajd

Predavanje 6 Dinamika mehaničkog sustava. Sustav materijalnih točaka ili mehanički sustav - Skup materijalnih točaka ili materijalnih točaka, ujedinjenih općim zakonima interakcije (položaj ili kretanje svake točke ili tijela ovisi o položaju i kretanju svih ostalih) Sustav slobodnih točke - čije kretanje nije ograničeno nikakvim vezama (na primjer, planetarni sustav , u kojem se planeti smatraju materijalnim točkama). Sustav neslobodnih točaka ili neslobodni mehanički sustav - kretanje materijalnih točaka ili tijela ograničeno je vezama nametnutim sustavu (primjerice mehanizam, stroj itd.). 16 Sile koje djeluju na sustav. Uz dosadašnju klasifikaciju sila (aktivne i reaktivne sile) uvodi se nova klasifikacija sila: 1. Vanjske sile (e) - djeluju na točke i tijela sustava iz točaka ili tijela koja nisu dio ovog sustava. sustav. 2. Unutarnje sile (i) – sile međudjelovanja između materijalnih točaka ili tijela uključenih u dani sustav. Ista sila može biti i vanjska i unutarnja sila. Sve ovisi o tome kakav se mehanički sustav razmatra. Na primjer: U sustavu Sunca, Zemlje i Mjeseca sve gravitacijske sile između njih su unutarnje. Kada se razmatra sustav Zemlje i Mjeseca, gravitacijske sile koje djeluju sa Sunca su vanjske: C Z L Na temelju zakona akcije i reakcije, svaka unutarnja sila Fk odgovara drugoj unutarnjoj sili Fk’, jednakoj veličini i suprotnom smjeru. Iz ovoga slijede dva izvanredna svojstva unutarnjih sila: Glavni vektor svih unutarnjih sila sustava jednak je nuli: Glavni moment svih unutarnjih sila sustava u odnosu na bilo koje središte jednak je nuli: Ili u projekcijama na koordinatu sjekire: Napomena. Iako su ove jednadžbe slične jednadžbama ravnoteže, one nisu jednadžbe ravnoteže, jer unutarnje sile djeluju na različite točke ili tijela sustava i mogu uzrokovati međusobno pomicanje tih točaka (tijela). Iz ovih jednadžbi proizlazi da unutarnje sile ne utječu na kretanje sustava promatranog kao cjeline. Središte mase sustava materijalnih točaka. Da bismo opisali gibanje sustava kao cjeline, uvodimo geometrijska točka, koji se naziva centar mase, čiji je radijus vektor određen izrazom, gdje je M masa cijelog sustava: Ili u projekcijama na koordinatne osi: Formule za centar mase slične su formulama za centar gravitacije. Međutim, koncept središta mase je općenitiji jer nije povezan s gravitacijskim silama ili gravitacijskim silama.

Slajd 19

Predavanje 6 (nastavak 6.2) 17 Teorem o gibanju središta mase sustava – Promatrajmo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo osnovnu jednadžbu dinamike za svaku točku: ili Zbrojimo te jednadžbe po svim točkama: Na lijevoj strani jednadžbe upišite mase ispod predznaka derivacije i zbroj derivacija zamijenite derivacijom zbroj: Iz definicije centra mase: Zamijenimo u dobivenu jednadžbu: Izuzimanjem mase sustava iz predznaka izvodnice dobivamo ili: Umnožak mase sustava i ubrzanja njegovog središta mase jednak je glavnom vektoru vanjskih sila. U projekcijama na koordinatne osi: Središte mase sustava giba se kao materijalna točka s masom jednakom masi cijelog sustava, na koju djeluju sve vanjske sile koje djeluju na sustav. Posljedice iz teorema o gibanju središta mase sustava (zakoni očuvanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava nula, Re = 0, tada je brzina središta mase konstantna, vC = const (središte mase giba se jednoliko pravocrtno – zakon očuvanja središta gibanja). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na x os nula, Rxe = 0, tada je brzina centra mase duž x osi konstantna, vCx = const ( centar mase se jednoliko giba po osi). Slične tvrdnje vrijede za osi y i z. Primjer: U čamcu mase m3 nalaze se dvije osobe masa m1 i m2. U početnom trenutku brod s ljudima je mirovao. Odredi deplasman čamca ako se osoba mase m2 pomaknula do pramca čamca na udaljenosti a. 3. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava nula, Re = 0, au početnom trenutku brzina centra mase nula, vC = 0, tada je radijus vektor centra mase ostaje konstantna, rC = const (središte mase miruje – zakon očuvanja položaja centra mase). 4. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na x os jednaka nuli, Rxe = 0, au početnom trenutku brzina centra mase duž ove osi jednaka je nuli, vCx = 0, tada koordinata središta mase duž x osi ostaje konstantna, xC = const (centar mase se ne pomiče duž ove osi). Slične tvrdnje vrijede za osi y i z. 1. Objekt gibanja (čamac s ljudima): 2. Odbaciti veze (voda): 3. Zamijeniti vezu reakcijom: 4. Dodati aktivne sile: 5. Napisati teorem o središtu mase: Projicirati na x-os: O Odredi koliko se treba pomaknuti osobi mase m1 da čamac ostane na mjestu: čamac će se pomaknuti za udaljenost l u suprotnom smjeru.

20 slajd

Predavanje 7 Impuls sile je mjera mehaničke interakcije koja karakterizira prijenos mehaničko kretanje od sila koje djeluju na točku u određenom vremenskom razdoblju: 18 U projekcijama na koordinatne osi: U slučaju konstantne sile: U projekcijama na koordinatne osi: Impuls rezultante jednak je geometrijskom zbroju impulsi sila primijenjenih na točku u istom vremenskom razdoblju: Pomnožimo s dt: Integrirajmo kroz zadano vremensko razdoblje: Zamah točke je mjera mehaničkog gibanja, određena vektorom jednakim umnošku masa točke i vektor njezine brzine: Teorem o promjeni količine gibanja sustava - Promatrajmo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku točku osnovnu jednadžbu dinamike: ili Količina gibanja sustava materijalnih točaka je geometrijski zbroj količina gibanja materijalnih točaka: Prema definiciji centra mase: Vektor količine gibanja sustava je jednaka umnošku mase cijelog sustava s vektorom brzine središta mase sustava. Tada: U projekcijama na koordinatne osi: Vremenska derivacija vektora količine gibanja sustava jednaka je glavnom vektoru vanjskih sila sustava. Zbrojimo ove jednadžbe po svim točkama: Na lijevoj strani jednadžbe upišite mase pod predznakom derivacije i zbroj derivacija zamijenite derivacijom zbroja: Iz definicije količine gibanja sustava: U projekcijama na koordinatne osi:

21 slajd

Eulerov teorem - Primjena teorema o promjeni količine gibanja sustava na gibanje kontinuiranog medija (vode). 1. Odaberemo kao objekt gibanja volumen vode koji se nalazi u zakrivljenom kanalu turbine: 2. Odbacimo veze i zamijenimo njihovo djelovanje reakcijama (Rsur je rezultanta površinskih sila) 3. Dodamo aktivne sile ( Rob je rezultanta volumetrijskih sila): 4. Zapisujemo teorem o promjeni količine gibanja sustava: Moment količine vode u trenucima t0 i t1 prikazujemo kao zbrojeve: Promjena količine gibanja vode u vremenskom intervalu: Promjena u zamahu vode u infinitezimalnom vremenskom intervalu dt: , gdje je F1 F2 Uzimajući umnožak gustoće, površine poprečnog presjeka i brzine za drugu masu dobivamo: Zamjenom diferencijala zamaha sustava u teorem o promjeni dobivamo: Posljedice iz teorema o promjeni količine gibanja sustava (zakoni očuvanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sustava nula, Re = 0, tada je gibanje vektora količine konstantno, Q = const – zakon očuvanja količine gibanja sustava). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na x-osu jednaka nuli, Rxe = 0, tada je projekcija količine gibanja sustava na x-osu konstantna, Qx = const. . Slične tvrdnje vrijede za osi y i z. Predavanje 7 (nastavak iz 7.2) Primjer: Granata mase M koja je letjela brzinom v eksplodirala je na dva dijela. Brzina jednog od fragmenata mase m1 povećala se u smjeru gibanja na vrijednost v1. Odredite brzinu drugog fragmenta. 1. Objekt kretanja (granata): 2. Objekt je slobodan sustav, nema veza i njihovih reakcija. 3. Dodati aktivne sile: 4. Napisati teorem o promjeni količine gibanja: Projicirati na os: β Razdvojiti varijable i integrirati: Desni integral je praktički jednak nuli, jer vrijeme eksplozije t

22 slajd

Predavanje 7 (nastavak 7.3) 20 Kutna količina gibanja točke ili kutna količina gibanja točke u odnosu na neko središte je mjera mehaničkog gibanja određena vektorom jednakim vektorskom umnošku radijus vektora materijalne točke i vektora njegove količine gibanja: Kutna količina gibanja sustava materijalnih točaka u odnosu na neko središte geometrijski je zbroj kutne količine gibanja svih materijalnih točaka u odnosu na isto središte: U projekcijama na os: U projekcijama na os: Teorem o promjeni kutni moment sustava – Promotrimo sustav od n materijalnih točaka. Sile koje djeluju na svaku točku dijelimo na vanjske i unutarnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo osnovnu jednadžbu dinamike za svaku točku: ili Zbrojimo te jednadžbe po svim točkama: Zbroj derivacija zamijenimo derivacijom zbroja: Izraz u zagradama je kutni moment sustava. Dakle: vektorski pomnožimo svaku od jednakosti s radijus vektorom na lijevoj strani: da vidimo možemo li pomaknuti predznak derivacije dalje od vektorski proizvod: Dakle, dobili smo: Vremenska derivacija vektora kutne količine gibanja sustava u odnosu na neko središte jednaka je glavnom momentu vanjskih sila sustava u odnosu na isto središte. U projekcijama na koordinatne osi: Derivacija momenta količine gibanja sustava u odnosu na određenu os u vremenu jednaka je glavnom momentu vanjskih sila sustava u odnosu na istu os.

Slajd 23

Predavanje 8 21 ■ Korolacije iz teorema o promjeni kutne količine gibanja sustava (zakoni očuvanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu vektor glavnog momenta vanjskih sila sustava u odnosu na neko središte jednak nuli, MOe = 0, zatim vektor kutne količine gibanja sustava u odnosu na istu centralnu konstantu, KO = const – zakon očuvanja kutne količine gibanja sustava). 2. Ako je u vremenskom intervalu glavni moment vanjskih sila sustava u odnosu na os x jednak nuli, Mxe = 0, tada je kutna količina gibanja sustava u odnosu na os x konstantna, Kx = const. Slične tvrdnje vrijede za osi y i z. 2. Moment tromosti krutog tijela u odnosu na os: Moment tromosti materijalne točke u odnosu na os jednak je umnošku mase točke s kvadratom udaljenosti točke od osi. Moment tromosti krutog tijela u odnosu na os jednak je zbroju proizvoda mase svake točke i kvadrata udaljenosti te točke od osi. ■ Elementi teorije o momentima tromosti – Kod rotacijskog gibanja krutog tijela mjera tromosti (otpora promjeni gibanja) je moment tromosti u odnosu na os rotacije. Razmotrimo osnovne pojmove definicije i metode izračunavanja momenata tromosti. 1. Moment tromosti materijalne točke u odnosu na os: Pri prijelazu s diskretne male mase na infinitezimalnu masu točke granica takvog zbroja određena je integralom: osni moment tromosti krutog tijela. Osim osnog momenta tromosti čvrstog tijela postoje i druge vrste momenata tromosti: centrifugalni moment tromosti čvrstog tijela. polarni moment tromosti krutog tijela. 3. Teorem o momentima tromosti krutog tijela u odnosu na paralelne osi - formula za prijelaz na paralelne osi: Moment tromosti u odnosu na referentnu os Statički momenti tromosti u odnosu na referentne osi Masa tijela Udaljenost između osi z1 i z2 Dakle: Ako os z1 prolazi kroz centar mase, tada su statički momenti jednaki nuli:

24 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.2) 22 Moment tromosti homogenog štapa konstantnog presjeka u odnosu na os: x z L Izaberimo elementarni volumen dV = Adx na udaljenosti x: x dx Elementarna masa: Za izračun momenta tromosti oko središnje osi (koja prolazi kroz težište), dovoljno je promijeniti položaj osi i postaviti granice integracije (-L/2, L/2). Ovdje demonstriramo formulu za prijelaz na paralelne osi: zC 5. Moment tromosti homogenog čvrstog cilindra u odnosu na os simetrije: H dr r Izaberimo elementarni volumen dV = 2πrdrH (tanki cilindar polumjera r) : Elementarna masa: Ovdje se koristi formula za volumen cilindra V = πR2H. Za izračun momenta tromosti šupljeg (debelog) cilindra dovoljno je postaviti granice integracije od R1 do R2 (R2> R1): 6. Moment tromosti tankog cilindra u odnosu na os simetrije (t

25 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.3) 23 ■ Diferencijalna jednadžba za rotaciju krutog tijela oko osi: Napišimo teorem o promjeni kinetičkog momenta krutog tijela koje rotira oko nepomične osi: Kinetički moment rotirajućeg krutog tijela tijelo jednak: Moment vanjskih sila u odnosu na os rotacije jednak je zakretnom momentu (momenti reakcije i sile teža ne stvaraju): Zamjenjujemo kinetički moment i zakretni moment u teoremu Primjer: Dvije osobe iste težine G1 = G2 vise na užetu bačenom preko čvrstog bloka težine G3 = G1/4. U nekom se trenutku jedan od njih počeo penjati po užetu relativnom brzinom u. Odredite brzinu rasta svake osobe. 1. Odaberite objekt kretanja (blok s ljudima): 2. Odbacite veze (noseći uređaj bloka): 3. Zamijenite vezu reakcijama (ležaj): 4. Dodajte aktivne sile (sile teže): 5. Napišite teorem o promjeni kinetičkog momenta sustava u odnosu na os rotacije bloka: R Budući da je moment vanjskih sila jednak nuli, kinetički moment mora ostati konstantan: U početnom trenutku vremena t = 0 postojala je ravnoteža i Kz0 = 0. Nakon početka gibanja jedne osobe u odnosu na uže, cijeli sustav se počeo gibati, ali kinetički moment sustava mora ostati jednak nuli: Kz = 0. Kinetički moment sustava je zbroj kinetički momenti ljudi i bloka: Ovdje je v2 brzina druge osobe, jednako brzini kabel, Primjer: Odredite period malih slobodnih oscilacija homogenog štapa mase M i duljine l, obješenog na jednom kraju o nepomičnu os rotacije. Ili: U slučaju malih oscilacija sinφ φ: Period titranja: Moment tromosti štapa:

26 slajd

Predavanje 8 (nastavak od 8.4 – dodatni materijal) 24 ■ Osnovna teorija žiroskopa: Žiroskop je kruto tijelo koje rotira oko osi materijalne simetrije, čija je jedna točka nepomična. Slobodni žiroskop - fiksiran tako da mu središte mase miruje, a os rotacije prolazi kroz središte mase i može zauzeti bilo koji položaj u prostoru, tj. os rotacije mijenja svoj položaj poput osi vlastite rotacije tijela tijekom sfernog gibanja. Glavna pretpostavka aproksimativne (elementarne) teorije žiroskopa je da se vektor kutne količine gibanja (kinetički moment) rotora smatra usmjerenim duž njegove vlastite osi rotacije. Dakle, unatoč činjenici da u općem slučaju rotor sudjeluje u tri rotacije, uzima se u obzir samo kutna brzina vlastite rotacije ω = dφ/dt. Razlog tome je što se u modernoj tehnologiji rotor žiroskopa okreće kutnom brzinom reda 5000-8000 rad/s (oko 50000-80000 o/min), dok druga dva kutne brzine, povezana s precesijom i nutacijom vlastite osi rotacije, desetke tisuća puta manja od ove brzine. Glavno svojstvo slobodnog žiroskopa je da os rotora održava konstantan smjer u prostoru u odnosu na inercijalni (zvjezdani) referentni okvir (pokazano Foucaultovim njihalom, koje održava ravninu ljuljanja nepromijenjenom u odnosu na zvijezde, 1852.) . To proizlazi iz zakona održanja kinetičkog momenta u odnosu na središte mase rotora, pod uvjetom da se zanemari trenje u ležajevima osi ovjesa rotora, vanjskog i unutarnjeg okvira: Djelovanje sile na os slobodnog žiroskopa . U slučaju djelovanja sile na os rotora, moment vanjskih sila u odnosu na središte mase nije jednak nuli: ω ω C Derivacija kinetičkog momenta u odnosu na vrijeme jednaka je brzini kraja. ovog vektora (Resalov teorem): To znači da će os rotora skrenuti u smjeru različitom od djelovanja sile, i to prema vektoru momenta te sile, tj. neće se okretati oko osi x (unutarnji ovjes), već oko osi y (vanjski ovjes). Kada sila prestane, os rotora će ostati u nepromijenjenom položaju koji odgovara zadnjem trenutku sile, jer od ovog trenutka u vremenu moment vanjskih sila ponovno postaje jednak nuli. U slučaju kratkotrajne sile (udarca), os žiroskopa praktički ne mijenja svoj položaj. Dakle, brza rotacija rotora daje žiroskopu mogućnost suprotstavljanja slučajnim utjecajima koji teže promijeniti položaj osi rotacije rotora, te konstantnom silom održava položaj ravnine okomit na djelovajuću silu u kojoj rotor os leži. Ova svojstva se koriste u radu inercijski sustavi navigacija.

Predavanja iz teorijske mehanike

Dinamika točke

Predavanje 1

    Osnovni pojmovi dinamike

U poglavlju Dinamika proučava se kretanje tijela pod utjecajem sila koje na njih djeluju. Stoga, uz one pojmove koji su uvedeni u odjeljku Kinematika, ovdje je potrebno koristiti nove pojmove koji odražavaju specifičnosti utjecaja sila na različita tijela te reakcija tijela na te utjecaje. Razmotrimo glavne od ovih koncepata.

a) snaga

Sila je kvantitativni rezultat utjecaja drugih tijela na određeno tijelo. Sila je vektorska veličina (slika 1).



Točka A početka vektora sile F nazvao točka primjene sile. Pravac MN na kojem se nalazi vektor sile naziva se linija djelovanja sile. Duljina vektora sile, mjerena u određenom mjerilu, naziva se brojčana vrijednost ili veličina vektora sile. Modul sile se označava sa ili. Djelovanje sile na tijelo očituje se ili u njegovoj deformaciji, ako je tijelo nepomično, ili u pridavanju ubrzanja pri gibanju tijela. Na tim manifestacijama sile temelji se konstrukcija raznih uređaja (silometara ili dinamometra) za mjerenje sila.

b) sustav sila

Razmatrani skup sila čini sustav sila. Bilo koji sustav koji se sastoji od n sila može se napisati u sljedećem obliku:

c) slobodno tijelo

Tijelo koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru bez izravnog (mehaničkog) međudjelovanja s drugim tijelima naziva se besplatno ili izolirani. Utjecaj određenog sustava sila na tijelo može se razjasniti samo ako je to tijelo slobodno.

d) rezultantna sila

Ako bilo koja sila djeluje na slobodno tijelo jednako kao neki sustav sila, tada se ta sila naziva rezultanta zadanog sustava sila. Ovo je napisano na sljedeći način:

,

što to znači jednakovrijednost utjecaj na isto slobodno tijelo rezultante i nekog sustava n sila.

Prijeđimo sada na razmatranje složenijih koncepata koji se odnose na kvantitativno određivanje rotacijskih učinaka sila.

e) moment sile u odnosu na točku (središte)

Ako tijelo pod utjecajem sile može rotirati oko neke fiksne točke O (slika 2), tada se za kvantificiranje tog rotacijskog učinka uvodi fizikalna veličina koja se naziva moment sile u odnosu na točku (središte).

Zove se ravnina koja prolazi kroz zadanu fiksnu točku i pravac djelovanja sile ravnina djelovanja sile. Na slici 2 to je ravnina OAB.

Moment sile u odnosu na točku (središte) je vektorska veličina jednaka vektorskom umnošku radijus vektora točke djelovanja sile i vektora sile:

( 1)

Prema pravilu vektorskog množenja dva vektora, njihov vektorski umnožak je vektor okomit na ravninu položaja faktor vektora (u ovom slučaju ravninu trokuta OAB), usmjeren u smjeru iz kojeg polazi najkraća rotacija vektora. prvog faktorskog vektora drugom faktorskom vektoru vidljivo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 2). Ovakvim redoslijedom vektora faktora vektorskog umnoška (1) bit će vidljiva rotacija tijela pod djelovanjem sile u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 2.) Budući da je vektor okomit na ravninu djelovanja sile sila, njen položaj u prostoru određuje položaj ravnine djelovanja sile Brojčana vrijednost vektora momenta sile u odnosu na središte jednaka je dvostrukoj površini OAB i može se odrediti formulom:

, (2)

Gdje veličinah, jednaka najkraćoj udaljenosti od zadane točke O do linije djelovanja sile, naziva se krak sile.

Ako položaj ravnine djelovanja sile u prostoru nije bitan za karakterizaciju rotacijskog djelovanja sile, tada se u tom slučaju za karakterizaciju rotacijskog djelovanja sile umjesto vektora momenta sile koristi algebarski moment sile:

(3)

Algebarski moment sile u odnosu na dano središte jednak je umnošku modula sile i njenog ramena uzetog s predznakom plus ili minus. U ovom slučaju pozitivni moment odgovara rotaciji tijela pod djelovanjem određene sile u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativni moment odgovara rotaciji tijela u smjeru kazaljke na satu. Iz formula (1), (2) i (3) slijedi da moment sile u odnosu na točku jednak je nuli samo ako je krak te silehjednaka nuli. Takva sila ne može rotirati tijelo oko zadane točke.

e) Moment sile oko osi

Ako se tijelo, pod utjecajem sile, može okretati oko neke fiksne osi (na primjer, rotacija okvira vrata ili prozora u svojim šarkama pri otvaranju ili zatvaranju), tada je za kvantificiranje ovog rotacijskog učinka fizička veličina uveo, koji se zove moment sile oko date osi.

z

b Fxy

Slika 3 prikazuje dijagram prema kojem se određuje moment sile u odnosu na os z:

Kut  tvore dva okomita pravca z i na ravnine trokuta O ab odnosno OAV. Od  O ab je projekcija OAB na ravninu xy, tada po teoremu stereometrije o projekciji ravnog lika na zadanu ravninu imamo:

gdje znak plus odgovara pozitivnoj vrijednosti cos, tj. oštri kutovi, a znak minus odgovara negativnoj vrijednosti cos, tj. tupim kutovima , što je posljedica smjera vektora. Zauzvrat, SO ab=1/2abh, Gdje h ab . Veličina segmenta ab jednaka je projekciji sile na ravninu xy, tj. . ab = F xy .

Na temelju navedenog, kao i jednakosti (4) i (5), određujemo moment sile u odnosu na os z na sljedeći način:

Jednakost (6) omogućuje nam da formuliramo sljedeću definiciju momenta sile u odnosu na bilo koju os: Moment sile u odnosu na danu os jednak je projekciji vektora momenta te sile u odnosu na bilo koju os na ovu os. točku ove osi i definira se kao umnožak projekcije sile uz predznak plus ili minus na ravninu okomitu na zadanu os na rubu te projekcije u odnosu na točku presjeka osi s ravninom projekcije . U ovom slučaju, znak trenutka se smatra pozitivnim ako je, gledajući iz pozitivnog smjera osi, vidljiva rotacija tijela oko ove osi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Inače se moment sile u odnosu na os uzima kao negativan. Budući da je ovu definiciju momenta sile oko osi prilično teško zapamtiti, preporuča se zapamtiti formulu (6) i sliku 3, koja objašnjava ovu formulu.

Iz formule (6) proizlazi da moment sile oko osi jednak je nuli ako paralelna je s osi (u ovom slučaju njezina projekcija na ravninu okomitu na os jednaka je nuli), ili pravac djelovanja sile siječe os (tada krak projekcije h=0). To u potpunosti odgovara fizičkom značenju momenta sile oko osi kao kvantitativnoj karakteristici rotacijskog djelovanja sile na tijelo koje ima os rotacije.

g) tjelesna težina

Odavno je uočeno da pod utjecajem sile tijelo postupno ubrzava i nastavlja se kretati ako se sila ukloni. Ovo svojstvo tijela da se odupiru promjenama u svom gibanju nazvalo se tromost ili tromost tijela. Kvantitativna mjera tromosti tijela je njegova masa. Osim, masa tijela je kvantitativna mjera djelovanja gravitacijskih sila na određeno tijeloŠto je masa tijela veća, to je veća gravitacijska sila koja djeluje na tijelo. Kao što će biti prikazano u nastavku, uh Ove dvije definicije tjelesne težine su povezane.

O preostalim konceptima i definicijama dinamike raspravljat ćemo kasnije u odjeljcima u kojima se prvi put pojavljuju.

2. Veze i reakcije veza

Prethodno je u odjeljku 1. stavku (c) dat pojam slobodnog tijela, kao tijela koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru, a da nije u izravnom dodiru s drugim tijelima. Većina stvarnih tijela oko nas u izravnom je kontaktu s drugim tijelima i ne mogu se kretati u jednom ili drugom smjeru. Tako se npr. tijela koja se nalaze na površini stola mogu kretati u bilo kojem smjeru, osim u smjeru okomitom na površinu stola prema dolje. Vrata učvršćena na šarkama mogu vršiti rotacijsko kretanje, ali se ne mogu kretati translatorno itd. Tijela koja se ne mogu kretati u prostoru u jednom ili drugom smjeru nazivamo nije besplatno.

Sve što ograničava kretanje određenog tijela u prostoru naziva se ograničenjima. To mogu biti neka druga tijela koja sprječavaju kretanje ovog tijela u nekim smjerovima ( fizičke veze); u širem smislu, to mogu biti neki uvjeti nametnuti kretanju tijela koji ograničavaju to kretanje. Dakle, može se postaviti uvjet da se kretanje materijalne točke događa duž zadane krivulje. U ovom slučaju veza je matematički određena u obliku jednadžbe ( jednadžba veze). U nastavku će se detaljnije raspravljati o vrsti veza.

Većina veza nametnutih tijelima praktički su fizičke veze. Stoga se postavlja pitanje međudjelovanja danog tijela i veze koja je nametnuta tom tijelu. Na ovo pitanje odgovara aksiom o međudjelovanju tijela: Dva tijela djeluju jedno na drugo jednakim silama, suprotnog smjera i smještena na istoj ravnoj liniji. Te se sile nazivaju interakcijskim silama. Sile međudjelovanja djeluju na različita tijela koja međusobno djeluju. Tako, na primjer, tijekom međudjelovanja određenog tijela i spoja, jedna od sila interakcije djeluje sa strane tijela na spoj, a druga sila interakcije djeluje sa strane spoja na to tijelo. Ova zadnja sila zove se sila reakcije veze ili jednostavno, komunikacijska reakcija.

Pri rješavanju praktičnih problema dinamike potrebno je znati pronaći smjer reakcija različite vrste veze. U tome ponekad može pomoći opće pravilo za određivanje smjera reakcije spoja: Reakcija spoja uvijek je usmjerena suprotno od smjera u kojem taj spoj sprječava kretanje danog tijela. Ako se ovaj smjer može točno odrediti, tada će reakcija veze biti određena smjerom. Inače, smjer reakcije sprezanja je nesiguran i može se pronaći samo iz odgovarajućih jednadžbi gibanja ili ravnoteže tijela. Pitanje vrsta veza i smjera njihovih reakcija treba detaljnije proučiti pomoću udžbenika: S.M. Targ Kratki tečaj teorijske mehanike "Viša škola", M., 1986. Poglavlje 1, §3.

U odjeljku 1. stavku (c) rečeno je da se utjecaj bilo kojeg sustava sila može potpuno odrediti samo ako se taj sustav sila primijeni na slobodno tijelo. Budući da većina tijela, u stvarnosti, nije slobodna, onda se za proučavanje kretanja tih tijela postavlja pitanje kako ta tijela učiniti slobodnima. Na ovo pitanje je odgovoreno aksiom predavanja veza Po filozofija kod kuće. Predavanja bili... socijalna psihologija i etnopsihologije. 3. Teorijski rezultati U socijalnom darvinizmu bilo je...

  • Teorijski Mehanika

    Studijski vodič >> Fizika

    Sažetak predavanja Po subjekt TEORIJSKI MEHANIKA Za studente specijalnosti: 260501,65 ... - redoviti Bilješke predavanja sastavljeno na temelju: Butorin L.V., Busygina E.B. Teorijski Mehanika. Edukativno-praktičan priručnik...

    • Unutar bilo kojeg tečaj Proučavanje fizike počinje s mehanikom. Ne iz teorijske, ne iz primijenjene ili računalne, nego iz dobre stare klasične mehanike. Ova se mehanika također naziva Newtonovom mehanikom. Prema legendi, znanstvenik je šetao vrtom, ugledao jabuku kako pada i upravo ga je taj fenomen potaknuo da otkrije zakon univerzalna gravitacija. Naravno, zakon je postojao oduvijek, a Newton mu je samo dao oblik razumljiv ljudima, ali njegova je zasluga neprocjenjiva. U ovom članku nećemo opisivati ​​zakone Newtonove mehanike što je moguće detaljnije, ali ćemo iznijeti osnove, osnovno znanje, definicije i formule koje vam uvijek mogu ići na ruku.

    Mehanika je grana fizike, znanost koja proučava kretanje materijalnih tijela i interakcije među njima.

    Sama riječ ima grčko podrijetlo i prevodi se kao "umijeće izgradnje strojeva". Ali prije nego što izgradimo strojeve, mi smo još uvijek poput Mjeseca, stoga slijedimo stope naših predaka i proučavajmo kretanje kamenja bačenog pod kutom prema horizontu i jabuka koje nam padaju na glavu s visine h.


    Zašto proučavanje fizike počinje s mehanikom? Budući da je to potpuno prirodno, ne bismo li trebali početi s termodinamičkom ravnotežom?!

    Mehanika je jedna od najstarijih znanosti, a povijesno proučavanje fizike započelo je upravo s temeljima mehanike. Smješteni u okvire vremena i prostora, ljudi, zapravo, nisu mogli početi s nečim drugim, ma koliko to htjeli. Tijela koja se kreću su prva stvar na koju obraćamo pažnju.

    Što je kretanje?

    Mehaničko gibanje je promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo tijekom vremena.

    Nakon ove definicije sasvim prirodno dolazimo do koncepta referentnog okvira. Promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo. Ključne riječi ovdje: jedni prema drugima . Uostalom, putnik u automobilu se kreće u odnosu na osobu koja stoji uz rub ceste određenom brzinom, a miruje u odnosu na susjeda na sjedalu do sebe, a kreće se nekom drugom brzinom u odnosu na putnika u automobilu koji ih pretiče.


    Zato, kako bismo normalno mjerili parametre pokretnih objekata i ne bismo se zbunili, trebamo referentni sustav - međusobno kruto povezano referentno tijelo, koordinatni sustav i sat. Na primjer, Zemlja se kreće oko Sunca u heliocentričnom referentnom okviru. U svakodnevnom životu provodimo gotovo sva naša mjerenja u geocentričnom referentnom sustavu povezanom sa Zemljom. Zemlja je referentno tijelo u odnosu na koje se kreću automobili, avioni, ljudi i životinje.


    Mehanika, kao znanost, ima svoju zadaću. Zadaća mehanike je da u svakom trenutku zna položaj tijela u prostoru. Drugim riječima, mehanika gradi matematički opis gibanja i pronalazi veze između fizikalne veličine, koji ga karakteriziraju.

    Da bismo išli dalje, potreban nam je koncept “ materijalna točka " Kažu da je fizika egzaktna znanost, ali fizičari znaju koliko aproksimacija i pretpostavki treba napraviti da bi se složila upravo ta točnost. Nitko nikada nije vidio materijalnu točku niti pomirisao idealan plin, ali oni postoje! S njima je jednostavno puno lakše živjeti.

    Materijalna točka je tijelo čija se veličina i oblik u kontekstu ovog problema mogu zanemariti.

    Dijelovi klasične mehanike

    Mehanika se sastoji od nekoliko dijelova

    • Kinematika
    • Dinamika
    • Statika

    Kinematika s fizičke točke gledišta, proučava točno kako se tijelo kreće. Drugim riječima, ovaj odjeljak bavi se kvantitativnim karakteristikama kretanja. Nađi brzinu, putanju - tipični problemi kinematike

    Dinamika rješava pitanje zašto se kreće na način na koji se kreće. Odnosno, razmatra sile koje djeluju na tijelo.

    Statika proučava ravnotežu tijela pod utjecajem sila, odnosno odgovara na pitanje: zašto uopće ne pada?

    Granice primjenjivosti klasične mehanike

    Klasična mehanika više ne pretendira biti znanost koja sve objašnjava (početkom prošlog stoljeća sve je bilo potpuno drugačije), i ima jasan okvir primjenjivosti. Općenito, zakoni klasične mehanike vrijede u svijetu na koji smo po veličini navikli (makrosvijet). Oni prestaju raditi u slučaju svijeta čestica, kada se klasični zamijeni s kvantna mehanika. Također, klasična mehanika nije primjenjiva na slučajeve kada se kretanje tijela odvija brzinom bliskom brzini svjetlosti. U takvim slučajevima relativistički učinci postaju izraženi. Grubo rečeno, u okviru kvantne i relativističke mehanike – klasične mehanike, to je poseban slučaj kada su dimenzije tijela velike, a brzina mala.


    Općenito govoreći, kvantni i relativistički efekti nikada ne nestaju, oni se javljaju i tijekom običnog gibanja makroskopskih tijela brzinom puno manjom od brzine svjetlosti. Druga stvar je da je učinak tih učinaka toliko malen da ne ide dalje od najpreciznijih mjerenja. Klasična mehanika tako nikada neće izgubiti svoju temeljnu važnost.

    Nastavit ćemo proučavati fizičke temelje mehanike u budućim člancima. Za bolje razumijevanje mehanike, uvijek se možete obratiti na našim autorima , koji će pojedinačno rasvijetliti tamnu točku najtežeg zadatka.